福建省厦门市湖里实验中学九年级上学期期中质量检测数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省厦门市湖里实验中学九年级上学期期中质量检测数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
班级__________姓名__________准考证号__________
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有且只有一个选项正确）
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A. ﹣3B. 3C. -D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合.
3. 将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为，
故选：C．
4. 若关于的方程有一个根是1，则的值为（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，根据一元二次方程解的定义，将代入原方程即可求解．
【详解】解：∵的方程有一个根是1，
∴，
∴，
故选：C．
5. 方程的根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查利用因式分解法一元二次方程，观察等号右边等于0，直接求解即可选出正确选项．
【详解】解：；
；
即，；
故选：B．
6. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】同弧所对圆心角是圆周角2倍，即．
【详解】解：，
．
故选：．
【点睛】此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相切或相离
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作于D，先根据直角三角形的性质求出CD，再根据直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】解：过点C作于D，如图，
∵，BC=4cm，
∴cm，
∵，
∴以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相交；
故选：A.
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质和直线与圆的位置关系，属于基础题目，熟练掌握直线与圆位置关系的判定是关键.
9. 二次函数＝ax2+bx+c的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A. 0＜x＜2B. x＜0或x＞2C. ﹣1＜x＜3D. x＜﹣1或x＞3
【答案】C
【解析】
【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线的顶点坐标为(1，4)，所以抛物线开口向下，则抛物线与x轴的一个交点坐标为(3，0)，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵抛物线经过点(0，3)，(2，3)，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)，抛物线开口向下，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题．
10. 已知函数，，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】联立，并解得或1，则时，，进而求解．
【详解】解：联立，，
解得或1，
∵，故抛物线开口向上，
则时，，
∵时，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是抛物线与一次函数交点问题，弄懂题意，明确、代表的意义是本题解题的关键．
二．填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了两个点关于原点对称，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连接，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的切线的性质，得，根据圆的性质，得，再通过勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】∵是的切线，为切点
∴
∴
∵的半径为1
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质，从而完成求解．
13. 新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．因为每两人互发一条祝福短信，则每个人都要发条，据此列出方程即可．
【详解】解：设全班有名同学，
由题意得，
故答案为：．
14. 如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是_________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，即可得出旋转角的大小．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的大小是，
故答案为：．
15. 设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为___________．
【答案】17或7##7或17
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
∵ABCD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，
由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，
在Rt△CEO中，OE==12；
同理，OF==5，
故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；
②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；
故答案为：17或7．
【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
16. 如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为__________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上，
，
点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程）．
17. 解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】解：，
，
则或，
解得，．
【点睛】本题主要考查因式分解法解方程，解题的关键是因式分解方程左边，然后解方程．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入求值，即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
19. 如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为6，，．求证：是的切线；
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，可以证明得是直角三角形，即，是的切线，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
的半径为6，，．
，，
，，
，
是直角三角形，
，
是的切线；
20. 某市交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
21. 如图，点D为等边的边的中点，．将绕A点逆时针旋转．

（1）尺规作图：作出旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在题1所作图形中，连接D点与它的对应点，并求出它的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用为等边三角形，则，绕A点逆时针旋转，B点旋转到C点，然后以A点、C点为圆心，为半径画弧，两弧的交点E为D点的对应点；
（2）先根据等边三角形的性质得到，可计算出，再根据旋转的性质得到，则可判断为等边三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
利用为等边三角形，则，绕A点逆时针旋转，B点旋转到C点，然后以A点、C点为圆心，为半径画弧，两弧的交点E为D点的对应点；
【小问2详解】
解：∵点D为等边的边的中点，，
，

∵将绕A点逆时针旋转，
，
∴为等边三角形，
；
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，也考查了等边三角形的性质．
22. 如图，在中，，以点A圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．
（1）若，则的度数为______________；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，过点A作，垂足为F．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
23. 某小组准备合作制作出一个水流装置．下面是制作装置的活动过程：
请根据活动过程完成任务一和任务二．
【答案】任务一：；任务二：能，见解析
【解析】
【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的应用，根据题意得到称轴为，过点代入求解即可得到任务一，先求出圆柱形水杯最左端到点O的距离及高度，求出抛物线在此处的高度比较即可得到答案；
【详解】解：任务一：由题可得抛物线的对称轴为，
，即，
把点代入抛物线，得，
把代入得，解得，
水流抛物线的函数表达式为；
任务二：圆柱形水杯最左端到点O的距离是，
当时，，
，
水流能流到圆柱形水杯内．
24. 如图，点C为外接圆上的一动点（点C不在弧上，且不与点B，D重合），
（1）求证：是该外接圆的直径；
（2）连接，试探究三者之间满足等量关系，并证明你的结论；
（3）若关于直线的对称图形为，连接，直接写出，，三者之间满足的等量关系．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）要证明是该外接圆的直径，只需要证明是直角即可，又因为，所以需要证明；
（2）在延长线上截取，连接，只需要证明是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过点M作于点M，过点A作于点A，与交于点F，证明是等腰三角形后，可得出，，然后再证明可得出，最后根据勾股定理即可得出三者之间的数量关系．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是外接圆的直径；
【小问2详解】
解：．
证明：在的延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过点M作于点M，过点A作于点A，与交于点F，连接，
由对称性可知：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．
25. 在平面直角坐标系中，点，已知抛物线（m是常数）的顶点为P．
（1）当抛物线经过点A时，
①求顶点P的坐标；
②设直线与抛物线交于B、C两点，抛物线上的点M的横坐标为，过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q，若，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围．
（2）无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当时，求m的值．
【答案】（1）①②
（2）或．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）①将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为，点；
②M的横坐标为时，图象对应的是之间的部分，，函数的对称轴为，即可求解；
（2）由点A、H的坐标知，，；点P存在在左右两侧的情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解：①将点的坐标代入抛物线表达式得，
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∴，
∴顶点P的坐标为；
②函数图象如图1所示，联立抛物线与直线表达式，
解得，或，
∴，，
故M的横坐标为时，图象对应的是之间的部分，
设点，点，
∴，
∴函数的对称轴为：，
当d随n的增大而减少，，而，
故．
【小问2详解】
解：
∴点P的坐标为，
∵，
则当时，，即点，
∵，
∴，，
点P存在在左右两侧情况，如图2所示；
①当点P在右侧时，如图2左侧图，
过点M作于点R，，，
设：，则，
则，
解得：，
则，则点；
设直线的表达式为，
把，代入，得：
，
解得，
∴直线的表达式为，
将点P的坐标代入上式并整理得：，
解得：或；
当时，点P的坐标为与点H重合，故舍去，
则；
②当点P在左侧时，如图2右侧图，
同理可得：点，
则直线的表达式为，
将点P的坐标代入上式并整理得：，
解得：（舍去）或；
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣12
﹣5
0
3
4
3
活动目的
制作简易水流装置
设计方案
如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知
轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为．
任务一
求水流抛物线的函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）