福建省厦门市湖里实验中学九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省厦门市湖里实验中学九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有且只有一个选项正确）
1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线顶点坐标是．
故选：D．
3. 如图，四边形内接于圆，图中与相等的角是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理；根据圆周角定理得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
4. 已知与相似，且相似比是，那么它们的面积比（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵与相似，且相似比是，
∴，
故选：C．
5. 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．
【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；
B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．
6. 解一元二次方程，其中一个根为，则等于（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，牢记求根公式：，利用求根公式可直接求解c的值．
【详解】解：已知一元二次方程；
直接利用公式法可得：；
因为其中一个根为；
可得，，；
即，；
∴；
故选：B．
7. 如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D. 是等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理即可判断．
【详解】解：由切线长定理可得：，，
∴，，
∴，
故A，B，C正确，而中只满足，无其他条件证明是等边三角形，
故选D．
【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形性质以及垂径定理，关键是利用切线长定理得到垂径定理的前提条件．
8. 抛物线的对称轴为直线，且经过点，，则，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质；根据解析式可得，抛物线开口向上，进而根据点到对称轴的距离越大，函数值越大，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且经过点，，
∴，抛物线开口向上，，则
∴，
故选：A．
9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长为x步，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意得到宽与长是关键．
【详解】解：设长为x步，根据题意得，
．
故选：A．
10. 如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵，点是矩形内一动点，
∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，
∵矩形中，，，
∴，
如图所示，取的中点，则

∴点到的最短距离为，
∴面积的最小值为，
故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，即可求解．
【详解】解：点的坐标为，则点关于原点对称的点的坐标为
故答案为：．
12. 已知x＝1是一元二次方程x2﹣mx+1＝0的一个解，则m的值是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】把x＝1代入一元二次方程x2﹣mx+1＝0，可得再解方程可得答案．
【详解】解： x＝1是一元二次方程x2﹣mx+1＝0的一个解，


故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键．
13. 在中，已知半径为，所对的圆心角，那么的长度为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了求弧长；根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：∵在中，已知半径为，所对的圆心角，
∴的长度为,
故答案为：．
14. 如图，在中，，是斜边上的高．已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查在三角形中求线段的长，根据题意可得，根据可得，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，，是斜边上的高．
∴，
∴，
∴，即
∵，，
∴，
故答案为：．
15. 已知是半径为的圆的内接三角形，，则___________．
【答案】或
【解析】
【分析】先画出图形，可能是锐角三角形也可能是钝角三角形.当是锐角三角形时，先作直径，连接构造直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等可得，求出的三角函数值，即可求出的度数，即可知的度数.当是钝角三角形时，与互补，求出的度数，即可知的度数.
【详解】
解：如图1，当是锐角三角形时，连接并延长交于点，连接，
则，
是的直径，
，
且，
∴sin，
，
；

如图2，当是钝角三角形时，
则
；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对的圆周角等于”，“同弧所对的圆周角相等”，以及根据三角函数解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键.
16. 已知抛物线：将抛物线P关于x轴对称得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数定取值范围，对称轴在变化，求参数取值范围，首先利用轴对称的性质得到抛物线，最后讨论对称轴所在范围，求参数a的取值范围，此题分类讨论是关键．
【详解】解：由题可知关于x轴对称得到抛物线为；
；
对称轴为：；
①当时；函数的最大值为；
∵M为抛物线上任意一点，只要满足；
即；
∵；
∴；
②，即时，把代入中，函数的最大值为；
∴；
∴；
∵；
∴这种情况无解；
③当时，即；
把代入中，函数的最大值为；
∵；
∴不满足；
∵；
综上所述：；
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方的方法是解题的关键．
直接根据因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
解得：，
18. 如图，四边形是平行四边形，E，F是对角线的三等分点，连接，证明：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】只需要利用证明即可证明.
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E，F是对角线的三等分点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边平行且相等是解题的关键.
19. 先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】
=
＝，
当x=-1时，
原式
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．
（1）若每个房间的定价为每天210元时，则会住满______个房间，宾馆的总利润是______元．
（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？
【答案】（1），
（2）房价定为元时，宾馆利润取得最大值．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用；
（1）根据题意列式计算即可得到答案；
（2）设每个房间定价增加元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案．
【小问1详解】
解：依题意得：；元，
即会住满个房间，宾馆的总利润是元；
故答案为：，．
【小问2详解】
解：设每个房间定价增加x元，
依题意得：所获利润，
当元时，利润最大，
元，
即房价定为元时，宾馆利润取得最大值．
21. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，点落在边上．

（1）尺规作图：作出（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本考查了作图—复杂作图，旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于，与，以点为圆心，为半径画弧交之前的弧与点，作射线，以为圆心，为半径画弧，交射线于，连接，即为所求；
（2）由旋转的性质可得：，，，从而得到，由勾股定理可得，得到，再由勾股定理进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
由旋转的性质可得：，，，
，
在中，，，，
，
，
．
22. 如图，都是的半径，．

（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；
（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
【小问2详解】
解：过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
23. 【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【答案】感知：；探究：见解析；应用：．
【解析】
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得，
故答案为：；
探究：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
应用：
延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．
24. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接
（1）求证：．
（2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与重合），判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）等腰直角三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的基本性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，推出，即可证得结论；
（2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论；
（3）结合已知信息推出，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可．
小问1详解】
证：∵四边形为正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，即：，
在与中，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：如图所示，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键．
25. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）直接写出二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC，求点M的坐标．
【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）OP=；（3）M坐标（1，﹣2）或（，）．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据线段的和差，可得AP的长，根据勾股定理，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分类讨论：①当H′在点C的下方时，根据平行线的判定，可得yM，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当H′在点C的上方时，根据相似三角形的对应角相等，可得M′点是CP与抛物线的交点，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-2），将x=0，y=-2代入，得
a（0+1）（0-2）=-2，
解得a=1．
故抛物线的解析式为y=（x+1）（x-2），即y=x2-x-2；
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，
由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=，即OP=；
（3）∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠CAO，
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC
∴∠OCA+∠MCH=90°
∴∠OCM=90°=∠AOC
∴CM//x轴，
∴=﹣2，
∴x²﹣x﹣2=﹣2，
解得=0（舍去），=1，
∴M（1，﹣2），
（ii）如图1，当H在点C上方时，
∵∠MCH=∠CAO，
∴PA=PC，由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，
解得k=，
∴y=x﹣2，
由x﹣2=x²﹣x﹣2，
解得=0（舍去），=，
此时y=×﹣2=，
∴M′（，）．
综上：M坐标（1，﹣2）或（，）．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用勾股定理得出关于x的方程是解题关键；①利用平行线的判定得出yM是解题关键，②利用相似三角形的对应角相等得出M′点是CP与抛物线的交点是解题关键．