江苏省扬州市邗江区2025-2026学年高一上学期期中考试 数学试卷

这是一份江苏省扬州市邗江区2025-2026学年高一上学期期中考试 数学试卷，共9页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
B、 3  R
1、下列选项中错误的是（）
A、 1  Z
2
C、 1 QD、0  N
2、命题“ x  R ， x2  2x  2  0 ”的否定是（）
A、x  R ， x2  2x  2  0
C、x  R ， x2  2x  2  0
3、“ x2 - 1 = 0 ”是“ x  1 ”的（）条件
B、x  R ， x2  2x  2  0
D、x  R ， x2  2x  2  0
A、充要B、充分不必要
C、必要不充分D、既不必要也不充分
4、若 a  lg3 4 ，则3a  3a 的值为（）
A、15B、17C、 8D、10
4433
5、已知a  0 ， b  0 ， a  4b  ab ，则 a  4b 的最小值为（）
A、36B、25C、16D、9
x
6、已知函数 f  x ，则函数 g  x 
f  x 1 
1
x  2
的定义域为（）
A、0, 2 ∪ 2, 
C、4, 
B、1, 2 2, 
D、1, 2 2, 
7、已知函数 f (x) 是R 上的偶函数，当 x  0 时 f (x) = x - 1，则不等式 xf (x)  0 的解集是（）
(1, 0)  (1, )
(, 1) ∪ (0,1)
(, 1)  (1, )
(1,1)
8、若不等式 2x 1  x  2  a2  1 a  2 对任意实数 x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）
2
A、 1, 1 
B、 1, 1 
 1 

C、
D、1,0
2 
2 
 2 ,1
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.


9、下列各组函数是同一函数的有（）
A、 y 
x3  x
与
2
y  x
B、 y   3
x 3 与 y   4 x 4
x 1
x2
C、 y  x 与 y D、 y  x2  2x 1与 s  t 2  2t 1
10、下列命题为真命题的是（）
A、若 a  b ， c  d ，则 a  c  b  dB、若 ac2  bc2 ，则 a  b
ab

2ab
C、若 ab0 ，则
a  b

D、若a  b  1 ，则
a2  b2  1
2
11、符号[x] 表示不超过 x 的最大整数，如[2.1]  2 ，[π]  3 ，[1.2]  2 ，定义函数x  x [x]，以下结论正确的是（）
A、函数x是奇函数B、方程x  1 有无数个解
2
C、函数x的定义域是 R，值域为[0,1)D、函数x是增函数.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
 x 12 ,
 x
 4
12、函数 f  x  
,

x  1
x  1
，则 f  f 8 
  
x2  a 1 x  a  2, x  0
11、函数 f x
是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是
a x , x  0
12、已知 f  x  x2  4x  3 ， g  x  mx  5  2m m  0， 若对任意的 x 1, 4 ， 总存在 x 1, 4， 使
12
f  x1   g  x2  成立，则实数m 的取值范围是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、计算.
（1）  2 1 
0.5
 0.752  62 
 2
8  3 ；
4  27 

（2） lg52  lg2 lg5  1 lg4  lg 4 lg 3 ；
232
32
（3）已知2x  3y  72 ，求
 的值.
xy
16、已知集合 A  x x2  2x  3  0，集合 B  x | 2m  x  m2 , m  R.
（1）当 m  1 时，求 A  B ；
（2）若 A ∪ B  A ，求实数m 的取值范围.
17、已知函数 f  x  ax  b 是定义在R 上的奇函数，且 f  1   2
2
5

x2 1 
求函数 f  x 的解析式；
判断 f  x 在1,1 上的单调性，并用定义证明你的结论；
在（2）的条件下，解不等式 f 3  2x  f 5x  7.
18、中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至 2025 年的 4 年里，中国计划建设 31 家大型半导体工厂.某公司打算在 2025 年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为 280 万元，若该型芯片生产线在 2026 年产出 x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V  x （单位：万元），已知当0  x  5 时，V  x  125 ；
当5  x  20 时，V  x  x2  40x 100 ；当 x  20 时，V  x  81x  1600  600 ，已知生产的该型芯片都能
x
以每枚 80 元的价格售出.
已知 2026 年该型芯片生产线的利润为 P  x （单位：万元），试求出 P  x 的函数解析式；
请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得 2026 年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
19、设二次函数 f  x  ax2  b  2 x  3a, b  R  ．
若函数 f  x 是定义在 a, a2  2 上的偶函数，求该函数的零点；
（2）若?(−1) = 0,? < 3，解不等式?(?) ≥ 0（结果用含字母?的式子表示）；
若a  0, b  1且存在m  n 
范围．
3 ，使得 f  x 在区间m, n 上的值域也为m, n ，求实数a 的取值
2a
1、下列选项中错误的是（ A）
B、 3  R
A、 1  Z
2
C、 1 QD、0  N
2、命题“ x  R ， x2  2x  2  0 ”的否定是（A ）
A、x  R ， x2  2x  2  0
C、x  R ， x2  2x  2  0
3、“ x2 - 1 = 0 ”是“ x  1 ”的（ C）条件
B、x  R ， x2  2x  2  0
D、x  R ， x2  2x  2  0
A、充要B、充分不必要
C、必要不充分D、既不必要也不充分
4、若 a  lg3 4 ，则3a  3a 的值为（ B ）
A、15B、17C、 8D、10
4433
5、已知a  0 ， b  0 ， a  4b  ab ，则 a  4b 的最小值为（ C ）
A、36B、25C、16D、9
x
6、已知函数 f  x ，则函数 g  x 
f  x 1 
1
x  2
的定义域为（ D ）
A、0, 2 ∪ 2, 
C、4, 
B、1, 2 2, 
D、1, 2 2, 
7、已知函数 f (x) 是R 上的偶函数，当 x  0 时 f (x) = x - 1，则不等式 xf (x)  0 的解集是（ B ）
(1, 0)  (1, )
(, 1) ∪ (0,1)
(, 1)  (1, )
(1,1)
8、若不等式 2x 1  x  2  a2  1 a  2 对任意实数 x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ A）
2
A、 1, 1 
B、 1, 1 
 1 

C、
D、1,0
2 
2 
 2 ,1
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.


9、下列各组函数是同一函数的有（ AD）
A、 y 
x3  x
与
2
y  x
B、 y   3
x 3 与 y   4 x 4
x 1
x2
C、 y  x 与 y D、 y  x2  2x 1与 s  t 2  2t 1
10、下列命题为真命题的是（ BCD）
A、若 a  b ， c  d ，则 a  c  b  dB、若 ac2  bc2 ，则 a  b
ab

2ab
C、若 ab0 ，则
a  b

D、若a  b  1 ，则
a2  b2  1
2
11、符号[x] 表示不超过 x 的最大整数，如[2.1]  2 ，[π]  3 ，[1.2]  2 ，定义函数x  x [x]，以下结论正确的是（ BC）
A、函数x是奇函数B、方程x  1 有无数个解
2
C、函数x的定义域是 R，值域为[0,1)D、函数x是增函数.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
 x 12 ,
 4
12、函数 f  x  
x  1
，则 f  f 8 9
x
 ,x  14

  
x2  a 1 x  a  2, x  0
11、函数 f x
是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是−2 ≤ ? ≤ −1
a x , x  0
12、已知 f  x  x2  4x  3 ， g  x  mx  5  2m m  0， 若对任意的 x 1, 4 ， 总存在 x 1, 4， 使
12
f  x1   g  x2  成立，则实数m 的取值范围是? ≥ 6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、计算.
（1）  2 1 
0.5
 0.752  62 
 2
8  3 ；
4  27 

lg52  lg2 lg5  1 lg4  lg 4 lg 3 ；
232
32
已知2x  3y  72 ，求
解：（1）14 分
（2）-14 分
（3）15 分
 的值.
xy
16、已知集合 A  x x2  2x  3  0，集合 B  x | 2m  x  m2 , m  R.
（1）当 m  1 时，求 A  B ；
（2）若 A ∪ B  A ，求实数m 的取值范围.
解：（1）由 x2  2x  3  0 ，解得： 1  x  3 ，所以 A  x 1  x  3，
当m  1时， B  x | 2  x  1 ，? ∩ ? = {?∣−1 ≤ ? < 1}；————————6 分
（2）因为 A ∪ B  A ，所以 B  A ，由第一问可知， A  x 1  x  3
当 B   时， 2m  m2 ，解得： 0  m  2 ，
2m  m2
当 B   时，要满足题意需2m  1 ，解之得：  1  m  0 ，


m2  32
综上：实数m 的取值范围为 1 , 2 ——————————————9 分
 2
17、已知函数 f  x  ax  b 是定义在R 上的奇函数，且 f  1   2
2
5

x2 1 
求函数 f  x 的解析式；
判断 f  x 在1,1 上的单调性，并用定义证明你的结论；
在（2）的条件下，解不等式 f 3  2x  f 5x  7.
解：（1）∵函数 f  x  ax  b 是定义在R 上的奇函数，
x2 1
∴ f 0  b  0 ，即b  0 ，又∵ f  1   2 ，∴ a  1 ，
2
 
1 5
∴ f  x 
x x2 1
，经检验， f  x 
x x2 1
为奇函数.——————————4 分
f  x 在1,1 上单调递增，证明如下：
任取 x1, x2 ，且1  x1  x2  1 ，
xxx x 2  x  x x 2  xx2 x1  x1  x2    x2  x1  x1  x2  x2 x1 1
21212121
则 f  x2   f  x1   2  1  2 121 21 ，
x 2 1
x 2 1
x 2 1x 2 1
x 2 1x 2 1
x 2 1x 2 1
∵ 1  x  x  1 ，∴ x 2 1  0 ， x 2 1  0 ， x  x  0 ， x x  1  0 ，
1221122 1
   
 x1  x2  x2 x1 1
x 2 1x 2 1
∴ f x2f x10 ，
21
∴ f  x 在1,1 上单调递增.——————————5 分
由（2）可知，函数 f x 在区间-1,1单调递增
1  3  2x  1

所以1  5x  7  1 ，得到10 < ? < 8——————————6 分

75

3  2x  5x  7
18、中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至 2025 年的 4 年里，中国计划建设 31 家大型半导体工厂.某公司打算在 2025 年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为 280 万元，若该型芯片生产线在 2026 年产出 x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V  x （单位：万元），已知当0  x  5 时，V  x  125 ；
当5  x  20 时，V  x  x2  40x 100 ；当 x  20 时，V  x  81x  1600  600 ，已知生产的该型芯片都能
x
以每枚 80 元的价格售出.
已知 2026 年该型芯片生产线的利润为 P  x （单位：万元），试求出 P  x 的函数解析式；
请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得 2026 年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
解：（1）当0  x  5 时，?(?) = 80?−125−280 = 80?−405，
当5  x  20 时，?(?) = 80?−(?2 +40?−100)−280 = −?2 +40?−180，
当 x  20 时，?(?) = 80?−81?−1600 +600−280 = −?−1600 +320，
??
所以 P  x 的函数解析式为?(?) =
80?−405,0 < ? ≤ 5
−?2 + 40?−180,5 < ? ≤ 20.————————8 分
−? 1600 + 320,? > 20
?
（2）当0  x  5 时，?(?) ≤ ?(5) = −5，
当5  x  20 时，?(?) = −?2 +40?−180 = −(?−20)2 +220 ≤ 220，当且仅当 x = 20 时取等号，
当 x  20 时， x  1600  80 ，当且仅当 x  1600 ，即 x  40 时取等号，则?(?)
xxmax
= −80 + 320 = 240，
而25  200  220 ，所以当 2025 年该型芯片产量为 40 万枚时利润最大，最大利润为 240 万元.———9 分 19、设二次函数 f  x  ax2  b  2 x  3a, b  R  ．
（1）若函数 f  x 是定义在 a, a2  2 上的偶函数，求该函数的零点；
（2）若?(−1) = 0,? < 3，解不等式?(?) ≥ 0（结果用含字母?的式子表示）；
若a  0, b  1且存在m  n 
范围．
3 ，使得 f  x 在区间m, n 上的值域也为m, n ，求实数a 的取值
2a
解：（1）因为函数 f  x 是定义在a, a2  2 上的偶函数，
所以 f  x  f x  b  2  0 ，即b  2 ；
又定义域a, a2  2 关于原点对称，所以a  a2  2  0(a  0) ，解得a  2 （舍去a  1 ）；
所以 f  x  2x2  3 ，
令 f  x  0  x  
6 即为所求区间内的零点.————————5 分
2
由f′(−1) = 0⇒a + (5−b) = 0，则b  a  5
所以 f x  0 得到 ax2  a  3x  3  0 ，即x 1ax  3  0
因为 f  x 是二次函数，所以a  0
当a  0 时，  3  1，所以1  x   3
aa
当0  a  3 时，  3  1，所以 x  1或x   3
a
3
?
综上所述：当 a