第5章 轴对称与旋转【章末复习】 课件-2025-2026学年数学湘教版（2024）七年级下册教学课件

第 1 页：复习导航・章节核心梳理复习目标：明确平面内两条直线的位置关系（相交、平行），掌握垂线、平行线的定义与表示；熟练运用平行线的 3 种判定方法（同位角、内错角、同旁内角）和 3 条性质，能准确推理证明；理解垂线段最短、平行线间距离处处相等的性质，掌握点到直线、平行线间距离的计算；能解决与两条直线相关的实际问题（如最短路径、角度计算），规避判定与性质混淆等错误。知识框架图： 第 2 页：核心知识点 1・平面内两条直线的位置关系1. 位置关系分类（同一平面内）位置关系公共点数量关键特征示例相交1 个两条直线有且只有一个交点，可形成对顶角、邻补角墙角的横竖线、十字路口的道路平行0 个无论延伸多长都不相交，需强调 “同一平面内”（异面直线不相交但不平行）铁轨、黑板的对边特殊相交1 个（垂直）相交且夹角为 90°，是特殊的相交关系三角板的两条直角边、正方形的邻边2. 相交直线的角关系（对顶角、邻补角）对顶角：定义：相交直线中，有公共顶点且两边互为反向延长线的角（如∠1 与∠3）；性质：对顶角相等（如∠1=∠3，∠2=∠4）。邻补角：定义：相交直线中，有公共边且另一边互为反向延长线的角（如∠1 与∠2）；性质：邻补角互补（和为 180°，如∠1+∠2=180°）。示例：若直线 AB 与 CD 相交于 O，∠AOC=60°，则∠BOD=60°（对顶角相等），∠BOC=120°（邻补角互补）。小练习（角度计算）：两条直线相交，若一个角为 80°，则其对顶角为______，邻补角为______（答案：80°，100°）若∠1 与∠2 是对顶角，∠2 与∠3 是邻补角，∠3=110°，则∠1=______（答案：70°，∠2=70°=∠1）第 3 页：核心知识点 2・垂线与点到直线的距离1. 垂线的定义与性质定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足（记为 “a⊥b”）。性质：过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称 “垂线段最短”）。2. 点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（距离是数值，不是垂线段本身）。示例：如图，点 P 到直线 l 的距离为垂线段 PO 的长度（PO⊥l），若 PO=3cm，则点 P 到 l 的距离为 3cm。3. 作图：过一点画已知直线的垂线工具：直尺、三角板；步骤：将三角板的一条直角边与已知直线 l 重合；沿直线 l 平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点 P（直线上或直线外）；沿这条直角边画出直线 PO，PO 即为所求垂线，O 为垂足。小练习（距离与性质）：过直线 l 外一点 P，能画______条直线与 l 垂直（答案：1，唯一性）点 A 到直线 m 的距离为 5cm，若点 B 在直线 m 上，则 AB 的长度______5cm（填 “≥”“≤” 或 “=”，答案：≥，垂线段最短）第 4 页：核心知识点 3・平行线的判定与性质（重点）1. 平行线的判定（由 “角的关系” 推 “线的平行”）判定方法角的关系符号表示（a、b 被 c 所截）图形特征方法 1同位角相等∵∠1=∠2，∴a∥b“F” 型方法 2内错角相等∵∠3=∠4，∴a∥b“Z” 型方法 3同旁内角互补∵∠3+∠5=180°，∴a∥b“U” 型关键：先找 “截线”（与两条直线都相交的直线），再判断角的类型（同位角、内错角、同旁内角）。2. 平行线的性质（由 “线的平行” 推 “角的关系”）性质角的关系符号表示（a∥b，被 c 所截）作用性质 1同位角相等∵a∥b，∴∠1=∠2求角度、证明角相等性质 2内错角相等∵a∥b，∴∠3=∠4同上性质 3同旁内角互补∵a∥b，∴∠3+∠5=180°求角度、证明角互补3. 判定与性质的核心区别判定：“角→线”（已知角的关系，证明直线平行）；性质：“线→角”（已知直线平行，求角的关系）。示例：若∠1=∠2，证 a∥b：用 “同位角相等，两直线平行”（判定）；若 a∥b，求∠1：用 “两直线平行，同位角相等”（性质）。小练习（判定与性质应用）：如图，a、b 被 c 所截，∠1=70°，∠2=70°，则 a∥b，理由是______（答案：内错角相等，两直线平行）若 a∥b，∠3=110°，则∠4=______（答案：70°，同旁内角互补，∠3+∠4=180°）第 5 页：核心知识点 4・平行线间的距离1. 定义两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。关键：距离是 “垂线段的长度”，不是线段本身；平行线间的距离处处相等（无论在直线上哪个点作垂线段，长度都相同）。2. 性质应用（与面积结合）示例：如图，直线 a∥b，若矩形 ABCD 的一边 AB 在 a 上，另一边 AD 垂直于 a，则 AD 的长度即为 a、b 间的距离，矩形面积 = AB×AD（AD 为平行线间距离）。3. 作图：测量两条平行线间的距离步骤：在其中一条直线上取一点 P；过 P 作另一条直线的垂线，垂足为 O；测量 PO 的长度，即为平行线间的距离。小练习（距离与面积）：两条平行线间的距离为 4cm，若在其中一条直线上取两点 A、B，AB=5cm，则点 A、B 到另一条直线的距离均为______cm（答案：4，处处相等）梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=6cm，CD=4cm，两底间的距离为 3cm，则梯形面积 =______cm²（答案：15，面积 =(6+4)×3÷2=15）第 6 页：综合例题精讲（知识融合）例题 1：角度计算与平行线判定如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB∥CD，且∠5=∠6。证明：证 AB∥CD：∵∠1=∠2（已知），∠2=∠7（对顶角相等），∴∠1=∠7（等量代换），∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）；又∵∠3=∠4（已知），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。证∠5=∠6：∵AB∥EF，∴∠5=∠8（两直线平行，内错角相等）；∵EF∥CD，∴∠6=∠8（两直线平行，内错角相等），∴∠5=∠6（等量代换）。例题 2：垂线与最短路径如图，某村庄 A 到公路 l 的距离为 3km，村庄 B 到公路 l 的距离为 2km，且 A、B 在公路 l 的同侧，求 A、B 两点间的最短距离（已知 A、B 在 l 上的垂足之间的距离为 4km）。解：作 A 到 l 的垂线段 AO（AO=3km，O 为垂足），B 到 l 的垂线段 BP（BP=2km，P 为垂足），则 OP=4km；过 B 作 l 的平行线，交 AO 的延长线于 C，则 BC=OP=4km，AC=AO+OC=AO+BP=3+2=5km；在 Rt△ABC 中，AB 为斜边，由勾股定理得 AB=√(AC²+BC²)=√(5²+4²)=√41≈6.4km；答：A、B 两点间的最短距离为√41km（或约 6.4km）。第 7 页：章节易错点大汇总（避坑指南）易错类型错误示例正确解法避错技巧平行线判定与性质混淆已知 a∥b，证∠1=∠2，用 “同位角相等，两直线平行”应使用性质 “两直线平行，同位角相等”记口诀：“证平行用判定，求角度用性质”忽略 “同一平面内” 前提认为 “不相交的两条直线一定平行”需强调 “同一平面内”，异面直线不相交也不平行平行定义必须加 “同一平面内” 的限定距离与垂线段混淆说 “PO 是点 P 到直线 l 的距离”正确：“PO 的长度是点 P 到直线 l 的距离”距离是 “长度”（数值），垂线段是 “图形”角的类型判断错误误将 “U” 型角当作内错角（同旁内角错认成内错角）用 “F/Z/U” 型辅助判断：同位角 “F”，内错角 “Z”，同旁内角 “U”先找截线，再看角的位置关系第 8 页：章末检测・综合练习（基础 + 提升）一、基础题（巩固核心）平面内两条直线的位置关系是______或______（答案：相交，平行）若 a⊥b，b⊥c，则 a______c（答案：∥，垂直于同一直线的两条直线平行）如图，a∥b，∠1=120°，则∠2=______（答案：60°，同旁内角互补）二、提升题（知识融合）如图，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABC，∠CDE=150°，求∠C 的度数（答案：120°，∠CDE=150°→∠CDB=30°，AB∥CD→∠ABD=30°，BE 平分∠ABC→∠ABC=60°，同旁内角互补→∠C=120°）点 P 到直线 l 的距离为 5cm，点 Q 在直线 l 上，且 PQ=7cm，求 PQ 与 l 的夹角的正弦值（答案：5/7，作 PO⊥l 于 O，sinθ=PO/PQ=5/7）【2024新教材】湘教版数学 七年级下册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 知识图谱思考回顾1. 什么样的图形叫作轴对称图形？2. 将平面图形怎样运动能得到其轴对称图形？3. 轴对称的基本性质是什么？4. 旋转是指将平面图形怎样运动？4. 旋转的基本性质是什么？轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫作轴对称图形.这条直线叫作这个图形的对称轴. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”. 其中不是轴对称图形的是（ ）B轴对称 将图形（I）沿着一条直线折叠，得到另一个图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换称为关于这条直线的轴对称，此时称这两个图形关于这条直线对称，也称图形（I）与（Ⅱ）成轴对称，这条直线叫作对称轴.轴对称的性质 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.1. 如图，△ABC 与△ADC 关于直线 AC 对称，如果∠BAD ＋ ∠BCD ＝ 210°，那么∠BAC +∠BCA 等于（ ） A. 100° B. 105° C.110° D. 150°B2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，则图中阴影部分的 面积为________.8 将图形（ Ⅰ ）上的每一个点，绕这个平面内一定点 O 按同一个方向旋转同一个角 α，得到图形（ Ⅱ ），我们把图形的这种变换叫作旋转，这个定点叫旋转中心，角 α 叫旋转角度.旋转的定义旋转的三要素旋转中心旋转的方向旋转的角度旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.旋转保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.1. 已知 l1∥l2，把一块含 30°角的直角三角尺按如图所示的 方式摆放，边 BC 在直线 l2 上，将△ABC 绕点 C 顺时针 旋转 50°得到△A′B′C，则∠1 的度数为_________.80°2. 如图，在正方形网格中，格点三角形 ABC 绕某点按顺时针 方向旋转 α (0°< α < 180°) 得到格点三角形 A1B1C1，点 A， B，C 的对应点分别是点 A1，B1，C1，则 α ＝______.90°平面图形变换的简单应用图案形成过程的分析图案设计如图，在方格纸上，以格点连线作为边的三角形叫做格点三角形，给出了格点三角形 ABC.（1）将△ABC 向上平移 3 个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1 ；（2）将△A1B1C1 绕点 O 顺时针旋转 90°得到 △A2B2C2 .如图，在方格纸上，以格点连线作为边的三角形叫做格点三角形，给出了格点三角形 ABC.考点1 三个概念概念1 轴对称图形1. 在平时的生活中我们应遵守交通规则，注意交通安全.下列交通标志图案是轴对称图形的是( )BA. B. C. D. 2. [2024·开封第十三中学学情检测] 下图有( )条对称轴.B（第2题）A. 2B. 4C. 5D. 无数概念2 轴对称3.如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是____字.由（第3题）概念3 旋转4. 下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动.属于旋转的有( )BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 69考点2 两个性质性质1 轴对称的性质6. 下列说法正确的有( )①线段的对称轴有两条；②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；③到直线的距离相等的两个点关于直线对称；④若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧.AA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个      性质2 旋转的性质 AA. 上方B. 左方C. 下方D. 右方图形变换平移轴对称旋转作图必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！