福建省厦门外国语学校石狮分校九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省厦门外国语学校石狮分校九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是( )
A. -2B. 5C. -2或5D. 2或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，最简二次根式的被开方数相同的二次根式是同类二次根式，根据被开方数相等列式解方程即可．
【详解】解：根据题意得，，
整理得，，
解得，，
当时，，二次根式不是最简二次根式，不符合题意，舍去；
当时，，二次根式是最简二次根式，符合题意；
．
故选：B．
2. 若，则等于（ ）
A. 2：5B. 4：25C. 5：2D. 25：4
【答案】A
【解析】
【详解】∵，
∴，
∴．
故选A．
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法：移项、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方等步骤进行即可求解．
【详解】解：，
移项，得，
两边同时加上9，得，
配方，得；
故选D．
【点睛】此题考查求解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答此题的关键．
4. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．
【详解】解：与位似，
，，
，
，
与的面积之比为，
故选：B．
5. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）

A. B. 顶点的坐标为
C. 当时，D. 当时，随着的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数对称轴为直线，
，得，故选项正确；
该函数图象过点，
，得，
，
该抛物线的顶点坐标为，故选项正确；
二次函数对称轴为直线，过点，
该函数过点，
当时，，故选项不正确；
当时，随的增大而增大，故选项正确；
故选：C
6. 在一幅长，宽的矩形状的画的四周加上宽度相同的边框，制成一幅挂图（如图），如果画的面积占这个挂图面积的，所加边框的宽度为，则根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长 个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．
【详解】解：依题意，所加边框的宽度为，则
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解决实际应用题，熟记各种图形的面积公式，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键．
7. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，知，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8. 已知长方形相邻两边的长分别为、，则它的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵长方形相邻两边的长分别为2、，
∴它的面积是：．
故选：A
9. 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=a，点P在AD上，且AP=2，点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交BC于点F，连接EF，给出下列结论：①tan∠PFE=；②a的最小值为10.则下列说法正确的是( )
A. ①②都对B. ①②都错C. ①对②错D. ①错②对
【答案】C
【解析】
【分析】①，利用矩形ABCD四个直角，再加上∠EPF为直角，联想到构造三垂直模型，故过F作AD垂线，垂足为G，即有△AEP∽△GPF，且相似比为1：2，即求得tan∠PFE．
②显然，若a要取最小值，则F、C要重合（G、D重合），又AE与PG为对应边，AE越小则PG（PD）越小，当AE=0时，PD=0最小，此时a=2．
【详解】解：过点F作FG⊥AD于点G
∴∠FGP=90°
∵矩形ABCD中，AB=4，∠A=∠B=90°
∴四边形ABFG是矩形，∠AEP+∠APE=90°
∴FG=AB=4
∵∠EPF=90°
∴∠APE+∠FPG=90°
∴∠AEP=∠FPG
∴△AEP∽△GPF
∴，故①正确；
如图2，当A、E重合，C、F重合，D、P重合时，AD最短，此时a=2，故②错误．
故选择：C.
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形判定和性质，解直角三角形．关键是对几个直角的条件进行组合运用（三垂直模型），动点题求最值时可把动点移到极端位置（一般是线段端点）来思考问题．
10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（）
A. 一定有两个相等实根B. 一定有两个不相等实根
C. 有两个实根，但无法确定是否相等D. 无实根
【答案】A
【解析】
【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解．
【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM=∠AEM，，
∴，
∵M是三条角平分线的交点
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠1=∠2，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
△DBM∽△EMC，
∴，
即：，
即．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 若二次根式有意义，则应该满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于列式求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得．
所以应满足的条件是的实数．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12. 若斜坡的水平宽度为6米，坡度为，则斜坡的长为___________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，由题意得出斜坡的竖直高度为米，再由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：斜坡的水平宽度为6米，坡度为，
斜坡的竖直高度斜坡的水平宽度，
斜坡的竖直高度为米，
斜坡的长为米，
故答案为：．
13. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在BC上，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是____．
【答案】100°
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的性质以及邻补角的定义求得∠FEC，再由三角形内角和定理和邻补角的定义来求∠EFB的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是中位线，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°．
又DE是∠AEF的角平分线，
∴∠DEF＝∠AED＝80°，
∴∠FEC＝20°，
∴∠EFB＝∠C+∠FEC＝100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查中位线定理，平行线的性质，角平分线性质以及邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点是解题关键．
14. 已知﹣2是关于x的方程x2﹣4x﹣m2＝0的一个根，则m＝______．
【答案】
【解析】
【分析】利用方程的根的性质把x=-2代入方程得到关于m的方程，解这个方程即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴有，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键．
15. 小亮同学参加了学校体育兴趣小组，在今年的校体育节中参加了跳远比赛，若函数h=t﹣t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是_______．
【答案】
【解析】
【分析】重心最高点，就是求这个二次函数的顶点，将二次函数化为顶点式，由此即可得．
【详解】
由二次函数的性质可知，当时，h取得最大值
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键．
16. 二次函数图象如图，下列结论中：；；；正确的有______ 填序号

【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数与轴的交点可对结论进行判定；根据二次函数的开口方向、对称轴及与轴的交点可对，，的符号进行判定，进而可对结论进行判定；根据二次函数的对称轴及二次函数图象与轴交点的坐标可对结论进行判断；根据二次函数的对称轴及与轴交点的情况可判断当时，，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：二次函数图象与轴有两个交点，
判别式，
，故结论正确；
二次函数图象得开口向下，
，
二次函数的对称轴为，
，
，
二次函数图象与轴交于正半轴，
，
，故结论不正确；
，
∴，
，，
∴，，
∴，
∴，故结论不正确；
设二次函数图象于的交点横坐标分别为，，
二次函数的对称轴为，且，
∴，
当时，，故结论不正确．
综上所述：正确的结论是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解答此题的关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，代入计算即可；
（2）运用完全平方公式，锐角三角函数知识先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可求解．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，完全平方公式是解题的关键．
18. 用因式分解法解方程．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．移项后分解因式得出，推出方程，，求出方程的解即可．
【详解】解：移项得：，
分解因式得：，
即，
，，
解得：，．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求m取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可求出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意可知：△，
，
∴；
（2）由题意可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：，或；
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴，
【点睛】本题考查根与系数，熟悉相关性质是解题的关键．
20. 尺规作图（不写作法，保留痕迹）；
已知：线段，
求作：，使得．

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用已知角作出，进而利用得出．
【详解】解：作出边，
作出，
作出边，
连接，

为所求三角形．
【点睛】本题考查的是复杂作图，作三角形，同时考查的是全等三角形的判定与性质，理解作图的依据是解本题的关键．
21. 如图，AB是一座高为60（3+）米的办公大楼，快递小哥在AB上的D处操作无人机进行快递业务．这时在另一座楼房的C处有人要寄快递，已知C与D在同一水平线上，从A看C的仰角为30°，从B看C的俯角为45°．
（1）请求出C与D之间的水平距离CD；
（2）已知D处信号发射器的信号只能覆盖周围150米范围，若无人机以10m/秒的速度沿着AC方向飞到C处取快递，请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号）
【答案】（1）C与D之间的水平距离CD为180m；（2）当无人机飞行（3+12）秒后会出现接收不到信号的危险．
【解析】
【分析】（1）设AD＝xm，利用三角函数表示再利用列方程，解方程可得答案；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，再利用三角函数求解DE＝90m，AE＝m，再利用勾股定理求解（m），从而可得答案．
【详解】解：（1）由题意得，∠DAC＝60°，∠DBC＝45°，∠ADC＝90°，
设AD＝xm，
在Rt△ADC中，∵tan∠DAC
∴CD＝ADtan∠DAC＝x×tan60°，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝90°﹣∠DBC＝45°＝∠DBC，
∴BD＝CD＝，
∵AB＝AD+BD，
∴，
解得，
∴CD＝＝180（m），
答：C与D之间的水平距离CD为180m；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，
设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，
连接DF，则DF＝150m，
在Rt△ADE中，
∵sin∠DAC＝，cs∠DAC＝，
∴DE＝ADsin∠DAC＝sin60°＝90（m），
AE＝ADcs∠DAC＝cs60°＝（m），
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
（m），
∴m，
∴秒．
答：当无人机飞行秒后会出现接收不到信号的危险．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数建立边与角之间的关系是解题的关键．
22. 2019年清明节假期宜宾市旅游景点游客人数统计图如图：
根据统计图信息完成以下各题．
（1）2019年清明节宜宾市实现各景点门票收入1千万元，那么人均门票价格为 ．
（2）根据“夕佳山民居”是接待游客安全预案机制规定，日接待游客1万人以内（包括1万人）为绿色接待；日接待游客在1万到1.5万人（包括1.5万）为黄色管制接待；日接待游客在1.5万人以上为红色限制接待．预计2019年“五一”三天小长假有60万人到宜宾市旅游，而各景点游客分布与2019年“清明”节一样，那么“夕佳山民居”五一日接待游客属于 接待．
（3）有甲、乙两个旅游团在宜宾市蜀南竹海、兴文石林、李庄古镇景区中，那么他们同时去一个景区的概率为 ．（用树状图或列表法表示）
【答案】（1）50元/人
（2）红色限制 （3）
【解析】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）先根据“蜀南竹海”的人数及其所占百分比求出总人数，再用总费用除以总人数即可得出答案；
（2）先求出“其它”部分对应的百分比，再由百分比之和为1求出“夕佳山”对应的百分比，继而乘以总人数即可得出答案；
（3）分别用1，2，3表示蜀山竹海、兴文石林、李庄古镇，画树状图得出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：总人数为（万人），
人均门票价格为（元人），
故答案为：50元人；
【小问2详解】
解： “其它”部分所对应的百分比为，
“夕佳山”人数对应的百分比为，
夕佳山民居”五一日接待游客数量为（万人），
“夕佳山民居”五一日接待游客属于红色限制接待，
故答案为：红色限制；
【小问3详解】
解：分别用1，2，3表示蜀南竹海、兴文石林、李庄古镇，画树状图得：
共有9种等可能的结果，他们选中同一个景区的有3种情况，
他们同时去一个景区的概率为，
故答案为：．
23. 某市体育馆为了让体育运动的人方便停车，体育馆利用一块矩形空地建了一个停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为58米，宽为22米，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位的面积为700平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，那么停车场的月租金收入最大为多少元？
【答案】（1）4米；（2）25000元
【解析】
【分析】（1）设通道的宽x米，由图中所示可得停车位的长（58-2x），停车位总宽（22-2x）,根据总面积列方程，解方程即可；
（2）设每个车位的月租金上涨m元，则少租出个车位，月租金收入=每个车位租金×租出的车位数，列出函数关系，配方求出的最大值即可．
【详解】（1）设通道的宽为x米，根据题意
得：，
解得：（舍去）或．
答：通道的宽为4米；
（2）设月租金上涨m元，设停车场的月租金收入为元，
根据题意，
∵，
故有最大值，
∴当（元）时，的最大值为25000（元）．
答：停车场的月租金收入最大为25000元．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，掌握二次函数的最值求法，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程以及列出函数关系式是解题关键．
24. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，直线交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出的长是本题的关键．
（1）由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可证；
（2）由锐角三角函数可求，的值，由勾股定理可求的值，即可求的值，由相似三角形的性质可求的值．
【小问1详解】
证明：将绕点顺时针旋转到位置，
，，，
，，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
即，
25. 我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【答案】（1）k的值为，m的值为3，n的值为2；
（2）①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析；
（3）能构成正方形，此时．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到即可解答；
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；
（3）由题意可知，得到A、B坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
【小问2详解】
解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
【小问3详解】
解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．