福建省厦门市湖里区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）

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一、选择题：（每题4分，共10题，40分）
1.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、选项中图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2.抛物线的对称轴是（ ）
A.直线B.直线
C.直线D.直线
【答案】B
【解析】∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
3.已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（ ）
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
【解析】∵点P在半径为r的内，且，
∴，
比较四个选项，只有，
故选：D．
4.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】选项A：
，，，
，无实数根，不符合题意；
选项B：
，，，
，有两个相等的实数根，不符合题意；
选项C：
，，，
，无实数根，不符合题意；
选项D：
，，，
，有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
5.如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意；
B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意；
C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意；
D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意；
故选C．
6.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A.小球滑行12秒停止B.小球滑行6秒停止
C.小球滑行6秒回到起点D.小球滑行12秒回到起点
【答案】B
【解析】如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，
当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．
故选：B．
7.如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由题意可得：平行于住房墙的一条边的长为，
∵，
∴★表示的代数式为，
故选：C．
8.看似简单的数学公式背后蕴含着深刻的设计智慧．跑道弯道设计既要保证运动员比赛时的安全性，又要确保不同跑道之间的距离差异最小化，从而公平地反映每位参赛者的实力．高小新同学对厦门高新田径场第一道跑道的弯道进行了测试．如图，他测得该跑道在拐弯处的弦，弓形的高度，则对应弯道所在圆的半径为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如图，设圆弧圆心为O，连接，，
∵是弓形的高，
∴，，
∴，
∴
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴对应弯道所在圆的半径为长为36m
故选：C．
9.如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设鼓面圆的圆心为，连接、，则，
，，
，
是等边三角形，
，
的半径为，
的直径为，
故选：C．
10.已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A B.或
C.D.
【答案】A
【解析】∵二次函数的图象不经过第三象限，
∴当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意，
∴，
解得：，
当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，
∴，
解得：，
当x=0时，，
解得：b＞1或b＜-1，
对称轴，
解得：b＞2，
∴b无解，
综上，，
故选A.
二、填空题：（每题4分，共6题，24分）
11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12.已知是方程的解，则m的值为____________．
【答案】4
【解析】由题意得：
把代入方程中，
则，，
，
故答案为：．
13.如图，四边形内接于圆，为延长线上一点，图中与一定相等的角是_________．
【答案】
【解析】∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
则图中与一定相等的角是，故答案为：．
14.某二次函数的几组对应值如下表所示，若 x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则该函数图象的开口方向是_____．
【答案】向下
【解析】由表中所给函数值可知：
当x＜x4时，y随x的增大而增大，
当x＞x5时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，故答案为向下．
15.如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O 顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为_______________
【答案】
【解析】如图，将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段，
过点作轴于点B，
，，
．
在直角中，，，
，
∴，
点的坐标为．
故答案为：．
16.如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为___________．

【答案】
【解析】如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取，连接DF，

∴，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共9题，共86分）
17.解方程：
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
18.先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
当时，
原式．
19.已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当时，直接写出的取值范围．
（1）解：∵设二次函数的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：,
当时，，
当时，，
当时，，
函数图象如图所示：
所以，当时，．
20.芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题：
（1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率；
（2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？
（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：第二、三季度生产量的平均增长率为；
（2）解：该目标不能实现，理由如下：
按照（1）中的平均增长率，
该公司第四季度的芯片生产量为（万个），
∵，
∴该目标不能实现．
21.如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上（点E不与点B重合）．
（1）求作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断线段、的位置关系，并证明．
解：（1）如图，即为所求；
（2）结论：
理由：∵，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
22.如图，在中，，与边相切于点E．

（1）求证：；
（2）若，求的长度．
（1）证明：连接，如图，

∵为半圆的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为r，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴
23.综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表：
探究任务：
（1）已知该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，在坐标系中描出点，顺次连接各点，结合图象求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：）；
（2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度；
（3）若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由，并根据计算结果给司机提出一条建议．
（1）解：函数图象如图所示，
根据图象可得该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间为二次函数，
设，
把代入可得
，
解得，
该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间的函数关系式为；
（2）解：当时，可得，
解得（舍去），
故该款汽车开始刹车时的速度为；
（3）解：有碰撞危险，理由如下：
当时，，
，
故有碰撞危险，建议司机降低车速保持安全距离．
24.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线.
（1）当时，求t的值；
（2）点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由.
（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，
∴，解得，
由得抛物线的对称轴为直线，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则或，
∴，
∵，∴，
∵，，又抛物线的开口向上，∴．
25.如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）求证：平分．
（3）当时，求与的面积之比．
（1）解：是等腰直角三角形．
理由：如图，连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：过O作于G，于P，
则，，，
∴四边形是矩形，
由（1）得，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，又，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，即平分；
（3）解：∵，
∴设，，
由（2）中四边形是正方形可得，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，，∴，
∴，∴．
x
x1
x2
x3
x4
x5
y
﹣3
﹣
0
2
﹣1
…
0
1
…
…
0
0
…
车速x（）
0
30
45
60
90
105
120
150
制动距离y（m）
0
7.8
13.05
19.2
34.2
43.05
52.8
75