浙江省2025_2026学年高一数学上学期10月联考试题含解析

这是一份浙江省2025_2026学年高一数学上学期10月联考试题含解析，共16页。试卷主要包含了 设，则下列命题正确是， 已知，设， 已知函数，若，则实数的值等于等内容，欢迎下载使用。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号(填涂)；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】由，得到，所以，又，
所以，
故选：C.
2. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由全称命题的否定为存在量词命题，即可得答案.
【详解】因为命题，，
所以其否定为：，.
故选：A
3. 设集合.，那么“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分性、必要性的定义，结合集合的交集定义进行求解即可
【详解】当且成立时，根据集合的交集定义可知：，
当成立时，根据集合的交集定义可知：且，
故“且”是“”的充分必要条件，
故选：C
4. 设，则下列命题正确是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可.
【详解】当时，不成立，故A错误；
当时，不成立，故B错误；
当时，不成立，故C错误；
，由不等式性质知，故D正确.
故选：D
5. 已知，设：，：.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】设集合，集合，
因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集，
则，解得.
故选：C
6. 已知函数，若，则实数的值等于（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得的值，然后分类讨论确定实数a的值即可，需要注意自变量的取值范围.
【详解】，据此结合题意分类讨论：
当时，，
由得，解得，舍去；
当时，，
由得，解得，满足题意.
故选：A．
7. 19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.
【详解】，
因为，故A正确；
因为，
当是有理数时，即，即，与有理数矛盾，
当是无理数时，即，即，与无理数矛盾，所以在有理数和无理数范围内均无解，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D正确.
故选：B.
8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得.
【详解】，要使，
则或.
当时，，满足.
当时，首先有两个不同的解或，
其次，对于，，
当时，或，
当时，，，
此时，满足.
当时，，，
此时，满足.
当，即时，无解，不符合题意.
当，即或时，
的解为或，
不是解，
由，解得，
当时，，满足，
当时，，满足，
当时，，不符合题意.
综上所述，.
故选：B
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知函数，若的解集为 ，则下列结论正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】因为不等式的解集为，则，故B正确；
可知相应的二次函数的图象开口向下，所以，所以A错误；
由二次不等式可知的解集为，
则，，所以C错误，D正确；
故选：BD.
10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A. B. 若，则的值是或
C. 的值域为D. 的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得.
【详解】对A：因为，则，故A正确；
对B：当时，，解得（舍去），
当时，，解得或（舍去），故B错误；
对C：当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是，
因此的值域为，故C正确；
对D：当时，，解得，
当时，，解得，
所以解集为；故D错误
故选：AC.
11. 若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ）
A. 有最大值
B. 有最小值
C. 有最大值为
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式，基本不等式中的“1”的应用，二次函数性质，配凑法计算判断各个选项.
【详解】对于A，由正实数满足，得，当且仅当时取等号，正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，正确；
对于C，，根据二次函数性质，
因为，所以当时，，不是，错误；
对于D，，
又，
由，则，，
所以，当且仅当时取等号，正确；
故选：ABD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知集合，，若，则实数的取值集合为_______.
【答案】
【解析】
分析】
考虑和两种情况，，计算得到答案.
【详解】，，，
当时，满足条件；
当，即时，满足条件；当，即时，满足条件.
故集合为.
故答案为：
【点睛】本题考查了根据集合包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误.
13. 已知，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
由，
所以，
因为，当且仅当，
即当时取等号，
所以有.
所以当时，有最小值，
故答案为：
14. 定义在上的函数满足：，，则 ______..
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法先求，进而得，即可得解.
【详解】由题意令有：，
令有：，
又，所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，全集．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据的值求出集合，进而求出，再解不等式求出集合，最后求出．
（2）根据得出，再分和两种情况讨论，求出实数a的取值范围．
【小问1详解】
当时，集合，
或，
，解不等式得，
，
或或．
【小问2详解】
，
，
若，，解得；
若，，解得，
又，
，解得，
时，，
综上，实数a的取值范围为：．
16. 给定函数，，．
（1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解；
（3），用表示，中的较大者，记. 例如，当时，. 请在图二中画出函数的图象并求其解析式.
【答案】（1）图象见解析
（2）或
（3）图象见详解；
【解析】
【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象；
（2）结合图象即可求得不等式解集；
（3）根据（1）中的图象可得函数的图象并求其解析式.
【小问1详解】
画出函数，的图象如图：
【小问2详解】
观察图象，可得不等式的解为或.
【小问3详解】
结合（1）可用图象法表示如图：
由可得或，
故.
17. 已知函数
（1）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）若，求关于的不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）运用数形结合法，可推得，求解即得；
（2）将不等式整理成，结合，对进行分类讨论，即可求得不等式的解集.
【小问1详解】
因即的解集为R，
则 ，解得，即实数a的取值范围为.
【小问2详解】
不等式即，
整理得：，分解因式可得：，因，
则当时，，此时不等式的解集为；
当时，不等式为，则其解集为；
当时，，则不等式的解集为.
18. 据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人；
（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合，可解得的范围，即可得出结论；
（2）根据题意可得出，化简后可得，然后结合基本不等式及为正整数可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
由题可得：，
化简后可得：，结合，可得.
故调整后的技术人员的人数x最多为65人；
【小问2详解】
由（1），研发人员的年总投入为：，
技术人员的年总投入为：.
由题可得：，
化简后可得：，
为使恒成立，
则，由基本不等式，，
当且仅当，即时取等号，则.
结合为正整数，可得正整数m的最大值为5.
19. 柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，有 当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，有当时，等号成立.
（1）证明二阶柯西不等式：
（2）若 求的最小值；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）利用作差法，将展开化简，再根据完全平方非负的性质证明结论；
（2）利用柯西不等式推出，结合已知条件求出的最小值；
（3）利用柯西不等式求出的最大值，再根据的取值范围求出最小值．
【小问1详解】
，
当且仅当，即时等号成立，
．
【小问2详解】
，
，
，
，即，当且仅当时等号成立，结合解得，
的最小值为3．
【小问3详解】
根据柯西不等式①，
①式可化为，
即，
，
，当且仅当，即时取等号，
，
，
在上单调递增，，
，时取最小值，此时
，
的取值范围为：．