安徽省“皖南八校”2026届高三第二次大联考数学试卷含解析（word版）

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2. D A=x∣lg2xe−θtanθ+1+1tanθ 对任意 θ∈−π2,0 恒成立,
即证 lncsθ−1tanθ+θtanθ−1min>0 ,其中 θ∈−π2,0 . 12 分
令 φx=lncsx−1tanx+xtanx−1,x∈−π2,0 ,
因为 1tanx′=csxsinx′=−1sin2x,tanx′=sinxcsx′=1cs2x,lncsx′=−sinxcsx=−tanx ,
所以 φ′x=−tanx+1sin2x+tanx+xcs2x=cs2x+xsin2xsin2xcs2x .
令 nx=cs2x+xsin2x,x∈−π2,0 ,
则 n′x=−2csxsinx+sin2x+2xsinxcsx=sinxsinx+2x−1csx>0 ,
则 nx 在 −π2,0 上单调递增,又 n−1=cs20 ,
则 ∃x1∈−1,−π4 ,使 nx1=cs2x1+x1sin2x1=0 ,
解得 tanx1=−−1x1 ,所以 csx1=x1x1−1 .
当 x∈−π2,x1 时, nx0,φx 单调递增.
所以 φx 在 x=x1 时取到极小值,也是最小值, 14 分
φxmin=φx1=lncsx1−1tanx1+x1tanx1−1=−2tanx1−1+lncsx1
=2−x1−1−12ln1−1x1 . 15 分
令 tx=2−x−1−12ln1−1x,x∈−1,−π4 ,
则 t′x=−1−x−12×11−1x⋅1x2t−π4 , 16 分
又 t−π4=2π4−1−12ln1+4π>3−1−12ln73>710−12ln73>0 ,
即当 θ∈−π2,0 时, lncsθ−1tanθ+θtanθ−1min>0 ,
所以 ∃x∈0,π2 ,使得 gx>e1−1m+1 对任意 m>0 恒成立,命题得证. 17 分