浙江省嘉兴市南湖区名校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确．请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分）
1. 下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（ ）
A. 射击B. 跳水
C. 乒乓球D. 皮划艇
【答案】A
【解析】A：能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形；
BCD：均不能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形；
故选：A．
2. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A. 5B. 6
C. 11D. 16
【答案】C
【解析】设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
3. 如果，下列各式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
A、∵，
∴，正确，不符合题意；
B、∵，
∴，正确，不符合题意；
C、∵减去同一个数，不等号方向不变，
∴，正确，不符合题意；
D、∵，
∴，即，但选项为，错误，符合题意；．
故选：D．
4. 如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
A、∵，，，∴，∴，该选项不符合题意；
B、∵，，，∴，该选项不符合题意；
C、，，不能判断，该选项符合题意；
D、∵，，，∴，该选项不符合题意．
故选：C．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
解不等式①得：x>－2
解不等式②得：x≤3
所以不等式组的解集在数轴上表示为：
故选C．
6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
D. 两直线平行，同位角相等
【答案】D
【解析】A、全等三角形对应角相等的逆命题为“三个角分别相等的三角形全等”，是假命题，不符合题意；
B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题为“两个有理数的平方相等，这两个有理数也相等”，是假命题，不符合题意；
C、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等的逆命题是“两个角相等，这两个角是对顶角”，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题，符合题意；
故选：D ．
7. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. ，，
B. ，
C.
D.
【答案】C
【解析】对于A：，
计算，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
对于B：，则，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
对于C：设，则，解得，
∴，无角，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
对于D：，又，
代入得，
∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
8. 已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（）
A B. 或或
C. 或D. 或或
【答案】D
【解析】设边上的高为，为垂足，则．
①当为底边（）时：
，，
，
又，
为等腰直角三角形，，
同理，
．
②当为腰且，高在三角形内部时：
在中，，
取的中点，连接，
∴
∴是等边三角形，
∴
，
，
又，，
设，则，解得，
．
③当为腰且，高在三角形外部时：
在中，，
同理可得，
，且，
，
设，则，解得，
．
综上，的度数为或或，
故选：D．
9. 如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在上截取，连接，如图所示：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示：
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3
C. 2D. 1
【答案】B
【解析】∵在中，、分别平分、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，，故②正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．故③正确；
∵，，
∴，，
∵，
∴，故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. “的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______．
【答案】
【解析】的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
12. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______．
【答案】20
【解析】∵等腰三角形的两边长分别为4和8，
∴当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，
∵，
∴不满足三角形的三边关系，
当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，此时能构成三角形，
∴三角形的周长是，
故答案为：20．
13. 等腰三角形两底角相等的逆命题是______．
【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【解析】等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
14. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是______．
【答案】
【解析】过点作，垂足为，如图：
根据题意可知，，
在，
在，
故答案为：．
15. 如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______．
【答案】65°
【解析】如图，，
，
在和中，
；
过点作于，于，
，
，
在和中，
，
，
在与中
，
，
平分；
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，在中，，点是线段中点，，下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是______（填序号）
【答案】①②③
【解析】∵在中，，
∴．
点是线段的中点，
，
是等边三角形，
，
，
于点，于点，
，，，
在和中，，
，
故①正确；
∵，
，
，
，
为等边三角形，
∴，
故②正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
故③正确；
，，且，
，
故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题（本题有8小题，第17~22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分）
17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
解：
①：
解得：；
②：
解得：；
∴不等式组的解集为，在数轴上表示为：
18. 在中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
（1）作出边上的中线；
（2）作出的角平分线；
（3）作出的上的高线．
解：（1）以A、C为圆心，大于的长为半径分别画等半径的圆弧，两段圆弧交于两点，连接这两点与交于点D，连接即可：
（2）以C为圆心画圆弧交的两边于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画圆弧，连接C和两段圆弧的交点，交于E，即为所求：
（3）以A为圆心画圆弧，与的延长线交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画圆弧，两段圆弧交于两点，连接这两点与交于，延长这条直线，则其过A点，即为所求：
．
19. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O．
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
解：（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌；
（2）∵≌，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20. 如图，已知．求证：F是的中点．
证明：连接，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴F是的中点．
21. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点．
（1）过点作于点，求证：；
（2）若，，求的长．
解：（1）连接，，
平分
垂直平分
在和中，
，
;
（2）设
,
由（1）知，在和中，
，
解得
22. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用、两种型号的大巴车，已知租用辆型大巴车和辆型大巴车，共需费用元；辆型大巴车比辆型大巴车的费用多元．
（1）求型大巴车和型大巴车每辆各需多少元；
（2）若计划租用、两种型号大巴车共辆，且型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过元，共有哪几种采购方案？
解：（1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元；
（2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为10，11，12，
该校共有3种租车方案，
方案1：租用10辆型大巴车，辆型大巴车；
方案2：租用11辆型大巴车，辆型大巴车；
方案3：租用12辆型大巴车，辆型大巴车．
23. 如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为，
（1）分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长．
（2）当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值．
解：（1）、，
，
点D的运动时长为，
点E的运动时长为：；
（2），
，
，
，
，
在和中，
，，
要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明，
如下图所示
当上，在上时，即，
，，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
，
，
；
如下图所示，
当在上，也在上时，即，
，
，
；
当到达，在上时，即，
，，
，
．
综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
24. 【问题背景】
在四边形中，，，，、分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．

（1）【初步探索】
小光同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ．
（2）【探索延伸】
在四边形中如图2，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．

（3）【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

解：（1）如图1，延长到G，使，连接，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，

∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）连接，延长交于点C，如图，
∵，
∴，
∵，
∴四边形中：且，
∴四边形符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间距离是270海里．