湖北省武汉市汉铁高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 下列函数中与函数相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次判断各个选项中函数的定义域和解析式与是否相同，由此得到结果.
【详解】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确；
选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确；
选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确；
选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确；
故选：B.
2. 已知，则p，q，r的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数单调性、对数运算法则及幂运算计算即可得.
【详解】，，，
故.
故选：B.
3. 已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断.
【详解】由，且，，得内有零点；
由，且，，得在内有零点；
由，，，得在内有零点
所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为．
故选：B
4. 著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A. 16分钟B. 18分钟C. 20分钟D. 22分钟
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意代值计算即可.
【详解】由题知，
所以，可得，
所以，即.
故选：D.
5. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解.
【详解】因为函数在上单调递减，
且函数在上单调递增，
所以在上单调递减，且在上恒成立，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
6. 若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a的取值范围.
【详解】因为，所以，
∴，即对恒成立，
∵，
∴恒成立，
当时，有最小值-4，
∴，
故选：A
7. 已知函数（且，若有最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围．
【详解】因为，则，
可知在内单调递减，且；
当时，，
当时，则在为增函数，且，
若有最小值，则，解得；
当时，则在为减函数，且，
若使有最小值，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是．
故选：C．
8. 设函数定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于，求出实数的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，
且满足存在，使在上的值域是，
所以在上是增函数；
所以，即，
所以是方程的两个根，
设，则，
此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
所以，解得：，
所以满足条件的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据“倍缩函数”的定义得出在上的值域是，所以，因此，可得是方程的两个根，令，可得方程为有两个不等的正实根，所以即可求的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，由单调性排除A，由奇偶性排除D，BC选项，先求出定义域，可利用函数奇偶性定义判断出为偶函数，进而判断出函数的单调性，得到答案.
【详解】在上单调递减，A错误；
定义域为R，且，故为偶函数，
且的对称轴为轴，且在上单调递增，B正确；
的定义域为，且，
故为偶函数，
又当时，单调递增，故C正确；
因为，故不是偶函数，D错误.
故选：BC
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，得，然后逐个分析判断即可.
【详解】由，得，
对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以
，所以B错误，
对于C，因为，所以
，所以C正确，
对于D，因为，所以
，所以D正确.
故选：ACD
11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 在上单调递增
C. 若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为
D. 若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据推导即可；对于B，令，再结合已知区域的函数关系式即可求解；对于C，画出函数的图像，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围；对于D，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围．
【详解】对于A，因为，所以，
当时，，则，
所以，故A正确；
对于B，由A知，，因此当时，，
故由，则，故，
其开口向下，且对称轴为，所以在上单调递减，故B错误；
对于C，方程的实数根可看作函数与直线图象交点的横坐标，
由题可作出的图象如图所示，
若，则是与在对称轴为对应区间上交点的横坐标，
，，，故C正确；
对于D，同C分析，若在上有4个实数根，
则与的图象有4个交点，由图知，则的取值范围为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据题意得到求解即可.
【详解】由题知：且.
故答案为：且.
13. 若的反函数为，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用指、对数式的互化得到函数的反函数，再利用对数的运算性质化简，最后由基本不等式求得最值即可．
【详解】因为和（，）互为反函数，
若，则，
又因为，所以，所以，且，，
又，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
14. 记已知函数，若，使得，则的最大值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】先求得的解析式，求得在区间上的值域，根据任意性、存在性列不等式，从而求得的最大值.
【详解】由图可知，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
即在区间上值域为．
，使得，
等价于在上的值域是在上的值域的子集，
令，解得，
所以，所以的最大值为．
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）计算： ；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求解即可；
（2）根据对数的运算性质结合换底公式可得，再结合指数幂运算求解即可.
【详解】（1）原式；
（2）因为，
所以.
16. 已知，函数
（1）当时，解不等式；
（2）设，若对任意的在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数单调性可得，再结合指数函数单调性分析求解；
（2）分析可知在上单调递减，结合单调性可得，换元令，根据恒成立问题结合二次函数最值运算求解即可.
【小问1详解】
当时，，可得，解得，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
若，则，可知的定义域为，
因为在定义域内单调递增，在上单调递减，
可知在上单调递减，则，
由题意可得：，
则对任意的恒成立，
令，则，
因为的图像开口向上，对称轴为，
可知在内单调递增，则，
可得，解得，
所以的取值范围为.
17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】（1）符合，
（2）当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；
（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可
【小问1详解】
因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数
与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型.
由，得：，所以
【小问2详解】
由题意，高速路上的耗电量
任取，当时，
所以函数在区间上是增函数，所以Wh
国道上的耗电量
所以Wh
所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
18. 已知函数，.
（1）若函数是奇函数，求实数m的值；
（2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围；
（3）当时，，求函数的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解；
（2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解；
（3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值.
【小问1详解】
因为函数为奇函数，且定义域为，
所以，即，所以，
即，因为为奇函数，所以符合题意；
【小问2详解】
当时，，则存在，使得成立，
即，所以在上有解，
令，因为，所以，则有解，
故实数t的取值范围为函数的值域，
又，因为，所以，
所以，故实数t的取值范围为；
【小问3详解】
由题，，
令，显然在上单调递增，则，
则，
当，即时，在上单调递减，；
当，即时，在上单调递增，；
当，即时，.
综上：.
19. 若函数在区间上有意义，对于给定的，存在，使得，则称为上的“阶等值函数”.
（1）判断，是否是上的“阶等值函数”，并说明理由；
（2）若二次函数满足，证明：是上的“阶等值函数”；
（3）证明：是上的“阶等值函数”，并求的最大值.
【答案】（1）不是，证明见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析，的最大值为.
【解析】
【分析】（1）根据“阶等值函数”的定义，判断在上是否存在使得即可.
（2）根据题目中所给的定义，结合二次函数的对称性，可得答案；
（3）由题意代入端点值，求得参数值，利用反证法，结合指数函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
假设是上的“阶等值函数”.
则存在，使得，故.
又因为是单调递增函数，而，所以，矛盾，
所以不是上的“阶等值函数”.
【小问2详解】
证明：因为是二次函数，，
所以的对称轴为，
若存在，使得，则，
解得，所以是上的“阶等值函数”．
【小问3详解】
证明：因为，
当时，，令，得，
所以，
所以是上的“阶等值函数”，且的一个值为，
下面证明的最大值为：
假设存在，使得是上的“阶等值函数”，
则存在，使得，
因为，所以在上单调递减，
所以，
因，所以，即，
又，所以，矛盾，
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（3）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
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