辽宁省名校联盟2026届高三上学期12月份联合考试 数学试卷（含答案）

这是一份辽宁省名校联盟2026届高三上学期12月份联合考试 数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了 已知曲线，则下列说法正确的是， 已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A 1B. C. D.
3. 已知函数的定义域为，则是有最小值2的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知两圆和恰有三条公切线，则点所在轨迹方程为（ ）
A B.
C. D.
5. 已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（ ）
A B. C. 0D.
6. 过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（ ）
A. 16B. 15C. 10D. 5
7. 已知数列满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设、分别是函数与的零点，其中，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则满足条件的值有且只有1个
B. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则满足条件的值有且只有1个
C. 直线与曲线恒有公共点
D. 若曲线为圆，则满足条件的值有且只有2个
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为，
B. 函数的值域为
C. 函数的最小正周期为
D. 函数的单调递减区间是，
11. 如图，是棱长为2的正方体的侧面上的一个动点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点与点重合，则异面直线与所成角的大小为
B. 若点满足，则动点轨迹长度为2
C. 三棱锥体积的最大值为
D. 当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
13. 已知函数，则不等式的解集为__________.
14. 已知函数，在上可导，其导数为，，若，则成立，英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，且.
（1）求角；
（2）若，角的平分线交于点，求线段的取值范围.
16. 如图，已知是等腰直角三角形，，，平面，为的中点.
（1）若平面，求的值；
（2）已知平面与平面的夹角为，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知数列满足，.
（1）证明：数列是常数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为的前项和.
（i）求；
（ii）若，恒成立，求实数的最大值.
18. 已知椭圆与椭圆，则称，为“共轭”椭圆，
（1）求证：“共轭”椭圆，的交点共圆；
（2）若（1）中圆的半径为，请给出离心率为的“共轭”椭圆，的方程；
（3）若“共轭”椭圆的离心率为，直线与“共轭”椭圆，的交点分别为，和，，设，且存在使得有解，求实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）已知，，若函数有三个零点，，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
答案
一､1. C2. B3. A4.C5. D6. A7. D8. B
二､多选题：9. BCD10. BD11. ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.
12.
【解析】
【分析】左右同时平方，利用及二倍角公式即可得答案.
【详解】因为，左右同时平方得：，
所以，则，
所以.
13.
【解析】
【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可.
【详解】的定义域为，且在内单调递增，则
令，则，
因为在上恒成立，
所以在内单调递增，
又，所以，
所以解集为.
故答案为：.
14.
【解析】
【分析】解法一：根据题意先求出，进而得到，最后利用裂项相消法计算得到结果；
解法二：对题干的恒等式进行求导，以及两边分别乘3得到两个式子，对比式子结构从而得到，化简得到，最后利用裂项相消法计算得到结果.
【详解】解法一：
设，
则，
记，，则，
又，所以，所以，
所以.
解法二：
由①，
得②，
由①得③，
由②③得，则，即，
所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变换化简可得结果；
（2）由三角形面积公式可得，再由等面积法可得，最后结合基本不等式得到线段的取值范围.
已知，由正弦定理得，
即，
所以，即，
又，所以，所以，
又，所以.
由（1）知，则，
因为角的平分线交于点，则，
又，所以，
则，当且仅当时取等号，
所以线段的取值范围为.
16. （1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的判定和性质可得平面，进而证明四边形为平行四边形即可得到答案；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，先利用面面角的坐标公式求出，再利用线面角的坐标公式求解即可.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，
因为平面，平面，所以平面平面，
因为为等腰直角三角形，且，所以，
又平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，为的中点，
所以，且，所以，
又，所以四边形为平行四边形，所以，所以.
由（1）可知平面，平面，所以两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量，
易知平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. （1）证明见解析，
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）将两边同时除以，令，利用数学归纳法证明，从而可得结果；
（2）（i）由错位相减法计算可得结果；（ii）化简可得，令，计算可得，分析为奇数和为偶数时的单调性可知当时，有最小值，求出从而得到的最大值.
由题意知，
令，则，
由，可得，
所以对任意，，即，
所以数列是常数列，
所以.
（i），则，
，
所以，
所以.
（ii）由题意知，即.
令，则，
当为奇数时，，所以单调递减，
当为偶数时，，所以单调递增.
所以当时，有最小值，且，
所以的最大值为.
18. （1）证明见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）联立两个椭圆方程即可证明；
（2）根据（1）中圆的半径和（2）中给定的离心率，建立关于的方程组，解出的值，即得答案；
（3）联立直线与椭圆，用韦达定理、弦长公式求，确定其取值范围，转化不等式有解为，用导数得的范围.
证明：联立曲线的方程，
有，则，
所以曲线的交点共圆.
【小问2详解】
由（1）可知，
而椭圆的离心率为，则有，解得，
则曲线，曲线
因为，则设曲线，

曲线，
直线与曲线的方程联立得，即，
由题意得，
所以，则.
直线与曲线的方程联立得，即，
由题意得，所以，则.
，即.
若有解，即有解
设，则，当时，单调递增，
因为，所以在内单调递增，所以，
所以的取值范围为.
19. （1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数的单调性，即可求解最值，
（2）求导，得函数的单调性，结合，进而计算，构造函数判断单调性可得其正负，即可求解（i），根据，可得，进而将问题转化为，利用导数即可求解，或者构造，由导数求解.
当时，，
令，则，
即函数在上单调递减，在,上单调递增，故函数，所以在上单调递增，则在,上的最小值为.
（i）解：由，
得，则.
因为，当且仅当时取等号，所以当时，，
所以函数在上单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，得，
当或时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
注意到，当时，，，
所以.
又，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，因为，所以，且，
则，
，
所以在内恰有一个零点（即在有一个零点），在，内有一个零点，即，在内有一个零点，故有三个零点，
则的取值范围为.
（ii）证明：解法一：由题意知，又注意到，
所以，即.
因为是的零点，所以，要证，
即证，即证，
令，
则证.
则，令，则，令，则，
当时，，所以在上单调递增，
而，则在上恒成立，所以在上单调递增，
而，则在上恒成立，所以在上单调递增，
而，则在上恒成立，
则原不等式成立.
解法二：由题意知，又注意到
，所以，即
当时，先证明不等式恒成立，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，
即当时，不等式恒成立.
由，可得，
即，两边同除以得，
又，所以，
所以.