浙江省嘉兴市南湖区名校中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列新能源汽车标志中，轴对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.该选项不是轴对称图形，故不符合题意；
B. 该选项是轴对称图形，故符合题意；
C. 该选项不是轴对称图形，故不符合题意；
D. 该选项不是轴对称图形，故不符合题意，
故选：B．
2. 若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A. a+2＜b+2B. a﹣2＜b﹣2
C. 2a＜2bD. ﹣2a＜﹣2b
【答案】D
【解析】A. ∵a＞b， a+2>b+2 ，故不正确；
B. ∵a＞b，a﹣2>b﹣2 ，故不正确；
C. ∵a＞b， 2a>2b，故不正确；
D. ∵a＞b，﹣2a＜﹣2b，故正确；
故选D.
3. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（）
A. 6米B. 米
C. 27米D. 18米
【答案】C
【解析】设米，
∴由三角形三边关系定理得：
∴，
所以选项C不符合，选项A、B、D符合，
故选：C．
4. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，满足条件，但不能得出的结论，
∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，
故选：A．
5. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A. 角平分线B. 中线
C. 高线D. 以上都不是
【答案】B
【解析】由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段应该是的中线，
故选：B．
6. 如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，
，
添加，
，
故选项不符合题意；
添加，
，
故选项不符合题意；
添加，
，
故选项不符合题意；
添加，不能判定，
故选项符合题意，
故选：．
7. 如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（ ）
A. 6B. 3
C. 2D. 1.5
【答案】B
【解析】连接、，
是的平分线，，，
，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中
，
，
，，
．
故选：B
8. 如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是的角平分线，
所以，
由，得，
中，，
因为在中，，
把，代入，
得
那么，
所以，
故选：A．
9. 如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】连接并延长交于，如下图，
∵四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上，
∴，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中点，
∴在中，可有，
∵，，
∴，即，
即为等腰直角三角形，
所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长．
故选：C．
10. 如图，等边中，点，分别在边，上，，，交于点．若，．则的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11. “x的2倍与3的差是负数．”用不等式表示为______．
【答案】
【解析】由题意得
，
故答案：．
12. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点、，连接．若，，则的长为__________．
【答案】5
【解析】∵的垂直平分线分别交，于点、，
∴．
∵，
∴．
故答案为：5．
13. 在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为__________．
【答案】
【解析】由勾股定理，斜边长为；
故答案为 ．
14. 如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是________．

【答案】
【解析】点是的斜边的中点，
，
，
，
点是的斜边的中点，，
，
，
，
故答案为：．
15. 在锐角三角形中，的角平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值为_______．
【答案】5
【解析】如图，是的平分线，
∴点B关于的对称点在上，
过点作于N交于M，
由轴对称确定最短路线问题得，点M即为使最小的点，此时，
过点B作于E，
，
，
解得：，
是的平分线，与B关于对称，
，
是等腰三角形，
，
即最小值是5．
故答案为：5．
16. 如图，在四边形中，，，，点在边上，连接．若，且平分，则的长为__________．
【答案】7
【解析】如图，过点B作于点M，作，交的延长线于点N，
∴，
∵平分，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
在中，
，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，
∵，
∴°，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：7．
三、解答题（本大题8小题，第17~22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分）
17. 解下列不等式：
（1）
（2）
解：（1）移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得；
（2）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示如下：

19. 如图，已知：，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
解：（1）在和中，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
20. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求角平分线的长．
解：（1）如图所示，线段即为所求；
（2）∵，平分，
∴，，
∴，
∴．
21. 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．
（1）若，求点到的距离；
（2）直接写出线段、、存在的数量关系．
解：（1）过点P作于E，如图所示：
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点P到的距离是4．
（2）；
证明：由（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
22. 对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题：
（1）若，求实数的取值范围．
（2）若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围．
解：（1），
，
；
（2），
，
，
，
的解集中有3个整数解，
的整数解为，，，
，
．
23. 阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（）．
小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料”
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．
（1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”）
（2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．
（3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明：
解：（1）当，，时，
，，
∴，
∴；
故答案为：
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由题意，，
∴，，，
由“糖水不等式”可知：，
，
，
．
24. 如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设．
（1）用含的代数式表示；
（2）若，求的度数；
（3）在（）条件下，若为中点，，求的面积．
解：（1）∵为边上的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）过点作，为垂足，连接，
∵
∴， ，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．