北京市北京大学附属中学元培学院高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市北京大学附属中学元培学院高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了11， 函数的定义域为， 比较，，的大小关系，结果为， 下列函数中，在上单调递增的是， 下列区间中包含函数的零点的是等内容，欢迎下载使用。
2024.11
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：A.
2. 角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（ ）
A. ，第一象限B. ，第一象限
C. ，第二象限D. ，第二象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用角度与弧度的互化以及象限角的定义判断即可.
【详解】因为，且，
因为为第二象限角，故为第二象限角，
故选：D.
3. 比较，，的大小关系，结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数的性质，在中插入中间值进行比较.
【详解】根据指数函数的值域，，
由指数函数单调性，是增函数，故，故；
由对数函数单调性，是减函数，
故，
于是，即.
故选：B.
4. “是第一或第二象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若是第一或第二象限角，不妨取，则，
即“是第一或第二象限角”“”；
若，不妨取，则，但既不是第一象限角，也不是第二象限角，
即“是第一或第二象限角”“”.
因此，“是第一或第二象限角”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可.
【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；
对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，B不是；
对于C，函数在上单调递增，C是；
对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，D不是.
故选：C
6. 割圆术是极限思想在古代数学中的呈现．直观地讲，就是将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形，当很大时，认为等腰三角形的面积之和充分接近于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将一个圆等分成个扇形，每个扇形的圆心角度数为，利用这个扇形对应的等腰三角形面积之和近似等于圆的面积，可得出的表达式，即可得解.
【详解】设圆的半径为，如下图所示：
将一个圆等分成个扇形，每个扇形的圆心角度数为，
因为这个扇形对应的等腰三角形面积之和近似等于圆的面积，
所以，，解得，
故选：B.
7. 关于函数的性质，下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数，且曲线存在对称轴
B. 在上是增函数，且曲线存在对称中心
C. 在上是减函数，且曲线存在对称轴
D. 在上是减函数，且曲线存在对称中心
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数的单调性与奇偶性，可得出结论.
【详解】对于函数，由可得，解得，
即函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
设，
因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数，
故函数在上是增函数，故函数不存在对称轴，且该函数的图象关于原点对称，
故选：B.
8. 下列区间中包含函数的零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】设，则该函数的定义域为，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上也为增函数，
因为，，
，，，
，则，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
9. 函数的图象与水平直线交于不同两点，则两交点的横坐标之和（ ）
A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既无最大值，也无最小值
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知，，不妨设函数的图象与水平直线的两个交点的横坐标分别为、，可得出，，结合基本不等式可得出结论.
【详解】由，若，可得，解得，不合乎题意，
所以，，不妨设函数的图象与水平直线的两个交点的横坐标分别为、，
由，可得，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
但，故等号不成立，即，故既不存在最小值，也不存在最大值，
故选：D.
10. 在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（ ）
①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢；
②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍；
③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取）
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ①
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性与增长速度可判断①；利用对数的运算性质可判断②③.
【详解】对于①，因为对数函数为增函数，且，
由对数函数的单调性可知，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢，①对；
对于②，由，
即令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍，②对；
对于③，由
，
由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，
则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约，③错.
故选：A.
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 若为第四象限角，且，则________ .
【答案】
【解析】
【分析】
结合同角的基本求法即可求解
【详解】由，解得，又为第四象限角，所以
故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，属于基础题
12. 偶函数在上满足，则当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数定义求出函数解析式.
【详解】偶函数在上满足，
当时，，所以.
故答案为：
13. 已知，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】在同一坐标系内作出函数的图象，利用图象求解不等式的解集.
【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图，
观察图象知，当或时，，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14. 老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质．
甲：对于，都有；
乙：函数在上是减函数；
丙：函数在上是增函数；
丁：不是函数的最小值．
如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】分析出若甲的说法正确，则丙的说法错误，乙丁的说法正确，可选择合适的函数；根据乙丙丁的说法正确，甲的说法正确可选择合适的函数.
【详解】若甲的说法正确，则函数的图象关于直线对称，
则函数在上不单调，即丙的说法错误，
乙丁的说法正确，可取；
若乙丙丁的说法正确，甲的说法错误，可取fx=−x,x≤0x-1,x>0.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 地铁某换乘站设有编号为、、、、的五个安全出口．若同时开放其中两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是______．
【答案】
【解析】
【分析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号.
【详解】同时开放，需要；同时开放，需要，则疏散比快，
同时开放，需要；同时开放，需要，则疏散比快，
同时开放，需要；同时开放，需要，则疏散比快，
同时开放，需要；同时开放，需要，则疏散比快，
所以疏散最快.
故答案为：
三、解答题共5小题，每小题10分，共50分．
16. 求不等式的解集．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次不等式的解法可得出原不等式的解集；
（2）分、两种情况解原不等式即可得解；
（3）由所求不等式变形得出，由正弦函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.
【小问1详解】
由可得，解得，
故原不等式的解集为.
【小问2详解】
对于不等式，
当时，即当时，原不等式恒成立；
当时，即当时，由可得，
可得，解得或，此时，或，
因此，原不等式的解集为.
【小问3详解】
由可得，
可得，解得，
因此，原不等式的解集为.
17. 已知．
（1）若对一切有，且，求、的值；
（2）令．
①直接写出的值域：______；（用含的式子表示）
②若函数的值域与的值域相同，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）分析可知，函数的图象关于直线对称，且，据此可求得实数、的值；
（2）①根据二次函数的基本性质可得出函数的值域；②令，则，分、两种情况讨论，结合二次函数的基本性质求出函数在上的值域，结合题意可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
对任意的有，则函数的图象关于直线对称，
则，解得，所以，，
又因为，解得，因此，，.
【小问2详解】
①当时，，
当且仅当时，函数取最小值，故函数的值域为；
②令，则，且二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，此时函数的值域与的值域相同，合乎题意；
当时，即当时，函数在上单调递增，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
18. 已知幂函数在定义域上不单调．
（1）求函数的解析式；
（2）函数是否具有奇偶性？请说明理由；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）奇函数，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解.
（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【小问1详解】
由幂函数，得，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
【小问3详解】
由及为奇函数，
得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.
19. 随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习已知前四年，平台会员的个数如图所示：
（1）依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数千人，并求出你选择模型的解析式；①②且，③且.
（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.
【答案】（1）选择③且，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图形的单调性，再结合三种函数模型的图形特点，即可判断；
（2）问题转化为对任意均成立，分离参数求最值即可.
【小问1详解】
从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是，
函数增长的速度越来越快不选，
选择③且，
代入表格中的三个点可得：，
解得：，将代入符合，
；
【小问2详解】
由可知：，
故不等式对且恒成立，
对且恒成立，
令，则，
在单调递增，，
的最小值为.
20. 对定义域为函数，若存在使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点；若存在使得，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点．
（1）判断函数在上是否有稳定点（直接写出结论）；
①______；②______．
（2）概念举例：写出满足下列要求一个函数（直接写出结论）；
①不是且有无穷多个不动点：______；
②有无穷多个稳定点，且这些稳定点不都是不动点：______．
（3）已知在上有且仅有个一阶不动点．
①求实数的取值范围；
②在上有几个稳定点？并说明理由．
【答案】（1）①没有；②有.
（2）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）.
（3）①；②个，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“稳定点”的定义列方程，解对应方程判断即可得出结论；
（2）对于①，取，其中为不超过的最大整数；对于②，取.集合稳定点和不动点的定义验证即可；
（3）①由，令，可得出，设，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
②分析函数在区间上的单调性，设函数在上的一个稳定点为，即，对与的大小进行分类讨论，可得出，即可得出结论.
【小问1详解】
对于①，由可得该方程无解，即函数没有“稳定点”；
对于②，由可得，解得或，即函数有“稳定点”.
【小问2详解】
对于①，可取，其中为不超过的最大整数，
当时，，此时，函数有无穷多个不动点；
对于②，可取，则当时，因为，则函数有无穷多个稳定点，
由可得，解得，
所以，当时，为函数的稳定点，但不是不动点.
【小问3详解】
当时，由可得，
令，可得，可得，
则关于的方程在上有且只有一个实根，
设，则函数在上单调递增，
所以，，解得，
因此，实数取值范围是；
②因为，则，必有，
令，，
则内层函数在上单调递增，
因为外层函数为增函数，故函数在上增函数，
不妨设函数在上的一个稳定点为，即.
若，则，矛盾；
若，则，矛盾.
故必有，即函数的稳定点必为该函数的不动点.
因为函数在区间上只有一个不动点，
因此，函数在上有且只有一个稳定点.
安全出口编号
、
、
、
、
、
疏散乘客时间（s）
160
140
220
200
120