湖北省武汉大学附属中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份湖北省武汉大学附属中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题“，是增函数”，则p的否定为（ ）
A．，是减函数
B．，是减函数
C．，不是增函数
D．，不是增函数
3．半径为2的扇形，其周长为12，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．8B．6C．5D．4
4．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图为函数的图象，则的图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为2米，要让该植物的高度超过3.8米，至少需要（ ）年．
A．2B．3C．4D．5
7．已知且， 函数，若函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设定义域为的单调函数，对于任意的，都有，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．函数的值域为
C．已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时，
D．若幂函数在上是增函数，则
10．下列命题正确的有（ ）
A．若方程有两个根，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为
B．设，若且，则
C．设，命题是命题的充分不必要条件
D．若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或
11．已知定义在上的函数满足：，则（ ）
A．是奇函数
B．若，则
C．若，则为增函数
D．若，则为增函数
三、填空题
12．函数的零点在区间内，则正整数 .
13．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 .
14．已知实数满足，则的最小值是 ．
四、解答题
15．计算下列各题：
（1）；
（2）已知，求的值．
16．已知幂函数是定义在上的偶函数．
（1）求的解析式，并根据定义证明在上单调递增．
（2）对恒有意义，求实数的取值范围．
17．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）．
（1）求利润的函数解析式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
18．已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设.
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
19．已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”．
（1）判断函数与是否关于“1维交换”，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值；
（3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值．
答案
1．【正确答案】C
【详解】，，两集合的公共元素只有0，
所以,
故选C
2．【正确答案】D
【详解】“，是增函数”的否定是“，不是增函数”.
故选D
3．【正确答案】D
【详解】不妨设扇形的弧长为，所对的圆心角的弧度数为，
则有，即，解得，
所以该扇形圆心角的弧度数为4.
故选D.
4．【正确答案】B
【详解】，
，
，
，
从而，
，可得，
，则且，
，与联解，
可得，
因此.
故选B.
5．【正确答案】D
【详解】当时，则，
由函数图象，时，，
所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C.
故选D.
6．【正确答案】C
【详解】依题意可得，则，解得，
∴，
因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减，
所以在上单调递增，而，
即，
∴该植物的高度超过3.8米，至少需要4年.
故选C.
7．【正确答案】D
【详解】 关于轴对称后得.
所以函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，
可以转化为的图象与的图象有且仅有一个交点.
若，则的图象与的图象有且只有一个交点；
若，当的图象与的图象有且只有一个交点时，
须满足，所以.
综上，的取值范围是.
故选D.
8．【正确答案】D
【详解】∵为定义在上的单调函数；
∴存在唯一的实数，使得；
∴；
∴；解得，或（舍去）；∴；
又∵对于任意的，都有，故；
∴；
∴．
故选D．
9．【正确答案】CD
【详解】对于A，由于，∴，当且仅当，即时等号成立，但无实根，故等号取不到，故A错误；
对于B,由于，∴，又，
故函数的值域为，B错误；
对于C，当时，则，，由于，故时，，C正确；
对于D，幂函数在上是增函数，则解得，故D正确.故选CD.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A，依题意，函数有两个零点，，
因两根中一个大于1另一个小于1，
则有或，
解得，即实数的取值范围为，故A正确；
对于B，令，则.
由可得
则.
因为，则，即，故B正确：
对于C，① 若，则，故有；
若，显然有；
若，则，且，则得，故有，
故当时，都可推出；
② 若，当时，如果，不等式显然成立，此时有；
如果，则可得，从而，即，故有 ；
当时，，此时有，即，故.
故当时，都可以推出.
综上，可知是的充要条件，故C不正确：
对于D，假设两个方程无实根（即A，B均是空集），则有
，解得.
则当或时，两个方程至少有一个方程有实根，即两个集合至少有一个不是空集.
故实数的取值范围为或，故D正确.
故选ABD.
11．【正确答案】ABD
【详解】对A：定义域为，关于原点对称；
对原式，令，可得，解得；
对原式，令，可得，即，
故是奇函数，A正确；
对B：对原式，令，可得，
又，则；
由A可知，为奇函数，故，故B正确；
对C：由A知，，又，对，
当时，；当时，；
故在时，不是单调增函数，故C错误；
对D： 在上任取，令，
则
，
由题可知，又，故，
即，，故在上单调递增，
也即在上单调递增，故D正确；
故选ABD.
12．【正确答案】2
【详解】因为函数在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，
则，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是，所以．
13．【正确答案】
【详解】由不等式的解集为，可知1和2是方程的根.
根据韦达定理，，，解得，.
将、代入不等式，得,即.
用穿根法分析： 根为，，，.
区间：整体为正，满足； 区间：整体为负，不满足；
区间：整体为正，满足； 区间：整体为负，不满足；
区间：整体为正，满足.
故解集为.
14．【正确答案】
【详解】由，得，
即，
令函数，则原等式化为，而函数在上递增，
因此，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
15．【正确答案】（1）8
（2）5
【详解】（1）
；
（2）由，得，则，
所以．
16．【正确答案】（1）；见详解
（2）
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，可得，此时定义域不为，故排除，
当时，可得，由二次函数性质得是偶函数，
任取，且使，
可得，
则，得到在上单调递增.
（2）由题意得，
若有意义，则在上恒成立，
可得恒成立，即恒成立，
令，则恒成立，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等，此时解得，得到.
17．【正确答案】（1）
（2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元
【详解】（1）由题意，，
即；
（2）当时，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最大值52；
当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元．
18．【正确答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）因为，则的图象关于直线对称，
且在轴上截得的线段长为，
的图象与轴的交点分别为，所以设，
该函数的图象经过点，所以，解得，所以.
（2）因为，其对称轴方程为，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，当时，，
当时，，
当时，.
（3）若对于任意，总存在，使得成立，
等价于，
函数，
因为，所以，所以当时，取得最小值为，
当时，，所以，不成立；
当时，，所以，
解得或，所以；
当时，，
所以，解得，所以；
综上所述，的取值范围是.
【方法总结】函数中恒成立问题的方法如下:
(1)若，恒成立，则只需.
(2) 若，恒成立，则只需.
(3) 若，恒成立，则只需.
(4) 若，恒成立，则只需.
(5) 若，恒成立，则只需.
(6) 若，恒成立，则只需.
(7) 若，恒成立，则只需.
(8) 若，恒成立，则只需.
19．【正确答案】（1）与关于“维交换”；见详解
（2）
（3）
【详解】（1）函数与关于“维交换”，理由如下：
显然，，
令，即，解得，
得到与关于“维交换”.
（2）依题意，对任意，恒有成立，
而，
由题意可得，对于，一定不含x的奇次项，
得到，而，解得，即的值为，
（3）令，
依题意，函数在上有个零点，
显然，即是函数的零点，
当时，若，则，，，
即函数在时无零点，
若，则在上单调递增，
，，函数在时只有个零点，不符合题意，
因此，①当时，，
显然函数的图象恒过点，，
则当时，函数的图象开口向上，
在时仅有一个零点，
当时，，在时没有零点，
②当时，，
显然函数的图象恒过点、，
，当，即时，在时仅有一个零点，
当，即时，在时有个零点，
当，即时，在时没有零点，
③当时，，
显然函数的图象恒过点、，
当时，在时无零点，当时，在时有个零点，
综上所述，当时，有个零点，
所以当与关于“维交换”时，，
故实数的值是.