北京市清华大学附属中学高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市清华大学附属中学高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了 已知，则与反向的单位向量为， 在中，，，，则的面积为， 已知数列的前项和为，且，则， 已知数列满足，，则等内容，欢迎下载使用。
（高24级）2025.4
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知函数，则在上的平均变化率为（ ）
A. 1B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义求解即可.
【详解】由题设在上的平均变化率为.
故选：A
2. 已知，则与反向的单位向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据单位向量的定义及已知有与反向的单位向量为，即可得.
【详解】与反向的单位向量为.
故选：C
3. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设.
故选：D
4. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. 16B. 17C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知分别求出，进而可得，即可得.
【详解】由题设，
又，，则，
所以.
故选：B
5. 已知函数，“为奇函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据正余弦函数奇偶性及充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】若为奇函数，则，充分性不成立，
若，则为奇函数，必要性成立，
所以“为奇函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知得到数列的周期为4，应用周期性求项.
【详解】由题设，，，，，
所以数列的周期为4，且，
所以.
故选：C
7. 经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设函数，代入数据计算即可.
【详解】由题意，当时，，
当时，，则，
则，即.
故选：A.
8. 在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，画出和边长，以为圆心，为半径作圆与边有两个交点时即可求出的取值范围.
【详解】根据题意如下图所示：

易知当时，，若满足条件的三角形只有一个；
由题可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点时，即图中两点满足题意；
所以可得，即；
即的取值范围是.
故选：C
9. 已知正方形边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】应用向量数量积的运算律得到，若且，数形结合求得，即可得.
【详解】由，
若且，则，且，，
又，且，
所以
，
当时，，
所以.
故选：C
10. 在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足：
①，且；
②，有．
则该数表中的10个数之和的最小值为（ ）
A. 26B. 22C. 20D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的信息，确定第一行各数取的最小值，第二行各数取的最小值，再求和即可得总和最小值.
【详解】由，且，不妨令，则，
由，，得，同时成立，
同时成立，同时成立，
则，；
由，，得，同时成立，
同时成立，同时成立，
则，，
因此，
所以该数表中的10个数之和的最小值为22.
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题，共5道小题，每小题5分，共25分．
11. 曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
详解】解：，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
12. 能说明命题“若为第一象限角，，则”为假命题的一组的值为______．
【答案】，（答案不唯一）
【解析】
【分析】写出一组满足要求的角，并比较它们函数值大小有，即可得.
【详解】当且都是第一象限角，而，原命题为假命题.
故答案为：，（答案不唯一）
13. 在中，点在边上，，为边的中点，，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知及数形结合用表示出，即可得.
【详解】由，
又，则，.
故答案为：，

14. 在平面直角坐标系中，已知点，点在函数的图象上．
①若，则点的坐标为______；
②的取值范围为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】令，应用向量数量积的坐标表示列方程求坐标，由，讨论、求范围即可.
【详解】令，且，则，，
由，则，故，
由上，则，
当时，且，
则，，则，则；
当时，且，
则，，则，则；
所以.
故答案为：；
15. 已知数列为无穷项等比数列，为其前项和，，有下面四个结论：
①；
②
③对于任意的，
④存在正数，满足，使得恒成立
其中正确结论的序号为______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据等比数列的前n项和公式及已知得到，，再依次判断各项的正误即可.
【详解】若的公比为，而，易知，
若，，故，
当，则，此时，显然无解；
当，则，此时，可得；
当，则，此时，可得；
当，则，此时，显然无解；
若，则，显然不成立；
综上，，，故不一定成立，①错；
若，则，满足前提，②对；
由，而，，
当，则为奇数时，，
为偶数时，，所以；
当，则恒成立，即，
综上，，③对；
由，其中，
当，则，此时，且；
当，为奇数时，，为偶数时，，
此时且，
综上，存在正数，满足，使得恒成立，④对.
故答案为：②③④
三、解答题，共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. （1）在中，，求
（2）在等比数列中，前项和为，，，求公比
（3）已知，．
①若，则______；
②若，则______．
【答案】（1）；（2）或1 ；（3）①2；②0或2
【解析】
【分析】（1）应用余弦边角关系求角的余弦值，即可得大小；
（2）由等比数列的通项公式列方程求公比；
（3）根据向量平行、垂直的坐标表示列方程求参数.
【详解】（1）由题设知，则，
又，故；
（2）由，整理得，可得或；
（3）若，则；
若，而，则，
所以或2.
17. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量计算可求解公差，进而可求通项.
（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.
【小问1详解】
，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
【小问2详解】
，因此
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的对称轴；
（3）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代值计算可得出的值；
（2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程；
（3）由可得，由可得出，由已知条件可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，
则.
【小问2详解】
.
由可得，
所以，函数的对称轴方程为.
【小问3详解】
由，可得，
当时，，
因为方程在区间上恰有一个解，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
19. 在中，，.
（1）求的大小；
（2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
（3）如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）游击手不能接到球，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正余弦定理分析求解；
（2）对于①：在，利用余弦定理求得，进而可得面积；对于②：根据（1）中边的关系分析可得，进而可得面积；对于③：根据（1）中边的关系分析判断；
（3）根据题意结合分析可得，进而可得结果.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
又因为，
由余弦定理可得，
即，则，所以.
【小问2详解】
对于①：AB边上的中线长为，
在，由余弦定理得
即，解得，
则，
所以的面积为；
对于②：因为，解得，
则，
所以的面积为；
对于③：若，这与相矛盾，不合题意；
【小问3详解】
游击手不能接到球，理由如下：
由题意可知：，则，
因为，
即，可得，所以游击手不能接到球.
20. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若，，直接写出实数的取值范围；
（3）记坐标原点为，实数，点为图象上一点，函数的图象为直线．若，，求证：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由已知，代入自变量列方程求参数值；
（2）由题设、fm−1fm+1=(m+1)m(m−1)2(m−2)(m−3)>0求解集，即可得；
（3）令，易得，则gx1>fx1=gx2，结合的区间单调性即可证.
【小问1详解】
因为，且，
所以，解得；
【小问2详解】
由，则，
所以或，
fm−1fm+1=(m+1)m(m−1)2(m−2)(m−3)>0，
所以或或或，
综上，实数的取值范围为；
【小问3详解】
由题意及（2）知且ftt>0，构造函数
，
因为，，所以，．
若，，所以，gx1>fx1=gx2，
又在单调递增，所以．
21. 已知为无穷项整数数列，若对于任意的，，存在，，使得成立，称具有性质．
（1）分别判断下面两个数列是否具有性质，并说明理由；
①；②；
（2）已知具有性质，若，且对于任意的，恒成立，求证：；
（3）已知具有性质，当时，；且对于任意的，，，均不成等差数列．记，求证：存在，，使得且，，，成等差数列．
【答案】（1）①具有性质；②不具有性质，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题设性质的定义判断即可；
（2）根据性质P及反证思想证明即可；
（3）先证命题，，且，结合该命题及性质P、反证思想证不递减，得，，数列的各项均在中，再证，若，，，，则不在中，进而证结论.
【小问1详解】
①，是，
此时．
因此，，取，即可．
②，否，
取，，，无解．
【小问2详解】
先证：，，若，取，．
存在，使得，与恒成立，矛盾！
反证：若，则，
取，，存在，使得，此时，
再取，，存在，使得．
由已证得证，，矛盾！故．
【小问3详解】
补充命题：若，，
则，，①，且，
，1时，易见，，．
使用数学归纳法，设已有存在且满足①，
由性质P知，存在，使得，
，
令，即且，得证．
回归本题：先证不递减，
若递减，记，，
取，，存在，使得，
，，非等差，
，，
又递减，
所以，，但为正整数，矛盾！
，（不递减，见补充命题），则数列的各项均在中，
故，使得（证下式min中非定值），
令c=minaj−ai:j>i,aj>ai>0．
此时使得且，，，均在中．
，若，，，，则不在中，（*）
若不然，设，记，，．
由补充命题知，．
若，又，但，与定义矛盾．
若，又，但，与定义矛盾．
由反证法知命题（*）成立．
于是中正项仅可能为1，2，3，，，，，，
即从某项开坮，中正项为以为公差的等差数列．