2025年上海市松江二中高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市松江二中高一上学期期中数学试卷及答案解析，共23页。
2．本表分设试券和签题纸，试卷包括三部分；
3．本考试分设试卷和答题纸，每卷10分．各卷共5题，每卷20分．在试卷上作答一律不得分．
4．作答必须涂写在答题纸上， 在试卷上作者一样不写．
一、填空题（本大题共有 12 题， 满分 54 分， 第 1-6 题每题 4 分， 第 7-12 题每题 5 分）
1. 设全集，集合 ，则___________．
2. 将写成分数指数幂的形式为___________．
3. 函数的定义域是__________.
4. 若关于的方程的解集为，则______．
5. 若方程的两根为、， 则___________．
6. 已知“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围为___________．
7. 函数在上的最大值与最小值的差为1，则________．
8. 已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________．
9. 若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．
10. 不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图象，然后求解，请类比求解以下问题: 设, ， 若对任意 ，都有，则 的最小值是_____.
11. 已知函数.若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是__________.
12. 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法：
①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；
②若S只有2个元素，则必有3个元素；
③若S只有2个元素，则可能有4个元素；
④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素．
其中所有正确说法的序号是______________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ）
A B. C. D.
15. 已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
16. 设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤
17. 设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18. 已知集合，集合.
（1）若集合，且满足，求实数值；
（2）若，求实数的取值范围
19. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元.
（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种.
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由.
20. 已知函数
（1）若将图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求的值；
（2）若，解关于的方程
（3）若，且，解关于的不等式
21. 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”.
（1）若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由；
（3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”.
参考答案及解析：
松江二中2025学年第一学期期中考试高一数学试卷
考生注意：
1．试卷满分150分，考试时间120分钟；
2．本表分设试券和签题纸，试卷包括三部分；
3．本考试分设试卷和答题纸，每卷10分．各卷共5题，每卷20分．在试卷上作答一律不得分．
4．作答必须涂写在答题纸上， 在试卷上作者一样不写．
一、填空题（本大题共有 12 题， 满分 54 分， 第 1-6 题每题 4 分， 第 7-12 题每题 5 分）
1. 设全集，集合 ，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用补集的概念运算即可.
【详解】由可得，
所以，
则.
故答案为：
2. 将写成分数指数幂的形式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由分数指数幂的运算公式，可得.
故答案为：.
3. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数的定义域列出不等式，然后解分式不等式即可求得函数定义域.
详解】，
∴，
∴，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
4. 若关于的方程的解集为，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】对方程进行变形，得，根据解集为空集进一步推导关于m的等式即可求解．
【详解】对方程变形，可得整式方程，，所以，由于解集为，故，解得．
故答案为：1．
5. 若方程的两根为、， 则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用韦达定理结合对数恒等式可求得结果.
【详解】因为方程的两根为、，由韦达定理可得，
故.
故答案为：.
6. 已知“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求解不等式，根据充分而不必要性求解.
【详解】因为，解得，
又，解得，
设，
因为“”是“”的充分非必要条件，
所以是的真子集，得，解得，等号不同时成立，
的取值范围为.
故答案为：
7. 函数在上的最大值与最小值的差为1，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性和值域求解即可.
【详解】当时在上单调递增，
因此，最大值为，最小值为.
由题知，，
即，得（满足）.
当时在上单调递减，
因此，最大值为，最小值为.
由题知， ，
即，得（满足）.
综上所述，或.
故答案为：或
8. 已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解.
【详解】当时，，
当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为，
当时，，
①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为，
要使得函数的值域为，则，解得；
②当时，函数在为单调递减，可得的值域为，
此时函数的值域不可能为，舍去，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
9. 若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求出最小值即可.
【详解】依题意，，当且仅当时取等号，
因此，由不等式的解集不是空集，得，
所以的取值范围是.
故答案为：
10. 不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图象，然后求解，请类比求解以下问题: 设, ， 若对任意 ，都有，则 的最小值是_____.
【答案】2
【解析】
【分析】数形结合，探索满足的关系，再求的最小值.
【详解】类比图象法解不等式，画出和的图象.
因为对任意 ，都有，所以两个函数图象应如下图所示：

由图象得：.
所以.
故答案为：2
11. 已知函数.若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】不妨设，，代入得到，根据关于原点对称，求出，代入，解出，构造函数，利用在是单调递减函数，得到，从而得到的值域为，即可求得答案.
【详解】不妨设，，，在上，，
关于原点对称，，又，
在上，，，
设，在是单调递减函数，
，的值域为，
若存关于原点对称，则.
故答案为：.
12. 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法：
①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；
②若S只有2个元素，则必有3个元素；
③若S只有2个元素，则可能有4个元素；
④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素．
其中所有正确说法的序号是______________．
【答案】①②
【解析】
【分析】对于①由条件2知正确；
对于④：设，由条件1推出中元素，再由条件2推出的元素必在中，分析这些元素能得出不同的元素至少有4个，与有3个元素矛盾.
对于②③： ，由条件1得，若中除0外只有一个元素，由求得 ；若中还有另两个元素，，由条件2得出中更多的元素，类似④的推断过程，分析这些元素至少有3个不同，与中只有两个元素矛盾；
【详解】对于①：由条件2知，，，且，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确；
对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数， 与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误.
对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设.由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素.
当集合只有2个元素时，即，由条件1得，则或，故.
当集合有多于2个元素时，不妨设，则，，由于，所以，又，故集合至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾.
综上，，故②正确，③错误.
故答案为：①②.
【点睛】对于数学中新定义题目要仔细阅读并理解新定义的内涵，并根据新定义对知识进行迁移应用，此题中涉及集合元素个数问题，要充要利用集合元素的互异性通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.
【详解】由时，由，即，可得，即成立，
反之，例如时，满足，此时，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
14. 幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的定义域、对称性、单调性等知识确定正确答案.
【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意；
B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意；
C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；
D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意.
故选：D
15. 已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】确定的所有子集，结合并集运算即可求解.
【详解】的子集有：
，
要满足为的真子集，且的最大，
由8个子集可知：两个元素的子集最多一个，
若两个元素的子集有两个，任意两个的并集都是，不符合题意，
单元素子集最多两个，
若单元素子集有3个，，并集为，不符合题意，
再包含一个空集，
举例：符合题意.
即的最大值是，
故选：B
16. 设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】解题的关键在于理解的定义，然后利用基本不等式求出的最小值，再结合的定义求出的最小值.
【详解】因为为正实数，所以，
当且仅当时等号成立，
从而中至少有一个不小于2，不妨设，则，所以.假设的最小值为2，，，所以，
所以，与矛盾，假设不成立，A错误；假设的最小值为3，则，或，，
同理，可得，显然不成立，B错误；假设的最小值为4，同理，易得，
若取，则，即，假设成立，C正确，D错误.
故选：.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤
17. 设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根据并集定义计算可得；
（2）依题意是的真子集，即可得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
由，即，解得，
所以，
当时，
由，即，解得，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
又恒成立，即，
所以（等号不同时取到），解得，
所以实数的取值范围为.
18. 已知集合，集合.
（1）若集合，且满足，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，再结合韦达定理及完全平方公式求解即可；
（2）由题意可得，再由，可得，分、为单元素集和，分别求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，解得，
由韦达定理可得，
所以，
又因为，
所以，解得或，
又因为，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以且，
又因为，
所以，
当时，，
解得；
当为单元素集时，
则有，解得，
此时，满足；
当时，
即方程的两个根为，
所以，解得；
综上，，
所以实数的取值范围为.
19. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元.
（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种.
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由.
【答案】（1）
（2）方案二更合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出函数关系式即可；
（2）分别计算出方案一与方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意，.
【小问2详解】
方案一：总盈利额，
当时，，
若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元；
方案二：年均盈利额（万元），
当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人，
总盈利为万元.
两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理.
20. 已知函数
（1）若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求的值；
（2）若，解关于的方程
（3）若，且，解关于的不等式
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）确定平移后解析式，代入求解即可；
（2）由指对数的运算性质将原方程化为关于的一元二次方程，结合定义域求解即可；
（3）由对数的运算性质及对数函数的单调性得到且．再通过讨论和求解即可.
【小问1详解】
将的图象向下平移（）个单位长度所得图象对应的函数为，
将点代入上式，得
解得
【小问2详解】
当时，，
所以原方程为，
由，得，又，所以，
所以，
即，
所以，考虑到，
解得，
所以．
【小问3详解】
由，
得，
所以且，
所以且．
当时，，
由得，
由，得，
所以；
当时，，，
由得，
由，得，
所以．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
21. 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”.
（1）若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由；
（3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”.
【答案】（1）具有，不具有，理由见解析
（2）是，理由见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义条件，分别判断集合是否具有性质.
（2）由性质P确定集合B，再根据“优美子集”的定义，确定集合是集合的“优美子集”.
（3）由存在三个互不相同的，使得均属于，证明满足性质P的三个条件；再证明集合具有性质，集合是集合的“优美子集”即可.
【小问1详解】
集合具有性质，理由如下：
取，，，满足，，是偶数，
所以集合具有性质；
集合不具有性质，理由如下：
集合中所有元素均为奇数，任意三个元素的和为奇数，不满足条件③，
所以不具有性质.
【小问2详解】
由是偶数，得实数是偶数，
①若，则由，得，矛盾.
②若，则，，.由，得，故，满足题意，
所以集合.
，，，
所以是的“优美子集”.
【小问3详解】
先证充分性：是集合的“优美子集”具有性质.
集合是集合的“优美子集”，所以存在三个互不相同的，，，
不妨设，使得，，.
且，，
为偶数，
所以集合具有性质
再证必要性：具有性质是集合的“优美子集”.
集合具有性质，所以中存在，，，
同时满足①；②；③为偶数，
令，，，
所以，，，，均为整数，
因为，所以，
所以，且，，均为正整数，所以，，，
因为，，，所以，，，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“优美子集”.
综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“优美子集”的充要条件是集合具有性质.