北京市清华大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份北京市清华大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了 已知，则与反向的单位向量为， 在中，，，，则的面积为， 已知数列的前项和为，且，则， 已知数列满足，，则等内容，欢迎下载使用。
（高24级）2025.4
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知函数，则在上的平均变化率为（ ）
A. 1B. C. 3D. 4
2. 已知，则与反向的单位向量为（ ）
A. B.
C. D.
3. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. 6B. C. 3D.
4. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. 16B. 17C. 20D. 21
5. 已知函数，“为奇函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
7. 经研究表明，糖块溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 6
10. 在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足：
①，且；
②，有．
则该数表中的10个数之和的最小值为（ ）
A. 26B. 22C. 20D. 0
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题，共5道小题，每小题5分，共25分．
11. 曲线在点处切线方程为___________.
12. 能说明命题“若为第一象限角，，则”为假命题的一组的值为______．
13. 在中，点在边上，，为边中点，，则______，______．
14. 在平面直角坐标系中，已知点，点在函数的图象上．
①若，则点的坐标为______；
②取值范围为______．
15. 已知数列为无穷项等比数列，为其前项和，，有下面四个结论：
①；
②
③对于任意的，
④存在正数，满足，使得恒成立
其中正确结论的序号为______．
三、解答题，共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. （1）在中，，求
（2）在等比数列中，前项和为，，，求公比
（3）已知，．
①若，则______；
②若，则______．
17. 已知等差数列公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的对称轴；
（3）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.
19. 在中，，.
（1）求的大小；
（2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
（3）如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
20. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若，，直接写出实数的取值范围；
（3）记坐标原点为，实数，点为图象上一点，函数的图象为直线．若，，求证：．
21. 已知为无穷项整数数列，若对于任意的，，存在，，使得成立，称具有性质．
（1）分别判断下面两个数列是否具有性质，并说明理由；
①；②；
（2）已知具有性质，若，且对于任意的，恒成立，求证：；
（3）已知具有性质，当时，；且对于任意的，，，均不成等差数列．记，求证：存在，，使得且，，，成等差数列．