辽宁省名校联盟2026届高三上学期12月联合考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省名校联盟2026届高三上学期12月联合考试数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A．1B．C．D．
3．已知函数的定义域为，则是有最小值2的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（ ）
A．B．C．0D．
6．过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（ ）
A．16B．15C．10D．5
7．已知数列满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．设，分别是函数和的零点，其中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则满足条件的值有且只有1个
B．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则满足条件的值有且只有1个
C．直线与曲线恒有公共点
D．若曲线为圆，则满足条件的值有且只有2个
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，
B．函数的值域为
C．函数的最小正周期为
D．函数的单调递减区间是，
11．如图，是棱长为2的正方体的侧面上的一个动点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点与点重合，则异面直线与所成角的大小为
B．若点满足，则动点的轨迹长度为2
C．三棱锥体积的最大值为
D．当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为
三、填空题
12．已知，则 .
13．已知函数，则不等式的解集为 .
14．已知函数，在上可导，其导数为，，若，则成立，英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则 .
四、解答题
15．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，且.
(1)求角；
(2)若，角的平分线交于点，求线段的取值范围.
16．如图，已知是等腰直角三角形，，，平面，为的中点.
(1)若平面，求的值；
(2)已知平面与平面的夹角为，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知数列满足，.
(1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式；
(2)设，为的前项和.
（i）求；
（ii）若，恒成立，求实数的最大值.
18．已知椭圆与椭圆，则称，为“共轭”椭圆.
(1)求证：“共轭”椭圆，的交点共圆；
(2)若（1）中圆的半径为，请给出离心率为的“共轭”椭圆，的方程；
(3)若“共轭”椭圆的离心率为，直线与“共轭”椭圆，的交点分别为，和，，设，且存在使得有解，求实数的取值范围.
19．已知函数.
(1)当时，求函数在上的最小值；
(2)已知，，若函数有三个零点，，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
1．C
【详解】由集合，
得.
故选:C
2．B
【详解】依题意，，则，
所以的共轭复数的虚部为.
故选：B
3．A
【详解】因为，所以，当且仅当时，
函数有最小值2，所以充分性成立；
令，得，要使，则且，所以必要性不成立.
综上，是函数有最小值2的充分不必要条件.
故选：A
4．C
【详解】由两圆的标准方程分别为和，得圆心分别为和，半径分别为1和3，
又两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，
所以，则，即，
故选：C
5．D
【详解】在等腰三角形中，是的中点，
所以，所以，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，所以，，
则.
故选：D.
6．A
【详解】解法一：因为，所以，
设切点，所以在处的切线斜率，
所以在处的切线方程为，
又点在曲线上，所以，
所以在处的切线方程为，
因为此切线过点，所以），
解得，即，当时，，当时，，
所以不妨设，所以直线的方程为，
整理得，又到的距离，
则.
解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交，
故过原点且与曲线相切的直线斜率存在，
设切线方程为，切点为，，联立，
整理得0，令，得或，
由，得，所以，
当时，，当时，，
不妨设，所以，
所以直线的方程为，即0，
又到的距离，则.
故选：A
7．D
【详解】因为，且，，
故，
所以，
所以数列都是以6为一个周期的周期数列.
又，则，A项错误；
因为，所以，B项错误；
因为，所以，C项错误；
因为，所以，D项正确.
故选：D
8．B
【详解】由，依题有，
即，同理，
因为函数与的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，
所以点与关于直线对称，所以，
令，此时为，所以，
所以，
因为函数在内单调递减，所以.
故选：B.
9．BCD
【详解】对于A项，焦点在轴上的椭圆条件为，且，
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
随着增大，指数函数增长快于多项式，故时均能满足，A项错误；
对于B项，焦点在轴上的椭圆条件为且，
当时，，满足；
其他值：时不满足，时，因此满足条件的仅有个，B项正确；
对于C项，直线与曲线联立，得：，
所以，
，因此直线与曲线恒有公共点，C项正确；
对于D项，曲线为圆的条件为，
当时，，满足；
当时，，满足；
其他值均不满足，因此满足条件的仅有个，D项正确.
故选：BCD.
10．BC
【详解】易知.
对于A项，
由题意得则定义域为且且，A项错误；
对于B项，的值域为，B项正确；
对于C项，最小正周期为，C项正确；
对于D项，由函数图象可知的单调递减区间是，D项错误.
故选：BC.
11．ABD
【详解】对于A，当点与点重合时，
如图①，连接，由正方形，知，由正方体知平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以异面直线与所成角的大小为，A正确；
对于B，如图②，取的中点的中点，连接，由，得，
则，所以，
由平面平面，得，
而平面，所以平面，由，得点的轨迹为四边形中的边，则动点的轨迹长度为2，B正确；
对于C，显然为正三角形，，而，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，点是正方体侧面内到平面距离最大的点，又三棱锥是棱长为的正四面体，所以点到平面的距离，
则，C错误；
对于D，如图③，由平面，易知为直线与平面所成角，所以2，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为弧，所以点的轨迹长度为，D正确.
故选：ABD
12．
【详解】因为，左右同时平方得：，
所以，则，
所以.
故答案为：.
13．
【详解】的定义域为，且在内单调递增，则
令，则，
因为在上恒成立，
所以在内单调递增，
又，所以，
所以解集为.
故答案为：.
14．
【详解】解法一：
设，
则，
记，，则，
又，所以，所以，
所以.
解法二：
由①，
得②，
由①得③，
由②③得，则，即，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）已知，由正弦定理得，
即，
所以，即，
又，所以，所以，
又，所以.
（2）由（1）知，则，
因为角的平分线交于点，则，
又，所以，
则，当且仅当时取等号，
所以线段的取值范围为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）如图，取的中点，连接，
因为平面，平面，所以平面平面，
因为为等腰直角三角形，且，所以，
又平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，为的中点，
所以，且，所以，
又，所以四边形为平行四边形，所以，所以.
（2）由（1）可知平面，平面，所以两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量，
易知平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)证明见解析，
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由题意知，
令，则，
由，可得，
所以对任意，，即，
所以数列是常数列，
所以.
（2）（i），则，
，
所以，
所以.
（ii）由题意知，即.
令，则，
当为奇数时，，所以单调递减，
当为偶数时，，所以单调递增.
所以当时，有最小值，且，
所以的最大值为.
18．(1)证明见解析
(2)，
(3)
【详解】（1）证明：联立曲线的方程，
有，则，
所以曲线的交点共圆.
（2）由（1）可知，
而椭圆的离心率为，则有，解得，
则曲线，曲线
（3）因为，则设曲线，

曲线，
直线与曲线的方程联立得，即，
由题意得，
所以，则.
直线与曲线的方程联立得，即，
由题意得，所以，则.
，即.
若有解，即有解.
令，
由对勾函数的性质可得：的单调递减区间为；，单调递增区间为；
函数在处取得最小值，故，
即的取值范围为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）当时，，
令，则，
即函数在上单调递减，在,上单调递增，故函数，所以在上单调递增，则在,上的最小值为.
（2）（i）解：由，
得，则.
因为，当且仅当时取等号，所以当时，，
所以函数在上单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，得，
当或时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
注意到，当时，，，
所以.
又，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，因为，所以，且，
则，
，
所以在内恰有一个零点（即在有一个零点），在，内有一个零点，即，在内有一个零点，故有三个零点，
则的取值范围为.
（ii）证明：解法一：由题意知，又注意到，
所以，即.
因为是的零点，所以，要证，
即证，即证，
令，
则证.
则，令，则，令，则，
当时，，所以在上单调递增，
而，则在上恒成立，所以在上单调递增，
而，则在上恒成立，所以在上单调递增，
而，则在上恒成立，
则原不等式成立.
解法二：由题意知，又注意到
，所以，即.
当时，先证明不等式恒成立，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，
即当时，不等式恒成立.
由，可得，
即，两边同除以得，
又，所以，