2025-2026学年上海市松江区立达中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

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生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、填空题
1．设全集，0，1，2，，若集合，2，，则 ．
2．是虚数单位，复数的虚部为 ．
3．扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于 ．
4．某校高三老师的年龄分布茎叶图，如图所示，则该校高三老师成员年龄的第75百分位数是 ．
5．在的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则 ．
6．已知函数是定义在，上的奇函数，则 ．
7．（5分）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ．
8．（5分）已知，则的最小值是 ．
9．（5分）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加．若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 ．
10．（5分）在△中，是边的中点．若，，，则 ．
11．（5分）数学的浪漫难以言表，今年是2025年，，，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为 年之约．
12．（5分）若曲线的右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称的两点、使得三角形为等边三角形，则正数的取值范围是 ．
二、单选题
13．已知，则
A．B．
C．D．
14．已知、是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是
A．（A）（B）B．（A）（B）
C．D．
15．（5分）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为
A．存在点，使得B．存在点．使得
C．直线始终与直线异面D．直线始终与直线异面
16．（5分）设函数和的定义域均为，对于下列四个命题：
①若对任意，都有，则存在且唯一；
②若为上单调函数，为周期函数，则在上既是单调函数又是周期函数：
③若对任意，都有，则当时，必有；
④命题：函数存在，使得，命题在上不是严格单调函数，命题是命题的充分不必要条件．
其中正确的命题为
A．①②B．①④C．①③D．③④
三、解答题
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18．（16分）某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在，，将所得数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）求的值，并求出测试成绩在，内的学生人数；
（2）试估计本次测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）从测试成绩在，和，内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法．求这两人中恰好有一人的成绩在，内的概率．
19．（16分）七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且．
（1）当米时，求分隔栏的长；
（2）综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区△的面积的最大值．
20．（16分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线交椭圆于、两点．
（1）若的离心率为，求的值；
（2）若，△为等腰三角形，且在第一象限，求点的坐标；
（3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围．
21．（18分）已知函数，，为自然常数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在区间，上有最小值，求实数的值；
（3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1．设全集，0，1，2，，若集合，2，，则 ， ．
解：因为全集，0，1，2，，若集合，2，，
所以，．
故答案为：，．
2．是虚数单位，复数的虚部为 ．
解：，
复数的虚部为．
故答案为：．
3．扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于 3 ．
解：由题意扇形的半径等于2，面积等于6，
设它的圆心角为，
则由，可得，解得．
故答案为：3．
4．某校高三老师的年龄分布茎叶图，如图所示，则该校高三老师成员年龄的第75百分位数是 48.5 ．
解：因为，所以该校高三老师年龄的第75百分位数是．
故答案为：48.5．
5．在的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则 4 ．
解：的展开式的通项公式为，
若第2项和第4项的系数相同，
则，
则，则．
故答案为：4．
6．已知函数是定义在，上的奇函数，则 ．
解：由函数是定义在，上的奇函数，
可知，即．
又是奇函数，故，即，
对任意都成立，则，
．所以．
故答案为：．
7．（5分）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ．
解：由题意可得，，，，
若数列的前三项和为2，则，
解得或（舍．
故答案为：．
8．（5分）已知，则的最小值是 ．
解：由题意，，可得，，且，则，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值是．
故答案为：．
9．（5分）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加．若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 ．
解：这5名选手上场顺序共有种，
要使甲、乙两位选手上场顺序不相邻，则先排丙、丁、戊共有种，
再利用插空法排甲乙，共有种排法，
则甲、乙两位选手上场顺序不相邻共有种排法，
则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为．
故答案为：．
10．（5分）在△中，是边的中点．若，，，则 ．
解：因为，，，
所以由余弦定理得：，
所以，
又因为是中点，
所以
．
故答案为：．
11．（5分）数学的浪漫难以言表，今年是2025年，，，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为 千或1000 年之约．
解：由题设，
猜想，显然时，
若时，成立，
当时，
，
所以时，也成立，
由，故下一个完美平方年为年，
所以，故标题可为千年之约．
故答案为：千或1000．
12．（5分）若曲线的右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称的两点、使得三角形为等边三角形，则正数的取值范围是 ， ．
解：由任意点在线段上（除端点），在曲线上存在关于轴对称的两点，，
使得△为等边三角形，即存在点使得，
所以存在点使得，与双曲线的一条渐近线方程，
则渐近线的斜率大于等于，可得，解得．
故答案为：，．
二、单选题
13．已知，则
A．B．
C．D．
解：，
则，故正确；
，故错误；
，故错误；
，故错误．
故选：．
14．已知、是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是
A．（A）（B）B．（A）（B）
C．D．
解：．，（B），错误；
．，（A），错误；
．，，正确；
．，（A），错误．
故选：．
15．（5分）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为
A．存在点，使得B．存在点．使得
C．直线始终与直线异面D．直线始终与直线异面
解：正方体中，易得平面，
点在直线上，为线段的中点，
当点和重合时，平面，
，故正确；
连接，如图所示：
当点为线段的中点时，为三角形的中位线，即，故正确；
平面，当点和点重合时，平面，
则直线和在同一平面内，故错误；
平面，平面，，
故直线始终与直线不相交，且不平行，是异面直线，故正确．
故选：．
16．（5分）设函数和的定义域均为，对于下列四个命题：
①若对任意，都有，则存在且唯一；
②若为上单调函数，为周期函数，则在上既是单调函数又是周期函数：
③若对任意，都有，则当时，必有；
④命题：函数存在，使得，命题在上不是严格单调函数，命题是命题的充分不必要条件．
其中正确的命题为
A．①②B．①④C．①③D．③④
解：对于①：令，对任意，那么都有，，因此都有；
令，对任意，那么都有，，因此都有，因此①错误．
对于②：设的最小正周期为，那么．
因此当时，．
因此函数在上不是单调函数，②错误．
对于③：如果对任意，那么都有，那么，．
因此当时，那么必有，③正确．
对于④：对于，设，
若在上是单调函数，那么可得或．
因此不存在，使得．
若存在，使得，
若函数在上不是严格单调函数，即．
因此命题是命题的充分条件．
若命题为真，即函数在上不是严格单调函数时，如函数，
函数不存在，使得，因此，
所以命题不是命题的必要条件．
综上所述，命题是命题的充分不必要条件，④正确．
故选：．
三、解答题
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为平面平面，平面平面，
又因为，所以平面．
（2）解：因为底面为正方形，所以，由（Ⅰ）知平面，
所以、、两两垂直，建系如图，
，0，，，2，，，1，，
，2，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量，，，
，0，是平面的法向量，
所以二面角的余弦值为．
18．（16分）某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在，，将所得数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）求的值，并求出测试成绩在，内的学生人数；
（2）试估计本次测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）从测试成绩在，和，内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法．求这两人中恰好有一人的成绩在，内的概率．
解：（1）由题意得，
解得，
所以测试成绩在，内学生的人数为；
（2）由频率分布直方图可知，本次测试成绩的平均分为
；
（3）抽取的成绩在，内的人数为，记为，，，
抽取的成绩在，内的人数为，记为，，
则从5人中随机抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，共10种，
其中恰有一人的成绩在，内的有，，，，，，共6种，
所以这两人中恰好有一人的成绩在，内的概率为．
19．（16分）七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且．
（1）当米时，求分隔栏的长；
（2）综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区△的面积的最大值．
解：（1）因为，，
所以，
在△中，，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的长为米；
（2）因为，，
设，，则，
在△中，由正弦定理得，
即，
解得，
则
，
当，即时，
△面积取得最大值，最大值为平方米．
20．（16分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线交椭圆于、两点．
（1）若的离心率为，求的值；
（2）若，△为等腰三角形，且在第一象限，求点的坐标；
（3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围．
解：（1）当椭圆焦点在轴上时，
因为椭圆的离心率为，
所以，
解得，
则；
当椭圆焦点在轴上时，
因为椭圆的离心率为，
所以，
解得，
综上，当椭圆焦点在轴上时，；椭圆焦点在轴上时，；
（2）当时，椭圆，
其中，，，
设，，，，
因为△为等腰三角形，且在第一象限，
由椭圆对称性和点位置可知，，
若，
此时，
所以，
即，
因为，在椭圆上，
所以，
即，
因为，
所以，
整理得，
此时△，
所以该方程无实数解，
则；
若，，
此时，
因为，
所以，
解得或（舍去），
将代入椭圆方程可得，
则；
（3）设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
此时△，
解得，
由韦达定理得，
因为与关于原点对称，
所以，，
又，，
所以，
因为，
所以，
因为，，
所以，
整理得，
因为，
所以，
即，
因为，
所以，
解得，
又，
所以．
则的取值范围为，．
21．（18分）已知函数，，为自然常数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在区间，上有最小值，求实数的值；
（3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题设，，
则，
故（e），（e），
所以函数在处的切线方程为，
整理得；
（2）由题设且，
当时，，即在上单调递减，
此时，在区间，上有最小值（e），可得；
当时，令，解得，
时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，在区间，上有最小值（e），可得，不符合；
若，即时，在区间，上有最小值，可得，不符合；
若，即时，在区间，上有最小值（1），不符合；
综上，；
（3）由题设且，
对于，有，
则，时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以恒成立，
则在上恒成立，
令，
则，
令，
则，
令，
则，
所以时，，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故（1），
易知在上单调递增，且（1），
所以时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故（1），
所以，
所以实数的取值范围为，．