浙江省2025_2026学年高一数学上学期10月联考试题含解析

展开

这是一份浙江省2025_2026学年高一数学上学期10月联考试题含解析，共12页。试卷主要包含了集合中的元素个数为，设，则下列选项中正确的是，已知命题 p等内容，欢迎下载使用。

考生注意:
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的交集运算即可.
【详解】集合，，
∴ .
故选：C.
2. 命题“ ， ”的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案.
【详解】由“存在量词命题，的否定为， ”可知
命题“ ， ”的否定为“ ， ”.
第 1页/共 12页
故选：A
3. 集合中的元素个数为（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数.
【详解】因为，所以．又，所以，
所以可能的取值为，分别代入可得，
所以集合 A 中共有 6 个元素．
故选：D
4. 设，则下列选项中正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】用特例说明 ACD 错误，用不等式的性质证明 B 正确.
【详解】对于 A，若，，则，，，∴A 错；
对于 B，若，则，两边同时除以，则，∴B 对；
对于 C，若，，，但，∴C 错；
对于 D，若，，则，，∴ ，∴D 错.
故选：B
5. 已知命题 p：，命题 q：，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是
（）
A. B. C. D.
【答案】D
第 2页/共 12页
【解析】
【分析】转化为根据集合包含关系求参数的取值范围问题求解.
【详解】设集合，，由题意可知，
∴ ，∴ .
故选：D
6. 已知，，，则，的大小关系为（）
A. B. C. D. 与的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】已知，，，所以 .
故选：C
7. 若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）
A. B.
C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可.
【详解】由图可知，，，，∴ ，，
∴ ， .
第 3页/共 12页
∴ 等价于，
∵ ，∴ ，解得 .
故选：B
8. 给定整数，有 n 个实数元素的集合 S，定义其相伴数集，如果
，则称集合 S 为一个 n 元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合
，，则（）
A. M 是规范数集，N 不是规范数集 B. M 是规范数集，N 是规范数集
C. M 不是规范数集，N 是规范数集 D. M 不是规范数集，N 不是规范数集
【答案】C
【解析】
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】由题意知集合中任意两个不同数的差的绝对值的最小值若为 1，则该集合是规范数集.
集合，当时，，
即的相伴数集中最小元素小于 1，故不是规范数集；
集合，
因为，
即的相伴数集中最小元素为 1，所以是规范数集；
综上：不是规范数集，是规范数集.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知集合，集合，则集合 N 可以是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合的包含关系确定各选项是否正确.
第 4页/共 12页
【详解】因为，且，
所以集合中必含有元素，可能含有元素，但不能同时包含.
故选项 AC 正确
故选：AC
10. 设正实数 a，b 满足，则（）
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于 A，B，∵ （当且仅当时，等号成立），∴ ，∴
，∴A 错 B 对；
对于 C，（当且仅当取等号），∴
C 对；
对于 D，，由 B 选项知，∴D 对.
故选：BCD
11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正
确的是（）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先判断的符号，作出函数的图象，数形结合，可判断各选项的正确与否
.
第 5页/共 12页
【详解】由题可知，设函数，作出函数图象，如下图：
因为，是方程的两根，
∴ ，故 A 对；
对于 B，C，由图可知，，故 B 错 C 对；
对于 D，，∵ ，，∴ .故 D 对.
故选：ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知方程的两根为，则 ______．
【答案】7
【解析】
【分析】利用韦达定理求解即可.
【详解】方程的两根为，
由韦达定理得，，
所以 .
故答案为：7.
13. 若集合有且只有两个元素，则实数 a 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先将不等式左边分解因式，然后根据零点大小关系分类讨论.
第 6页/共 12页
【详解】因为，
当时，，正整数解不可能有两个；
当时，；
当时，，要满足有两个正整数解﹐则 .
综上，实数的取值范围为 .
故答案为：
14. 已知实数满足，，则的值为
______.
【答案】
【解析】
【分析】变形得到，，是方程的两个根，由韦达
定理可得两根之和，两根之积，故 .
【详解】在中显然，两边同除以得，
又∵ ，且由可得，
和是关于的方程的两个不同实数根.
∴ ，，
故 .
故答案为： .
第 7页/共 12页
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 将下列各式分解因式.
（1）；
（2）；
（3） .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】利用因式分解的法则进行因式分解即可.
【小问 1 详解】
.
【小问 2 详解】
.
【小问 3 详解】
.
16. 已知集合， .
（1）若，求和；
（2）若，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的运算法则进行计算.
（2）根据集合的包含关系求实数 m 的取值范围.
【小问 1 详解】
第 8页/共 12页
当时，，，或 .
∴ ， .
【小问 2 详解】
∵ ，∴ ， .
当时，，不符合题意；
当时，，B 不是 A 的子集，舍去；
当时，，，∴ .
综上， .
17. 若且 .
（1）求的最小值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）9 （2）
【解析】
【分析】（1）先判断，原式变形成，等式右边应用基本不等式求解；
（2）原式变形成，然后由基本不等式求解.
【小问 1 详解】
由，因为，所以 .
由（当且仅当时取等号），
得，故或（舍），
所以（取等号），所以的最小值是 9.
【小问 2 详解】
由 .
因为，所以，且 .
第 9页/共 12页
所以，
即，当且仅当，即时取等号.
所以取值范围为 .
18. 已知直角梯形中，，，，，过点
作延长线的垂线，垂足为 E，连接 .
（1）设，，请写出 x 与 a 的关系式（用 x 表示 a）；
（2）在（1）的条件下，记的面积为 S，求 S 的最大值及此时 x 的值.
【答案】（1）
（2）的最大值是，此时 .
【解析】
【分析】（1）作于 ,根据给定条件，结合勾股定理列式求解.
（2）证明 ,求出与的函数关系，利用基本不等式求出最大值.
【小问 1 详解】
过点 D 作的垂线，垂足为 F，
因为 , , ，故，
由，，得，，
因为，故 ,而 ,故 ,
在中，，故，
所以 .
第 10页/共 12页
【小问 2 详解】
由（1）得，，
所以，
由（1）得：，所以 .
当且仅当时取等号，
综上，的最大值是，此时 .
19. 已知二次函数 .
（1）当时，
（i）若恒成立，求实数的取值范围；
（ii）当时，函数 y 的最小值为，求实数 a 的值；
（2）若对任意实数，当时，恒有函数 y 的最大值与最小值之差不小于 m ，求实数 m 的取
值范围.
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）或
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）计算判别式即可求解；（ii）先求出对称轴，再分别讨论，和
三种情况即可求解.
（2）设函数在区间上最大值与最小值之差为，的最小值在对称轴位于
区间中心时取得，列出的表达式，得，即可求出实数 m 的取值范围.
【小问 1 详解】
第 11页/共 12页
解：（i）恒成立，故，所以 .
（ii）二次函数的对称轴为，
①当，即时，，故，所以；
②当，即时，，故，所以，舍去.
③当，即，，故，所以或（舍去）.
综上：或 .
【小问 2 详解】
设函数在区间上的最大值与最小值之差为，
二次函数的图像是开口向上的抛物线，区间长度为定值 4，
的最小值在对称轴位于区间中心时取得；此时，，
；
，
在该情况下有 (即 )，代入上式得：
，
因此，函数最大值与最小值之差的最小值为 4；
根据题意，对任意恒有，故 .