湖北省武汉市第十一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 若全集，则集合等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由交并补的运算逐项判断即可.
【详解】
，，
，，
故选：D
2. 设集合，，若，则（ ）．
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
3. 设,则“”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，且能推出 ；
不能推出且，（如），
所以，“”是“且”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理．
4. 已知集合，集合，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上结论都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】由判断出，再由，得出.
【详解】
而集合，
取，则；取，则
，即
故选：A
【点睛】本题主要考查了判断两个集合的包含关系，属于中档题.
5. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 9B. 8C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
6. 若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果.
【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素；
当时，；当时，；当时，；
所以是“和谐集”中的一组元素；
当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素；
综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即.
故选：B
7. 有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解.
【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、.
由题意得总人数，且，
则.
参加各项目的人数总和为，
该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次，
故，
将代入可得，即，
联立方程组，
解得，即种球类训练都参加的人数为人，
故选：A.
8. 设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对的元素个数进行分类讨论，列举出集合、，即可得出结果.
【详解】由题意可知，，，分以下几种情况讨论：
（1），则，只有种情况；
（2）当有个元素，有种情况，如时，
因为为“好集”，有种情况：，；、.
此时，共有种情况；
（3）当有个元素时，则或或
，
如，因为为“好集”，有以下种情况：
，；，；
，；，.
此时，共有种情况；
（4）当有个元素时，则，
因为为“好集”，有以下种情况：
，；，；
，；，；
，；，；
，；，.
综上所述，所有“好集”的个数为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解本题关键就是对集合的元素个数进行分类讨论，并列举出符合条件的集合、.
二、多选题
9. 已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.
【详解】当时，，即，此时，符合题意，
当时，，即，
由可得或，
因为，所以或，可得或，
因为，所以，
所以实数的取值范围为或，
所以选项ABC正确，选项D不正确；
故选：ABC.
10. 我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A. 已知，，则
B. 如果，那么
C. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D. 已知或，，则或
【答案】BD
【解析】
【分析】根据差集定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A：由且，故，故A错误；
对于B：由且，则，故，故B正确；
对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分，
所以，故C错误；
对于D：或，则或，故D正确.
故选：BD.
11. 对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 命题“若，则”为假命题
D. 若，则是成立充分必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可.
【详解】对A，，A正确；
对B，若，当时，，，且，当时，假设，
则，故，B错误；
对C，若，则，C错误；
对D，由得，反之也成立，D正确．
故选：AD．
三、填空题
12. 设集合，，已知且，则的取值集合为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
【详解】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
13. 已知，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可画出Venn图，即可求得答案.
【详解】由题意, ,
故画图如图:
即得，
故答案：
14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________；
【答案】##
【解析】
【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可.
【详解】集合，，且M，N都是集合的子集，
由，可得，由，可得．
要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立.
当，，，“长度”为，
当，，，“长度”，
故集合的“长度”的最小值是.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知全集；
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得，且，根据集合中元素的确定性列方程即可求解；
（2）根据，可得且，可得或，再结合元素互异性即可求解.
【详解】（1）因为，所以
因为，
所以或，
解得：或无解，所以，
（2）因为，，所以且，
所以或，
解得：或或，
当时，与集合中元素的互异性相矛盾，
所以或.
16. （1）已知集合，，求，；
（2）若集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）或
【解析】
【分析】（1）根据并集、补集、交集的定义可求相应的集合；
（2）根据包含关系可得关于的不等式，从而可求其取值范围.
【详解】（1）由题可得：，，
.
.
（2），
①当时，，解得：；
②当，，解得：，
综上所述：或.
17. 已知命题P：，使x2﹣4x+m0为真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程判别式与根的情况的关系求解；
（2）利用充分不必要条件的定义转化为集合之间的关系求解.
【小问1详解】
由题意得关于的方程无实数根，
所以，解得， 即；
【小问2详解】
因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则且，
即，
综上所述，实数a的取值范围为.
18. （1）设集合U＝R，集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+（m+1）x+m＝0}，若（∁∪A）∩B＝∅，求实数m的值．
（2）设集合A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
【答案】（1）m＝1或2；（2）a＜2或a＞2．
【解析】
【分析】（1）求出集合A，B的元素，根据集合关系进行求解即可．
（2）讨论集合B＝和B≠，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵A＝{x|x2+3x+2＝0}＝{﹣1，﹣2}，
由x2+（m+1）x+m＝0得：x＝﹣1或x＝﹣m．
∵（∁UA）∩B＝，
∴集合B中只能有元素﹣1或﹣2，
∴m＝1或2．
（2）A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥4}，
若B＝∅，即2a＞a+2，即a＞2时，满足条件A∩B＝，
若B≠∅，即2a≤a+2，即a≤2时，若满足条件A∩B＝，
则，即，
解得a＜2．
综上a＜2或a＞2．
19. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
（1）求集合的生成集B；
（2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
（3）若集合，A的生成集为B，求证.
【答案】（1）
（2）或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论
【小问1详解】
由题可知，
(1)当时， ，
(2) 当时，，
（3）当或时，
所以
【小问2详解】
（1）当时，，
（2）当时，
（3）当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
【小问3详解】
证明：，
，
，
，
，
设任意，取，则，所以，
则，
所以；
所以