福建省漳州市2024—2025学年九年级上学期期末教学质量检测数学北师大版B卷（解析版）-A4

这是一份福建省漳州市2024—2025学年九年级上学期期末教学质量检测数学北师大版B卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！
注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效.
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂．
1. 一元二次方程的常数项为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程定义直接得出本题答案．
【详解】解：一元二次方程的常数项为，
故选：D．
2. 从-2，0，1三个数中，随机抽取两个数相乘，积为0的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率计算公式是解题的关键．
先找出随机抽取两个数的结果有3种，其中乘积为0的结果有2种，根据概率公式即可求解．
【详解】解：，
∴随机抽取两个数相乘的结果有3种，其中乘积为0的结果有2种，
∴积为0的概率为23，
故选：A ．
3. 如图，在中，，分别是，的中点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意可得DE是的中位线，于是可得，，进而可得，则相似比为12，然后根据面积比等于相似比的平方即可得解．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴DE是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
即：的面积为4，
故选：C ．
4. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个工匠同时握住绳子的第个结和第个结，两个助手分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，余弦的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键．
根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，根据题意可得，，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
故选：B ．
5. 已知，，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口方程，与坐标轴的交点等知识是解题的关键．
根据二次函数中，的正负决定图象的开口，表示图象与轴有两个不同的交点，由此即可求解．
【详解】解：在二次函数中，a>0，
∴图象开口向上，
∵
∴图象与轴有两个不同交点，
∴符合题意的只有A选项，
故选：A ．
6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；根据及点可得点的坐标．
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且，点，
∴，即；
故选A．
7. 下表是小亮填写实践活动报告的部分内容：
设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，设旗杆高度米，根据解直角三角形表示出，的长，根据即可列出方程．
【详解】解：设旗杆的高度米，
∵，
∴在中，（米），
∵，
∴在中，（米），
∵，
∴，
∴．
故选：C
8. 如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，如果纸和纸的长宽比例是相等的，那么纸的长边与短边的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，设原来矩形的长为，宽为，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案．
【详解】设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，
纸和纸的长宽比例是相等的，
，
解得．
故选：B．
9. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握增减性是解题的关键．
根据反比例函数解析式确定图象经过的象限，再有增减性即可求解．
【详解】解：反比例函数（为常数），
∵，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D ．
10. 在边长为8的菱形中，，点从点沿着边向终点运动，同时，点以相同的速度从点沿着边向终点运动，在此运动过程中，点与点距离的最小值是（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点F作交的延长线于点G，设点E、F的运动速度为1，运动时间为x，则，利用菱形的性质，勾股定理，二次函数的最值解答即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握菱形性质，二次函数的最值是解题的关键．
【详解】解：过点F作交延长线于点G，
设点E、F的运动速度为1，运动时间为x，则，
∵边长为8的菱形，，
∴， ，
∴，，
∴，由勾股定理得：，
∴，
根据勾股定理，得
，
当时，取得最小值48，此时取得最小值，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置．
11. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，如果，，那么的长为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线所截线段对应成比例是解题的关键．
根据，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，，
故答案为：4 ．
12. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共40个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为________．
【答案】8
【解析】
【分析】用总球数乘以摸到红球的概率即可求解．
【详解】解：根据题意，口袋中红球的个数约为（个），
故答案为：8．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答的关键是掌握用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13. 若正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称即可得解．
【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，一个交点是，
∴这两个函数图象的另一个交点的坐标是，
故答案为：．
14. 我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为_______．
【答案】10%
【解析】
【详解】设该公司缴税的年平均增长率是x，
则去年缴税40(1＋x) 万元， 今年缴税40(1＋x) (1＋x) ＝40(1＋x)2万元．
据此列出方程：40(1＋x)2=48.4，
解得x=0.1或x=－2.1（舍去）．
∴该公司缴税的年平均增长率为10%．
15. 如图，在中，，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定、三角形内角和定理和性质、分母有理化和解一元二次方程，过点B 作BD平分交于点D，求得和，，即可得，判定得，设，则，解得，则有．
【详解】解：过点B 作BD平分交于点D，如图，
解：∵，，
∴，
∵BD平分，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴
设，则，
整理得，，解得（负值已舍去），
∴，
则，
故答案为：．
16. 已知二次函数（，均是实数），设该函数最小值为，若，，则的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最值的计算，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，最值的计算方法是解题的关键．
根据二次函数（，均是实数），可得二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由此可得，则有，设，得到关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，再根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】解：，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线，
当时，二次函数有最小值，最小值为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，
∴当时，有最大值，即k=1，
当时，，
∴，
故答案为： ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：原式

．
18. 已知：如图，在中，，分别是，上的点，，，，．
求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．根据两边成比例且夹角相等的三角形的相似证明，即可得到结论．
【详解】证明：∵，，，，
，．
．
∵，
∴．
．
19. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．
卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）．小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．要求学生掌握通过这两种方法列举出所有可能的结果，并从中找出目标事件的结果，进而计算概率．
【详解】解：利用表格（或树状图）列出所有可能的结果：
解法一：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种，
所以，所求的概率为即．
解法二：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种，
所以，所求的概率为即．
20. 人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系：
（1）地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式．
（2）若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米?
【答案】（1）
（2）这种机器人与地面的接触面积至少为平方米
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系数法求解是关键．
（1）由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，运用待定系数法即可求解；
（2）把最大压强为，代入反比例函数解析式求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，
设与的函数关系式为，
将，代入，
得，
∴与的函数表达式为．
【小问2详解】
解：当时，（平方米），
答：这种机器人与地面的接触面积至少为平方米．
21. 如图，在中，，．
（1）求作矩形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理的运用是解题的关键．
（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作，再以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接BD，即可求解；
（2）根据矩形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，设，则有，在中，运用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：作图如下，
∴矩形为所求作图形．
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，交于点，
，，
在中，，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，，
，
．
22. 根据国家课程设置要求，依据学生生活生存和终身发展的需求，围绕“让劳动注入每一名学生的心田”的劳动教育理念，充分挖掘学校劳动资源优势，某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展问题解决活动．在设计方案的环节中，该学习小组整理出了下表，请你根据素材完成任务．
【答案】（1）矩形小菜园与墙垂直的一边长为30米时，小菜园的面积能达到600平方米；（2）当矩形小菜园与墙垂直的一边长为20米时，小菜园的面积能达到最大．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键在于准确构建数学模型并合理求解．
（1）通过设矩形小菜园与墙垂直的一边长为米，根据面积关系列出一元二次方程，求解相应边长；
（2）建立矩形菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数的性质求面积最大值及对应的边长，将实际问题转化为二次函数求最值问题．
【详解】解：设矩形小菜园与墙垂直的一边长为米，
（1）小菜园的面积能达到600平方米，
根据题意，得
．
解这个方程，得
，
（不合题意，舍去）．
方案：矩形小菜园与墙垂直的一边长为30米时，小菜园的面积能达到600平方米．
（2）且，
．
设矩形菜园的面积为平方米，根据题意，得
．
当时，．
方案：当矩形小菜园与墙垂直的一边长为20米时，小菜园的面积能达到最大．
23. 已知实数，，，且满足，．
（1）求证：的值为定值；
（2）若，同号，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解；
（2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：，，
，为关于的方程的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得，，
的值为定值．
【小问2详解】
解：由（1）得，
，同号，
，
解得：，
又，
，
．
24. 如图，二次函数的图象交轴于点、点，交轴于点，且，，满足和，连接．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与，重合），连接，．
①求面积的最大值；
②若，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用和，得到二次函数的图象经过点和点，即可求出抛物线的对称轴；
（2）①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，由，再结合二次函数的性质即可解答；②根据轴，轴，推出，在中，由，即可得到答案．
【小问1详解】
解：二次函数的，，，
满足，，
二次函数的图象经过点和点，
抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：①二次函数的图象经过点和点，
二次函数的表达式可写为．
点在抛物线上，
，
解得，
二次函数的表达式为．
设直线的表达式为，
把和代入，得：
，
解得：，
直线的表达式为．
过点作轴于点，交于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
．
动点在直线的上方（不与，重合），
．
当时，面积取得最大值，最大值是．
②轴，
轴，
．
．
，，
在中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题，涉及待定系数法，抛物线的最值，解直角三角形，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
25. 如图，在正方形中，点为边上的中点，连接，作，垂足为，连接．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）取的中点，连接．与之间有怎样的关系？请说明理由．
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）且，详见解析
【解析】
【分析】（1）证明，得出即可得出答案；
（2）根据，得出， 从而得出，即可得出， 说明，根据，即可得出答案；
（3）证明，得出，说明，设，则，，求出，，求出，说明，根据，得出，得出，，求出，求出，根据，得出即可得出结论．
小问1详解】
解：在正方形中，，，
点为边上的中点，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
证明：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：且．理由如下：
由（2）知，
，，
，
，
，
．
，
，
，
设，则，，
，
在中，，
根据解析（1）可知：，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，，
．
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质．
题目
测量旗杆的高度
测量目标示意图
相关数据
米，，
第二次
第一次
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
地面所受压强
接触面积
怎样围面积最大
问题背景
在学校实验楼房一侧的空地上，用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长80米．如果外墙长50米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成．
问题解决
任务一
（1）小菜园的面积能达到600平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
任务二
（2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案．