北京市人大附中石景山学校高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市人大附中石景山学校高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟 满分100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 化简后等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得.
【详解】.
故选：C
2. 与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果.
【详解】因为，所以与角终边相同的角是，
故选：D.
3. 已知向量，. 若，则实数（ ）
A. B. 9C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，即.
故选：A.
4. 若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由扇形面积及弧长公式可得答案.
【详解】设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为，弧长为.
由题可得：.
故选：A
5. 要得到函数的图象，只需将函数（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：，
将函数的图象上所有的点向左平移个单位，即可得到函数的图象．
故选：A．
6. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知中函数的部分图象，求出满足条件的值，可得答案．
【详解】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故，
，故，解得，
故.
将代入可得：，
则，解得.
∵，∴，
​​​​​​​∴.
​故选:B.
7. 在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】如图所示，根据平面向量的运算法则，可得
.
故选：B．
8. 若是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得.
【详解】如图作，设，，
由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形，
因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；
又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等，
故也不一定成立，即必要性不成立.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
9. 若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将平移变换后的函数图象求出来，再由奇函数列出等式求解即可.
【详解】函数的图象向左平移个单位后得到，
因为平移后的函数是奇函数，
所以，
解得，因为，
所以当时，.
故选：D.
10. 古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.
二、填空题（共5小题，每小题2分，共20分）
11. 化简_______．
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式即可求解.
【详解】，
故答案为：
12. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________.
【答案】2
【解析】
【分析】由图得，根据向量与共线，结合共线向量基本定理设，即可解得实数的值.
详解】由图可知，，
因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：，
即，则，
所以，解得.
故答案为：2.
13. 已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则______，______（答案用含，的式子表示）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对于，在中运用向量加法法则计算即可；对于，先利用共线定理确定与关系即可根据几何图形边的关系即可求解.
【详解】由题；
设，
因为,
因为三点共线，
所以，
所以.
故答案为：；.
14. 已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________．
【答案】（不唯一）
【解析】
【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】由，
因为在区间上单调递减，且，
所以有，
因此的一个取值可以为，
故答案为：
15. 水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时，经过秒后，水车旋转到点.
给出下列结论：

①在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒；
②当时，点距水面的最大距离为米；
③当秒时，；
其中所有正确结论的序号是_____________.
【答案】①③
【解析】
【分析】设经过秒后，点的高度为，根据题意求出，得，由可得，①正确；由，得②错误；根据秒时，，为正三角形，可得③正确.
【详解】设经过秒后，点的高度为，
则，解得，，
因为水轮每分钟转动1圈，所以，
所以，
由，得，因为，所以，
所以.
对于①，由，得，
得，，得，，
又因为，所以，，
所以在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒.
故①正确；
对于②，，故②错误；
对于③，当秒时，，又，
所以为正三角形，所以米，故③正确.
故答案为：①③.
三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）
16. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数定义即可求得.
（2）利用诱导公式化简，再弦化切即可求得结果.
【小问1详解】
因为的横坐标为，且圆为单位圆，所以的纵坐标为，
由三角函数定义，
【小问2详解】
17. 已知两个非零向量与不共线.
（1）若，求证：三点共线；
（2）试确定实数，使和共线.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论；
（2）利用共线定理构造方程组即可解得.
【小问1详解】
由可得；
显然，即共线，
又因为它们有公共点，
所以可得三点共线；
【小问2详解】
若和共线，且向量与不共线，
则存在实数满足，因此，
解得；
即存在，使和共线.
18. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调递增区间和在上的值域.
【答案】（1）
（2）单调递增区间是，值域为.
【解析】
【分析】（1）根据最值可得，，由周期可得，代入点即可得；
（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数性质求单调区间和值域.
【小问1详解】
观察函数图象可知：，解得，，
因为，且函数的最小正周期，解得，
可得，
又因为，
即，则，解得
又因为，则，
所以的解析式为.
【小问2详解】
将的图象上的点先向右平移个单位长度，可得，
再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），可得，
令，解得，
所以的单调递增区间是.
因为，所以，
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值；
所以在上的值域为.
19. 如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．

（1）当时，用向量表示，；
（2）证明：为定值．
【答案】（1），；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由是的中线和向量加法的平行四边形法则得到，再由表示出；
（2）由得到，又由、、三点共线，得到，从而表示出，因为，不共线，所以系数相等，得到的关系.
【小问1详解】
因为点是的中点，所以是的中线，所以，
当时，；
【小问2详解】
由（1）知，所以，
因为、、三点共线，所以，
所以，
由已知，，所以，
所以，
因为，不共线，所以，即，消去整理可得，
所以定值.
【点睛】方法点睛：两直线交点在向量中的应用
本题中，点为直线和的交点，
所以、、三点共线，；、、三点共线，.
20. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离是，再从如下的条件Ⅰ、条件Ⅱ、条件Ⅲ中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定解析式；
（2）求单调增区间；
（3）若图象的对称轴只有一个落在区间上，求a的取值范围．
条件Ⅰ：的最小值为；
条件Ⅱ：图象的一个对称中心为；
条件Ⅲ：的图象经过点．
【答案】（1）
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的最小正周期，求得的值，选择Ⅰ、Ⅱ，求出值，由条件Ⅱ得关于的等式结合的取值范围，求得的值，即可得函数的解析式；选择Ⅰ、Ⅲ，求出值，由已知条件得，由的范围，得的值，即可得函数的解析式；选择Ⅱ、Ⅲ，由条件Ⅱ得出关于的等式结合的取值范围，求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出值，即可得函数的解析式.
（2）利用正弦函数单调性列出不等式，求解得单调增区间.
（3）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
由函数图象上相邻两条对称轴间的距离为，得其最小正周期，
解得，此时，
选条件Ⅰ、Ⅱ；由，得，
由图象的一个对称中心为，得，
而，则，，所以.
选条件Ⅰ、Ⅲ：由，得，
由函数的图象过点，得，即，
由，得，则，解得，
所以.
选条件Ⅱ、Ⅲ：由图象的一个对称中心为，得，
而，则，，因此，
由函数的图象过点，得，即，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
由，解得，
所以单调增区间是.
【小问3详解】
由（1）知，，当时，，
由图象的对称轴只有一条落在区间上，得，解得，
所以的取值范围为.