2022-2023学年上海市松江二中高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市松江二中高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数中底数的取值要求进行求解判断即可.

【详解】对数中的实数的取值要求为：且，

A：本选项显然不符合题意；

B：，显然不符合题意；

C：，或，显然不符合题意；

D：且，所以有且，显然符合题意，

故选：D

2．若，，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质可判断A，取特值可判断B，C，D.

【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；

对于B，若，则，故B正确；

对于C，若，则，故C不正确；

对于D，若，则，故D不正确.

故选：A.

3．已知，，则以下结论正确的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由知为集合的子集，集合为集合的所有子集构成的集合，从而确定集合与集合的关系.

【详解】由知为集合的子集，

即可取元素为，

所以是集合的一个元素，即，

故选：A

4．已知对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】应用参变分离法有恒成立，令结合二次函数的性质求右侧的取值范围，只需即可确定范围.

【详解】由题设，恒成立，

令，则，

所以只需即可，故.

故选：D

二、填空题

5．已知，.若，则______.

【答案】2

【分析】根据集合相等的定义进行求解即可.

【详解】因为，，，

所以，

故答案为：2

6．将化成有理数指数幂的形式为______.

【答案】

【分析】根据分数指数幂与根式的关系集合指数幂运算法则计算即可.

【详解】解：.

故答案为：.

7．若集合是空集，则实数的值为________

【答案】0

【分析】根据题意可知：方程无解即可.

【详解】由题意可得：

方程无解，

所以.

故答案为：0

【点睛】本题考查了空集的概念，属于基础题.

8．已知，，则______.（结果用，表示）

【答案】

【分析】首先利用指对互换公式，将化成再利用对数加法即可求解.

【详解】，又，则.

故答案为：

9．已知实数，满足，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】通过两个不等式，即可得到答案.

【详解】，即，

根据得，则，

根据得，则，

故，

故答案为：.

10．若对数方程的两根为，则______.

【答案】##

【分析】利用因式分解法，结合对数的运算性质进行求解即可.

【详解】，或，

由，由，

所以，

故答案为：

11．函数的图像关于点中心对称，则______.

【答案】4

【分析】根据分式函数的对称性进行求解即可.

【详解】因为

所以该函数的对称中心为，由已知可知该函数的图像关于点中心对称，

所以有，

故答案为：4

12．设关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】不等式组解集为，即该不等式组内的两个不等式解集均为，由此求解即可.

【详解】不等式组的解集为，

即不等式与不等式的解集均为，

对于不等式，若其解集为，则有，

解得，

对于不等式，等价于，若其解集为，则有，

解得，

综上所述，实数的取值范围为，即.

故答案为：.

13．已知实数，，满足，以及，则______.

【答案】2

【分析】本题将条件整体代换到后式得，则可解出的值，再代回条件解出值，最后算出结果即可.

【详解】将代入得

得

故，，，代入，

，

故答案为：2.

14．已知，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】先判断得每一项均为正，然后利用两个分布的关系得，利用均值不等式计算即可.

【详解】因为，所以，，显然，，所以，当，即时，等号成立，所以，所以的最小值为.

故答案为：

15．对一切实数x不等式恒成立，则a的取值范围为_________．

【答案】

【分析】首先将恒成立问题转化为求函数最小值问题，然后分类讨论求函数最小值即可.

【详解】设，则“对一切实数x不等式恒成立”等价于“”

当时，，此时，则，解得.

当时，，即，不可能恒成立，不符合题意.

当时，，此时，则，解得.

综上所述，的取值范围为

故答案为：

16．考虑集合的非空子集，若其子集中的奇数的个数不少于偶数个数，则称这个子集叫做“奇子集”，则S的“奇子集”的个数为_________．

【答案】162

【分析】分类讨论，考虑子集中的奇数个数一定时，偶数的个数的可能的情况，将每种情况的自己个数相加，可得答案.

【详解】由题意知的元素中有4个奇数和4个偶数，

当子集中的奇数的个数为1个时，S的“奇子集”的个数为个；

当子集中的奇数的个数为2个时，S的“奇子集”的个数为个；

当子集中的奇数的个数为3个时，S的“奇子集”的个数为个；

当子集中的奇数的个数为4个时，S的“奇子集”的个数为个；

故S的“奇子集”的个数为，

故答案为：162.

三、解答题

17．已知全集为，，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式得集合，根据补集运算得；

（2）求解集合，在根据交集运算得，由补集运算得.

【详解】（1）解：因为，解得或，则或，

从而.

（2）解：由题意可知或.

因此或，故.

18．命题甲：关于的不等式的解集是空集.命题乙：函数随着增大不增大.

(1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求的取值范围；

(2)求的取值范围，使命题甲是命题乙的必要条件.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求解命题甲为真，命题乙为真时的取值范围，再根据命题甲、命题乙中至少有一个真，即可得的取值范围；

（2）将命题甲是命题乙的必要条件转化成集合间的关系求解即可.

【详解】（1）解：若命题甲：“关于的不等式的解集是空集”为真，则，即或.

若命题乙：“函数随着增大不增大.”为真，则，故.

因此命题甲、命题乙中至少一真，则.

（2）解：命题甲是命题乙的必要条件，则命题乙是命题甲的充分条件.

记使命题乙成立的的取值范围为，则或

使命题甲成立的的取值范围为，则，从而.

因此满足条件的的取值范围.

19．某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中，）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.

(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

(2)设.当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

【答案】(1)；

(2)当促销费用投入2万元时，厂家利润最大.

【分析】（1）根据销售价、销售量、利润、成本之间的关系进行求解即可；

（2）根据基本不等式进行求解即可.

【详解】（1）由题意可知，，

将代入化简得；

（2）因为，

上式当且仅当，即时，取等号.

故当时，促销费用投入2万元时，厂家利润最大.

20．若集合是整数集的子集，且满足对任意的，总存在，使得，或者，则称集合具有性质.

(1)若，，判断，中哪个集合具有性质；

(2)已知集合具有性质且，求元素个数最少的集合；

(3)已知集合，具有性质，判断和是否具有性质，并说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)具有性质，不具有性质，理由见解析

【分析】对于(1)和(2)，结合集合新定义即可求解；(3)结合新定义，利用进行举例，即可求解.

【详解】（1）结合集合新定义可知，不具有性质，

具有性质.

（2）结合集合新定义可知，

已知，因此要么存在或者；

进一步存在或者或者或者；

进一步计算可得或者或者或者或者或者或者或者.

因此可得取是使得时，元素个数最少的集合.

（3）具有性质，不具有性质.

因为对任意的，则或者，

不妨设，故总存在，使得，或者，因此具有性质.

构造，都具有性质，但是不具有性质.

故具有性质，不具有性质.

21．给定无理数．若正整数，，，满足．

(1)试比较三数，，的大小；

(2)证明存在两组不完全相同的正整数a，b，c，d满足且；

(3)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立

①  ②  ③

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）由题得，再利用作差法比较得解；

（2）构造数列即得证；

（3）利用反证法证明，，①，.② ，两式相加即得证.

【详解】（1）解：由题得，所以.

.

.

所以.

（2）构造数列

对任意的，，

此时可取即可.

（3）利用反证法，假设都成立，

，

所以，

所以，

设，所以所以. ①

,

所以,

所以，

所以.②

①+②得矛盾.

所以三个不等式中至少有一个不成立