2024-2025学年上海市格致中学高一（上）数学期末试卷+答案

这是一份2024-2025学年上海市格致中学高一（上）数学期末试卷+答案，共10页。试卷主要包含了01，； 2，A； 14，证明略等内容，欢迎下载使用。
一、填空题：（本大题共12小题，第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分）
1．已知全集，，则________．
2．不等式的解集为________．
3．若指数函数的图像经过点，则________．
4．弧长为，半径为10的扇形的面积为________．
5．已知，则方程的解为________．
6．设，．若函数是定义在上的奇函数，则________．
7．已知实数满足，则的最小值为________．
8．已知，则实数的取值范围是________．
9．关于的方程在上有解，则实数的取值范围
为________．
10．已知为实数，，，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为________．
11．已知，，，.
若，则的最小值为________．
12．设且，函数、的定义域都是，且满足，（其中表示最小值）．记函数的值域为，若集合中仅有四个元素，则实数的取值范围为________．
二、选择题：（第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分）
13．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ）
A． B． C．D．
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于函数在上的零点的说法正确的是（ ）
A．有4个零点，其中只有一个零点在区间上
B．有4个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上
C．有5个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间上
D．有5个零点，都不在区间上
16．设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题：（本题共有5大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤）
17．（本题满分6分）
设，证明：若是奇数，则也是奇数．
18．（本题满分6分）
已知及是关于的方程的两个实根，求的值．
19．（本题共2小题，每小题4分，满分8分）
已知常数，函数的表达式为．
（1）证明：函数是奇函数；
（2）若函数在区间上的最大值为2，求实数的值．
20．（本题共2小题，第1小题4分，第2小题6分，满分10分）
某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元．
（1）请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式；
（2）已知乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竟标成功，求实数的取值范围．
21．（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分，满分14分）
已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：甲变换：；乙变换：，其中为大于0的常数．
（1）若，，经甲变换得到，求方程的解；
（2）若，经乙变换得到，求不等式的解集；
（3）若函数在上是严格增函数．将先进行甲变换得到，再将进行乙变换得到；将先进行乙变换得到，再将进行甲变换得到．若恒成立，求证：函数在．上是严格增函数．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.；8.； 9.； 10.； 11.； 12. .
11.已知，，，.
若，则的最小值为________．
【答案】8
【解析】因为，
则方程与有相同的解，不妨设为，则，故，即，整理得.
因为，所以
，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为8．故答案为：8.
二、选择题
13.A； 14.C； 15.D； 16.C
15.．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于函数在上的零点的说法正确的是（ ）
A．有4个零点，其中只有一个零点在区间上
B．有4个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上
C．有5个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间上
D．有5个零点，都不在区间上
【答案】D
【解析】函数是定义在上的奇函数，且当时，．
可知是函数的零点，并且，，所以函数在时有两个零点，函数是奇函数，可知时，有两个零点，函数共有5个零点，如图：
可知选项A/B/C均不正确．选项D正确．故选D．
16.设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知函数在定义域内单调递增，且，
因为，
所以，且，即，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以.
当时，无解；当时，有四个整数解，由图得．故答案为C．
三、解答题
17.证明略.
18..
19.（1）证明略；（2）.
20.某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元．
（1）请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式；
（2）已知乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竟标成功，求实数的取值范围
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由题意可得：
甲队的报价为元，，
（2）乙队给出的整体报价为元，若乙队要确保竞标成功，
则恒成立，
，设，
则，又在为增函数，
则，则，即，又，则，
即实数的取值范围是．故答案为：．
21.已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：甲变换：；乙变换：，其中为大于0的常数．
（1）若，，经甲变换得到，求方程的解；
（2）若，经乙变换得到，求不等式的解集；
（3）若函数在上是严格增函数．将先进行甲变换得到，再将进行乙变换得到；将先进行乙变换得到，再将进行甲变换得到．若恒成立，求证：函数在上是严格增函数．
【答案】（1）2；（2）；（3）见解析
【解析】（1）∵为做甲变换后的结果，，
解得．
（2）∵为做乙变换后的结果，
当时，恒成立；
当时，，解得或
综上所述：不等式的解集为；
（3）证明：先做变换后得到再做变换后得到，
先做乙变换后得到再做甲变换后得到，
对恒成立，∴函数在上单调递增．