北京市首都师范大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市首都师范大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版）-A4，共20页。
第Ⅰ卷（共56分）
一、选择题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
2. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性、单调性逐项分析判断.
【详解】对于A，函数定义域为，不具奇偶性，A不；
对于B，，B不是；
对于C，函数在上单调递减，C不是；
对于D，函数定义域为，，
函数是偶函数，当时，在上单调递增，D是.
故选：D
3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.
【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，
而，
所以的零点在区间内.
故选：A
4. 设是不共线的两个向量，已知，，则
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，由共线向量基本定理得答案.
【详解】，，
，
三点共线.
故选D
【点睛】本题考查向量的加法、减法法则，考查平面向量共线的条件，是基础题.
5. 函数可以由经过变换得到，则变换方式正确的是（ ）
A. 的纵坐标不变；横坐标伸长为原来的3倍，再向右平移个单位
B. 的纵坐标不变，模坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
C. 向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍
D. 向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
【答案】D
【解析】
【分析】根据选项，利用三角函数平移变换的性质依次求出解析式即可得解.
【详解】对选项A，的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，得到，
再向右平移个单位，得到，故A错误；
对选项B，的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到，
再向右平移个单位，得到，故B错误.
对选项C，的图象向右平移个单位，得到，
再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，得到，故C错误；
对选项D，的图象向右平移个单位，得到，
再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到，故D正确.
故选：D.
6. 以下命题正确的是（ ）
A. 都是第一象限角，若，则
B. 都是第二象限角，若，则
C. 都是第三象限角，若，则
D. 都是第四象限角，若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据角所在象限，应用对应函数线的大小关系判断各项正误.
【详解】A：都是第一象限角，如下图单位圆中，
此时，错；

B：都是第二象限角，如下图单位圆中，
此时，错；

C：都是第三象限角，如下图单位圆中，
此时，错；

D：都是第四象限角，如下图单位圆中，
此时，对.

故选：D
7. 已知，，则实数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.
【详解】依题意，，
因此实数的大小关系是.
故选：B
8. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质逐项判断.
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于C，由，得，，C正确；
对于B，由，，因此，B错误；
对于D，由，得，，D错误.
故选：C
9. 已知函数.若恒成立，则的取值可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可.
【详解】当时，不等式，
依题意，恒成立，而当时，，
当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是.
故选：D
10. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理选择和作为一组基底，表示出，根据列出方程组即可求解.
【详解】由已知可得
,
由图可知,所以，解得,
所以，
故选：.
11. 在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据平面向量的运算可得，从而可得；若为直角三角形，不一定有，根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】设，则，
所以即为，
所以是边上的高，即,即,
故为直角三角形.
若为直角三角形，不一定有，故不一定有.
所以“对于任意，”是“为直角三角形”的充分而不必要条件.
故选:A.
12. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定的模型，结合对数运算计算得解.
【详解】依题意，（）.
故选：A
13. 设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合增函数的定义判断得解.
【详解】函数在上是增函数，则且，都有，必要性成立；
取函数，区间，
显然且，都有，而函数在上不单调，充分性不成立，
所以“且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件.
故选：B
14. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解.
【详解】因为，当时，，易知在区间上单调递增，且，
当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
图象如图所示，由，得到或（舍），
又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，，
所以选项A，B和C错误，选项D正确，
故选：D.
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用基本函数的图象与性质，求作出的图象，再数形结合，即可求解.
第Ⅱ卷（共94分）
二、填空题共8小题，每小题4分，共32分.
15. 求值：______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式可得出所求代数式值.
【详解】.
故答案为：.
16. 已知向量，，若，则向量的模为______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示得到，然后根据向量模的定义求出向量的模.
【详解】∵，∴，解得，
∴，∴.
故答案为10
【点睛】本题考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型．
17. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于______
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且，
由三角函数的定义可得，则，
整理可得，解得或（舍）.
故答案为：.
18. 若为第二象限角，且，______
【答案】##
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为为第二象限角，且，则，
因此，.
故答案为：.
19. 已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数是__________________.
【答案】（答案不唯一，，满足时，或时，即可）
【解析】
【分析】令，根据条件，先假设在区间内有零点，利用二次函数根的分布，建立的不等关系，通过取值，即可求解.
【详解】令，由得到，
当时，假设在区间内有零点，则有①，
不妨取，显然满足①式，此时，
令，得到，
所以，满足，但在区间内有零点，故满足题意，
当时，假设在区间内有零点，则有②，
不妨取，显然满足②式，此时，
令，得到，
所以，满足，但在区间内有零点，故满足题意，
故答案为：（答案不唯一，，满足时，或时，即可）.
20. 已知的图象经过点，则__________；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据条件，代入即可求解，再利用方程有解的条件及根与系数的关系，即可求解出实数的取值范围.
【详解】由题知，得到，
所以，又方程有两个不等实数根，
则，又，得到，得到，
由，得到或，所以，
故答案为：；.
21. 已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式.
【详解】观察图象知，奇函数在上单调递增，则在上单调递增，且，
不等式，当时，不等式成立；
当时，，解得；
当时，，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
22. 函数，其中表示不超过a的最大整数．给出下列四个结论：
①的定义域为；
②方程没有实数根；
③函数的值域为；
④存在实数，使得当且时，都有．
其中所有正确结论的序号是__________________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】举例说明判断①；解方程并结合函数的意义判断②；令，结合单调性求出值域判断③；取，确定取值区间推理判断④即可得解.
【详解】对于①，当时，，函数无意义，①错误；
对于②，由，得，而，因此方程没有实数根，②正确；
对于③，函数，令，则，，
，而，
随的增大而增大，则，，
因此，函数的值域为，③正确；
对于④，取，，，由，得，
令，则，由，
得，而，当，取，
此时，，，
，都有，④正确，
所以所有正确结论的序号是②③④.
故答案为：②③④
【点睛】关键点点睛：令，借助单调性是求出函数的关键.
三、解答题共5小题，共62分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
23. 已知关于不等式的解集，集合．
（1）求实数的值；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）选择见解析，答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解；
（2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解.
【小问1详解】
由，得到，即，
又因为关于不等式的解集，
所以，解得，所以实数的值为.
【小问2详解】
选择条件①，因为，，
又，由图知，
，解得.
选择条件②，因为，，
又，即，由图知，
，解得.
24. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示.
（1）直接写出、、的取值；
（2）求的对称中心和单调增区间；
（3）当时，求的最值，并指出取最值时的取值.
【答案】（1），
（2）对称中心为，单调递增区间为.
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用由可得出值，求出函数的最小正周期，可求出的值，由以及的取值范围可得出的值；
（2）利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间；
（3）由时，求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值、最小值及其对应的的值.
【小问1详解】
由图可知，，
函数的最小正周期满足，则，故，
所以，，
因为，可得，
所以，7π6+φ=2kπ+π2k∈Z，则φ=2kπ−2π3k∈Z，
因为，则，故.
【小问2详解】
由2x−2π3=kπk∈Z可得，
故函数的对称中心坐标为，
由2kπ−π2≤2x−2π3≤2kπ+π2k∈Z得kπ+π12≤x≤kπ+7π12k∈Z，
故函数单调递增区间为.
【小问3详解】
当时，−π6≤2x−2π3≤5π6，
故当2x−2π3=−π6时，即当时，函数取最小值，
即fxmin=fπ4=2sin−π6=−1，
当2x−2π3=π2时，即当时，函数取最大值，
即fxmax=f7π12=2sinπ2=2.
25. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断奇偶性，并加以证明；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）偶函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由且求解；
（2）利用函数奇偶性的定义求解；
（3）将转化为求解.
【小问1详解】
解：由题意得：且，
解得，所以函数定义域为；
【小问2详解】
因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为偶函数；
【小问3详解】
，
则