26春人教版八年级下册数学21.2.2 平行四边形的判定 21.2.3 三角形的中位线 课件

21.2 平行四边形第二十一章 四边形21.2.2 平行四边形的判定21.2.3 三角形的中位线逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2平行四边形的判定方法三角形的中位线知识点平行四边形的判定方法知1－讲11. 判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行. 具体如下表所示.知1－讲续表知1－讲续表知1－讲2. 平行四边形判定方法的选择知1－讲特别提醒1. 平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理，解题时要注意区别，不能混淆.2. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. 如等腰梯形.知1－讲3. 两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形.如筝形，如图21.2－27.4. 两组邻角分别相等的四边形不一定是平行四边形.如等腰梯形.知1－练例 1如图21.2－28，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE. 求证：四边形ABCD是平行四边形.解题秘方：根据所给条件可知证三角形全等可得到证四边形ABCD是平行四边形的条件，方法不唯一.知1－练证法一：(证两组对边相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF，∴AB＝CD.∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF,∴△AED≌△CFB, ∴AD＝CB.∴四边形ABCD是平行四边形.知1－练证法二：(证两组对角相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF.∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF.∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF,∴△AED≌△CFB, ∴∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF.知1－练∴∠ABE＋∠CBF＝∠CDF＋∠ADE，∠BAE＋∠DAE＝∠DCF＋∠BCF，即∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD.∴四边形ABCD是平行四边形.知1－练证法三：(证两组对边平行)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF.∴∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD.易得△AED≌△CFB，∴∠ADE＝∠CBF. ∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.知1－练证法四：(证一组对边平行且相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF,∴AB＝CD，∠ABE＝ ∠CDF，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.知1－练1－1.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥ BC，点F是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件：① BD∥CF； ② DF＝BC；③ BD＝CF；④∠B＝∠F，能使四边形BCFD是平行四边形的是_______(填上所有符合要求的条件的序号)．①②④知1－练1－2. 如图，在ABCD中，AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线.求证：四边形AFCE是平行四边形. (至少用两种证法)知1－练知1－练知1－练知1－练知1－练[中考·徐州]已知：如图21.2－29，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF. 求证：四边形BEDF 是平行四边形.解题秘方：由于条件都与四边形的对角线相关，因此需紧扣对角线关系判定平行四边形.例 2知1－练证明：如图21.2－29，连接BD，设对角线AC，BD交于 点O.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD.又∵ AE＝CF，∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形.知1－练2－1.如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC， E，F 分别是OB，OD的中点. 求证：四边形AFCE 是平行四边形.知1－练知2－讲知识点三角形的中位线21. 三角形的中位线及其定理知2－讲续表知2－讲2. 三角形的中位线与三角形的中线的区别知2－讲续表知2－讲特别解读1. 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.2. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.3. 中位线具有平移角度、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到.知2－练 例 3知2－练解题秘方：有三角形中位线(或三角形中两条边的中点)的条件时，若求角的度数，则考虑中位线定理的位置关系；若求线段的长度，则考虑中位线定理的数量关系.知2－练解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠A＝30°.∵∠C＝90°，∴∠CED＝90°－ ∠CDE＝60°.求：(1)∠CED的度数；知2－练 (2)线段DE的长.知2－练3－1.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE.知2－练(1)若ABCD的周长为36，BD＝12， 求△DOE的周长；知2－练(2)若∠ABC＝60°,∠BAC＝80°, 求∠ 1 的度数.解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°－60°－80°＝40°.由(1)知OE是△BCD的中位线，∴OB∥BC.∴∠1＝∠ACB＝40°.知2－练如图21.2－31，已知E 为▱ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BD，交于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF.例 4知2－练思路导引：知2－练证明：如图21.2－31，连接BE.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD，点O 是AC 的中点.∵ E 为▱ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE＝DC，∴ AB∥CE，AB＝CE.∴四边形ABEC 是平行四边形. ∴点F 是BC 的中点.∴ OF 是△ABC 的中位线. ∴ AB＝2OF.知2－练 知2－练平行四边形的判定三角形的中位线判定平行四边形边的关系角的关系对角线的关系三角形的中位线定义性质如图21.2－32，在▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF，试猜测AC与EF有什么关系，并加以证明.题型构造平行四边形解决问题1类型1 连接两点构造平行四边形例 5解题秘方：结合图形进行猜测：AC，EF 互相平分. 紧扣平行四边形“对角线互相平分”这一特征，将证明线段互相平分问题转化为证明平行四边形问题来解.解：AC与EF互相平分. 证明如下：如图21.2－32，连接AF，CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ DC∥AB，DC＝AB.∵ DF＝BE，∴ CF＝AE.又∵ CF∥AE. ∴四边形AECF 为平行四边形.∴ AC 与EF 互相平分.另解∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ DC＝AB，CF∥AE. ∴∠CFE＝ ∠AEF.∵DF＝BE，∴CF＝AE.又∵ EF＝FE，∴ △CFE≌ △AEF(SAS).∴∠CEF＝∠AFE. ∴ CE∥AF.∴ 四边形AECF是平行四边形.知识储备两条线段的数量关系有相等或倍分，位置关系有平行或相交，而相交的特殊情况有垂直、互相平分.如图21.2－33，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE 交AD 于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.类型2 延长线段构造平行四边形例 6思路导引：思路点拨当题中有三角形的中线时，常用“倍长中线法”构造平行四边形，然后利用平行四边形的性质推出线段相等或平行及角相等.题型构造三角形中位线基本图形解决问题2如图21.2－34所示的四边形ABCD，点E，F，G，H 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH. 求证：四边形EFGH 是平行四边形.类型1 连接两点构造三角形例 7思路导引： 解题策略1. 依次连接四边形各边中点所得到的四边形叫中点四边形，所有的中点四边形都是平行四边形.2. 利用三角形的中位线定理判定平行四边形，一般用“一组对边平行且相等”判定平行四边形. 类型2 延长线段构造三角形“角平分线＋垂直”联想到等腰三角形例 8思路导引： 解题通法构造三角形中位线的方法:1. 如图21.2－36 ①，若已知一边中点，则取另一边中点,并连接；2. 如图21.2－36 ②，若已知两边中点，则连接第三边；3. 如图21.2-36③，若已知一边中点，则将另一边倍长，再连接第三边；4. 如图21.2-36④，若已知一条线段与角平分线垂直，则延长这条线段构造等腰三角形，结合已知条件得到中位线.易错点对平行四边形的判定方法把握不准导致错误观察图21.2－37，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是( )A. ③ B. ②③ C. ①② D. ①②③例 9答案：A错解：B正解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形；③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形. 所以根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③ .诊误区：本题易错之处在于“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形；此外，不能仅凭直观判断轻易下结论，必须要经过严格的推理论证得出结论.[中考·湖南节选]如图21.2－38，在四边形ABCD中，AB∥ CD，点E在边AB上，________.请从“① ∠B＝ ∠AED；② AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，并证明四边形BCDE是平行四边形.考法选择条件判定平行四边形1例10试题评析：本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．解：①(或②)证明：若选择①：∵∠B＝ ∠AED，∴ BC∥DE.又∵ AB∥CD，∴四边形BCDE 为平行四边形.若选择②：∵ AE＝BE，AE＝CD，∴ BE＝CD.又∵ AB∥CD，∴四边形BCDE 为平行四边形.[中考·苏州] 如图21.2－39，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．考法平行四边形的性质与判定的综合2例11试题评析：本题考查全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键.(1)求证：△DAC≌△ECB； (2)连接DE，若AB＝16，求DE的长 [中考·巴中] 如图21.2－40，▱ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若▱ABCD的周长为12，则△COE 的周长为( )A．4 B．5 C．6 D．8考法利用三角形的中位线定理求周长3例12试题评析：本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，得出OE是△ABC 的中位线是解题关键.  答案：B1. 如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BCD2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B 两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C，然后步测出AC，BC 的中点D，E，并步测出DE 的长约为18 m，由此估测A，B 之间的距离约为( )A．18 m B．24 m C．36 m D．54 mC3. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，AE 平分△ABC 的外角∠CAN，点M 是AC 的中点，连接BM 并延长交AE 于点D，连接CD．求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵ AB＝AC，∴∠ABC＝ ∠3．∵ ∠CAN＝∠ABC＋∠3 ，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴①________．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD ≌△MCB(②________).∴ MD＝MB． ∴四边形ABCD 是平行四边形．若以上解答过程正确，①②应分别为(　　)A．∠1＝∠3，AASB．∠1＝∠3，ASAC．∠2＝∠3，AASD．∠2＝∠3，ASAD4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED 的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．16C D6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形．OB＝OD(答案不唯一) 38. [中考·临沂] 如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点． 添加下列条件中的一个：① BM＝EN；② ∠FAN＝∠CDM； ③ AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE． 能使四边形AMDN 是平行四边形的是_______ (填上所有符合要求的条件的序号)．①②④9. [模拟·温州龙湾区]小明和小丽在探究尺规作图问题：如图①，在△ABC中，用尺规作AC边上的中线BD.小明：如图②，以A为圆心，BC长为半径作弧，再以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于AC的右侧于点 E，连接BE交AC于点D，则BD是AC边上的中线.小丽：为什么？小明：可以连接AE.CE，因为……(1)请补充小明的推理过程；解：由作图知AE＝BC，CE＝AB，∴四边形ABCE是平行四边形，∴AD＝CD.∴BD是AC边上的中线．(2)如图②，若∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝8，求BE的长.10. 如图，在△ABC 中，点D，E 分别为AB，AC 的中点，点H 在线段CE 上，连接BH，点G，F 分别为BH，CH 的中点．(1)求证：四边形DEFG 为平行四边形；(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度． 11. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝ 90°，AD＝ 1，BC＝3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F.(1)求证：四边形BDFC 是平行四边形；证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ABC＝180°. ∴AF∥BC.∴∠CBE＝∠DFE，∠BCE＝∠FDE.∵E是边CD的中点，∴CE＝DE.∴△BCE≌△FDE(AAS)．∴BE＝FE.又∵CE＝DE，∴四边形BDFC是平行四边形．(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.