安徽省部分高中学校2026届高三上学期（1月）期末质量检测数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.设集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知 . 由 解得. . 所以 .
2.已知 ( 为虚数单位),则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】 . 所以 .
3.已知直线 平面 ,则过 且与 垂直的平面
A. 有且仅有 1 个B. 有且仅有 2 个C. 有无数个 D. 不存在
【答案】C
【解析】过 且与 垂直的平面有无数个.
4.若奇函数 在区间 上是增函数，且最小值为 3，则它在区间 上是
A. 增函数且有最大值 -3 B. 增函数且有最小值 -3
C. 减函数且有最大值 -3 D. 减函数且有最小值 -3
【答案】A
【解析】因为 为奇函数,所以 在区间 上也是增函数. 且有最大值 -3 .
5.
A. B. -1C. D.
【答案】A
【解析】.
6.已知等差数列 满足 ,注 和 之间插入 个 1，得到新数列 ，则 的前 90 项和为
A. 168 B. 188 C. 212 D. 222
【答案】D
【解析】将 和 个1分为一组,则前 12 组共有 个数,这 90 个数之和为 .
7.在平面直角坐标系 中,设抛物线 的焦点为 ,点 在 上,若 ,则 的最小值为
A. 4 B. 9 C. 16 D. 25
【答案】D
【解析】设 ,由 可得, ,解得 . 因为 . 所以 .
8.记 的面积为 ,若 ,且 ,则 的最小值为
A. -1B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,又 ,
由 ,解得 ,得 ,
,
.
.
,
的最小值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知圆 ,圆 ,则
A. 的半径为 4
B. 若 相切,则
C. 当 时, 相交弦所在直线的方程为
D. 当 时, 相交弦的长度为
【答案】AC
【解析】 整理为 ，所以 的半径为4， 选项正确；
易知 ,且 的半径为 1,若 相切,则 或 ,解得 或 选项错误;
当 时, ,两圆方程相减可得相交弦所在直线 选项正确;
到直线 的距离为 ，所以 相交弦的长度为 ，D 选项错误.
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,其渐近线与圆 相切,点 在 左支上,则
A.
B. 直线 与 的右支恰有两个交点
C. 周长的最小值为
D. 的最小值为 2
【答案】AC
【解析】 的渐近线 与圆 相切. 所以 . 选项 正确；
易知 ,直线 的斜率为 -1,因为直线 的斜率大于渐近线 的斜率,所以直线 与 的左、右支各有 1 个交点,选项 B 错误;
周长为 ,选项 正确；
设 ,则 ,即 ,所以 的最小值为 . 选项 D 错误.
11.已知正方体 的棱长为 为 的中点, 在棱 上 (不包括端点), 则
A. 若 为棱 的中点,则平面 截正方体 所得截面为矩形
B. 若 为棱 的中点,则 到平面 的距离之比为 2
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 三棱锥 外接球表面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】若 为棱 的中点,过 作 的平行线交 于点 ,则矩形 为所得截面, A 选项正确;
连接 交于点 ,则 到平面 的距离之比为 选项错误;
三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等, 的面积为定值,所以三棱锥 的体积为定值. 选项正确；
设 ,则 ,所以 ,所以 外接圆半径最小值为 ,所以三棱锥 外接球表面积的最小值为 , D 选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量 满足 ，则 在 方向上投影向量的坐标为________.
【答案】(1,1)
【解析】 在 方向上投影向量的坐标为 .
13.若函数 的图象关于点 对称，则 _______.
【答案】 2
【解析】由 可得, ,所以 ,故 . 所以 ,所以 .
14.已知函数 ,点 在曲线 上,则 的最大值为________.
【答案】1
【解析】求导得 ,当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减，所以 ，点 在曲线 上，则 ，所以 ，设 ,当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,所以 ,故 单调递增,故 ,即 的最大值是 1 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 的最小正周期为 的图象关于点 中心对称.
(1)求 的解析式;
(2)将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，求满足 的 的取值范围 .
【解析】(1) ,所以 ,
因为 ,所以 ,
由 的图象关于点 中心对称可知. ,
所以 ,故 ,
因为 ,所以 .
所以 ;
(2) ,
即 ,即 ,
即 ,即 ,
所以 ,
所以 .
16.已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的通项公式.
【解析】(1) ,
时, ,
时, ,即 .
又 ,
是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.
;
(2) ,
.
,
令 ,设数列 的前 项和为 ,则
①,
②
①-②得 ,
,
,又 ,
时, ,
又 符合上式,
.
17.已知四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形， 平面 分别为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)求异面直线 公垂线段的长度 (同时和两条异面直线都垂直并相交的直线叫做异面直线的公垂线, 交点之间的距离就是公垂线段的长度).
【解析】
(1)连接 ,因为 ,所以 ,
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)如图所示，以 为原点，建立空间直角坐标系，
则 ,
设平面 的法向量为 ,
由 可得, ,取 ,
为平面 的一个法向量,
设平面 与平面 夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ;
(3)因为 ，
所以 平面 .
过 作 垂直 于 ,即 ,
因为 平面 . 所以 .
所以 为异面直线 的公垂线, .
18.已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ，圆 ， 过 的直线与 交于 两点,当直线 垂直 轴时, .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 时,设 在圆 上,且 也在 上,判断是否存在点 满足 ,若存在,求直线 的方程; 若不存在,说明理由;
(3)当 时,直线 交圆 于 ， 两点,求 的最大值.
【解析】(1) 依题意, ,所以 ,
当 时,可得 ,解得 ,
所以 ,解得 ,
所以 的标准方程为 ;
(2)易知 ，设 ，显然当直线 斜率为 0 时，不符题意
当直线 斜率不存在时, ,满足题意,此时直线方程为 ;
当直线 斜率存在时,设 两点的坐标分别为 ,则 ,
则 . 两式相减可得, ,
即 ,易知 ,
所以 ,因为 ,
即 . 解得 或 . 均不符题意;
综上所述. 存在点 满足 ,此时直线 的方程为 ;
(3)①当直线 的斜率为 0 时， ， ，所以 .
② 当直线 的斜率不为 0 时，设直线 .
联立直线 与 的方程 ,得 ,
,
由韦达定理得: ,
则 ,
圆心 到直线 的距离 .
则 .
因此, .
令 ,则 ,
设 ,则 ,
所以当 时, 取得极大值,也是最大值 ,
所以 .
因为 ,所以 的最大值为 .
19.已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，使得关于 的方程 有三个不同的实数根，求 的取值范围;
(3)若 为函数 的极小值点，求 的取值范围.
【解析】(1) 易知 的定义域为 .
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;
(2)依题意，即方程 有三个不同实数根.
设 ,则 ,
当 时, 单调递减, 至多有一个实数根,不符题意;
当 时, 恰有两个零点,设为 ,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
又当 时, ,当 时, ,
存在 ,使得方程 有三个不同实数根,
的取值范围是 ;
(3) ,设 ,则 ,
,设 ,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 10 分当 时, ,
存在 使得 ,
当 时, 单调递减,
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
为 的极大值点,不符题意;
当 时, ,
在区间 单调递增,在区间 单调递减, ,
当 时, 单调递减,不符题意;
当 时, ,
当 时, 单调递增,
在区间 单调递减,在区间 单调递增,
为 的极小值点,符合题意;
当 时, ,
存在 ,使得 ,
当 时, 单调递增,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
为 的极小值点,符合题意,
综上所述, 的取值范围是 .