2025年上海市格致中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市格致中学高一上学期期中数学试卷及答案解析，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷）
一、填空题（本题共有12个小题，其中1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，满分42分）
1. 若，则的值为______.
2. =_____________（用分数指数幂表示）
3. 函数的图象恒过定点______.
4. 是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入）
5. 当时，的最小值为________．
6. 不等式的解集为______.
7. 设正实数满足，则__________．
8 若实数，满足，，则_______.
9. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______.
10. 若关于x的方程有实根，则实数a的取值范围为__________．
11. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是______．
12. 若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为______.
二、选择题（本题共有4个小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分）
13. 下列不等式成立的为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
14. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
15. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为 （ ）
A. 6B. 10C. 16D. 64
16. 设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤）
17. 已知幂函数经过点.
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围.
18. 已知集合或，.
（1）求；
（2）若，当时，求实数的取值范围；
（3）若，当时，求实数取值范围.
19. （1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围；
（2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”：
①题目：已知正实数，满足，求的最小值.
甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8.
②题目：已知正实数，满足，求的最大值.
乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时，
则，所以最大值为.
请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法.
20. 阅读：高中数学必修第一册29页——《韦达定理的证明》.
证明 因为一元二次方程的两个根为、，所以二次三项式可以因式分解为.由于，从而等式恒成立.由例5知，该等式两边的对应项系数应相等.因此，.深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题：
（1）写出一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程______；（整理成的形式）
（2）“若一元三次方程的三个实根为，，”，则______，______，______；
（3）已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围.（需要用到的公式提示：.
参考答案及解析：
格致中学 二〇二五学年度第一学期期中考试
高一年级数学试卷
（测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷）
一、填空题（本题共有12个小题，其中1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，满分42分）
1. 若，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】通过分情况讨论集合中元素与的相等关系，结合集合元素的互异性求解的值.
【详解】因为，所以分两种情况讨论：
若，解得，此时集合为，不满足元素的互异性，舍去.
若，解得，此时集合为，满足元素的互异性，符合条件.
故答案为：
2. =_____________（用分数指数幂表示）
【答案】.
【解析】
【分析】根据根式和分数指数幂的关系相互转化规则化简即可得出答案.
【详解】
故答案为：.
3. 函数的图象恒过定点______.
【答案】
【解析】
【分析】令的指数为，求出的值，再代入原函数解析式，可得出定点坐标.
【详解】对于函数，令可得，此时，
故函数的图象恒过定点.
故答案为：.
4. 是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入）
【答案】必要非充分
【解析】
【分析】通过分析两个条件之间的推出关系，判断充分必要条件.
【详解】若，则一定有，故“”能推出“”；
若，当时，不满足，故“”不能推出“”.
所以是的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分
5. 当时，的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为,
则 ，
当时，的最小值为5.
故答案为：5.
6. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】通过移项、通分将分式不等式转化为整式不等式，再根据零点分区间求解.
【详解】将不等式变形为，通分后得，即.
求解得或，所以不等式的解集为：.
故答案为：
7. 设正实数满足，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解.
【详解】由，得．
所以．
故答案为：
8 若实数，满足，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】通过对数的定义将、转化为对数形式，利用换底公式将分式转化为对数运算，再结合对数的运算法则求解.
【详解】由，得，故.
由，得，故.
因此，.
故答案：
9. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用韦达定理求、，再对分式不等式因式分解后用穿根法求解.
【详解】由不等式的解集为，可知1和2是方程的根.
根据韦达定理，，，解得，.
将、代入不等式，得即.
用穿根法分析： 根为，，，.
区间：整体为正，满足； 区间：整体为负，不满足；
区间：整体为正，满足； 区间：整体为负，不满足；
区间：整体为正，满足.
故解集为.
故答案为：
10. 若关于x的方程有实根，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
令，问题转化为关于的方程有正根，令，根据二次函数图象列式可解得结果.
【详解】令，则，，
因为关于x的方程有实根，所以关于的方程有正根，
令，
当，即时，根据二次函数的图象可知符合题意；
当，即时，有正根，符合题意；
当，即时，根据二次函数的图象可得，解得，
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：换元化为一元二次方程的根的问题，利用二次函数的图象求解是解题关键.
11. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即可.
【详解】设甲与乙的工人工作效率为，工作年限为，劳累程度为，劳动动机为，
对于①，，，，，，
，，
则，
，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
，，
则，
，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
，，
，所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
，，
，所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
12. 若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】通过分类讨论解绝对值不等式，结合整数解个数的边界分析，利用不等式的参数范围求解，
【详解】显然，
当时，由可得，
解得，所以
当时，由可得，
所以
当时，由可得，
解得，所以
综上：不等式的解集为
因为共有2025个整数解，所以，
解得，所以，
故这2025个整数解只能为254，255，…，2278，
所以，解得；
所以的取值范围是．
故答案为：
二、选择题（本题共有4个小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分）
13. 下列不等式成立的为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】应用特殊值计算判断A，B，C，应用不等式性质判断D.
【详解】对于A：当，则，A选项错误；
对于B：当，则，B选项错误；
对于C：当，，则，C选项错误；
对于D：当，则，D选项正确；
故选：D.
14. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D.
【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立；
对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立；
对于C，函数，，函数，；可能成立；
对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立．
故选：C．
15. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为 （ ）
A. 6B. 10C. 16D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合中元素个数，分类讨论集合的可能情况，统计符合条件的个数即可得解.
【详解】当时，，则，，与矛盾，所以；
设集合中元素的个数，
则集合中元素的个数，且，
由且，得，.
①当时，则，又，
所以，，满足题意.
②当时，则，，则，，又，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则，以上都满足题意.
③当时，即，则，，
但此时，与题干矛盾，所以不满足题意.
④当时，由且，得，，
又，与②同理可得不同集合的个数有4个，即不同集合的个数有4个.
⑤当时，由，则，又，
所以，，满足题意.
综上，满足条件的所有不同集合的个数为.
故选：B.
16. 设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为“恒成立”，然后根据的正负分类讨论，结合基本不等式求得最值，进而求得的取值范围.
【详解】因为恒成立，所以恒成立，
当时，只需，
因为，
当且仅当，即时取得最小值为，
所以，所以；
当时，只需，
因为
，
当且仅当，即时取得最大值为，
所以，所以，
综上所述，，
故选：A.
三、解答题（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤）
17. 已知幂函数经过点.
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围.
【答案】（1），定义域为
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，求出的值，即可求出函数解析式及定义域；
（2）首先判断函数的单调性，即可得到，解得即可.
【小问1详解】
幂函数经过点，
，即，解得，
；
因为，所以的定义域为.
【小问2详解】
由于函数在其定义域上单调递减，
又因为点，点在此幂函数的图象上，且满足，
可得，解得，
所以.
18. 已知集合或，.
（1）求；
（2）若，当时，求实数的取值范围；
（3）若，当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）直接根据补集定义求解；
（2）分、、三种情况讨论集合的范围，结合子集关系求解；
（3）分和两种情况，结合交集为空的条件求解.
【小问1详解】
因为，，所以.
【小问2详解】
当时，，满足；
当时，，由得，解得；
当时，，由得，解得.
综上，实数的取值范围是.
【小问3详解】
当时，，解得；
当时，，由得或，即或.
结合，得或.
综上，实数的取值范围是.
19. （1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围；
（2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”：
①题目：已知正实数，满足，求的最小值.
甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8.
②题目：已知正实数，满足，求的最大值.
乙解法：由，当且仅当时取等号，此时，
则，所以的最大值为.
请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法.
【答案】（1）；（2）①甲两次均值不等式等号条件不一致，正确最小值为；②乙误用均值不等式，正确最大值为.
【解析】
【分析】（1）通过构造“1”的代换结合均值不等式求最值，再解不等式得参数范围；
（2）分析均值不等式等号条件的一致性，给出正确求解过程.
【详解】（1）因为正实数，满足，则.
，
当且仅当即时取等号.
由恒成立，得，即，解得.
（2）①甲的错误：两次使用均值不等式时，等号成立条件不同，
第一次需，第二次需，无法同时满足.
正确解法：由，，
当且仅当时取等号，故最小值为.
②乙的错误：误用均值不等式（应针对和使用，而非和）.
正确解法：由，，
当且仅当即，时取等号，故最大值为.
20. 阅读：高中数学必修第一册29页——《韦达定理的证明》.
证明 因为一元二次方程的两个根为、，所以二次三项式可以因式分解为.由于，从而等式恒成立.由例5知，该等式两边的对应项系数应相等.因此，.深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题：
（1）写出一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程______；（整理成的形式）
（2）“若一元三次方程的三个实根为，，”，则______，______，______；
（3）已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围.（需要用到的公式提示：
【答案】（1）(答案不唯一)；
（2），，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用因式分解直接构造含指定根的一元三次方程；
（2）类比二次韦达定理的推导思路，推导三次方程的根与系数关系；
（3）构造三次方程并因式分解，结合二次方程实根的判别条件和根的和的性质求解取值范围.
【小问1详解】
根据根与方程的因式分解关系，
三个根为1，2，3的一元三次方程可写为，
展开整理得.
【小问2详解】
对一元三次方程，
将其因式分解为，
展开得，
比较各项系数，
可得，，.
【小问3详解】
设长方体的长、宽、高为、、，
由题意得，，.
构造一元三次方程，易知是其根，
，
故方程可分解为.
对于二次方程，
需满足判别式且两根之和，解得，
即实数的取值范围为.
韦达定理 若一元二次方程的两个根为、.则，.
韦达定理 若一元二次方程的两个根为、.则，.