2025-2026学年广东省深圳实验学校、惠东高级中学高二上学期第二阶段联考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年广东省深圳实验学校、惠东高级中学高二上学期第二阶段联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线x2−y216=1的离心率为( )
A. 15B. 3C. 17D. 4
2.已知直线l的方向向量a=(1,1,0)，平面α的一个法向量为n=(1,1,− 6)，则直线l与平面α所成的角为( )
A. 120°B. 60°C. 30°D. 150°
3.若直线l:x+ 3y=0与圆C:(x−2)2+y2=4交于A,B两点，则|AB|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
4.设P是椭圆x216+y212=1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则▵PF1F2是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
5.已知抛物线x2=−2py(p>0)的准线平分圆x2+(y−2)2=1，则p=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为 2的点共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.如图，已知二面角α−l−β平面角的大小为π3，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知AB=1，AC=BD=2，则CD=( )
A. 5B. 13C. 5D. 13
8.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上异于顶点的一个动点，记▵PF1F2的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点A(0, 1, 1), B(2, 2, 1), C(2, 1,0)，则( )
A. AC= 5
B. CB方向上的单位向量是(0, 12, 32)
C. n=1,−2, 2是平面ABC的一个法向量
D. BC在AC上的投影向量的模为 55
10.若直线y=kx+1与圆C:(x−2)2+y2=9相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
11.设曲线C的方程为x2+y2=|x|+|y|，下列选项中正确的有( )
A. 由曲线C围成的封闭图形的面积为2+π
B. 满足曲线C的方程的整点(横纵坐标均为整数的点)有5个
C. 若M，N是曲线上的任意两点，则M，N两点间的距离最大值为2 2
D. 若P是曲线C上的任意一点，直线l: m(x−1)+n(y−1)=0，则点P到直线l的距离最大值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y24=1离心率为 22，则实数m等于 ．
13.如图在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=3,AD=1,AA′=2，∠BAD=90∘，∠BAA′=∠DAA′=60∘，则AC′的长是 ．
14.若对任意实数k，直线kx+y−k+1=0与圆x2+y2+mx+2y+m+4=0至少有一个交点，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆心为M的圆经过A(−2,6),B(6,0),C(−8,−2)这三个点．
(1)求圆M的标准方程；
(2)直线l过点P(4,6)，若直线l被圆M截得的弦长为10，求直线l的一般式方程．
16.(本小题15分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F为C1D1的中点．
(1)求证：B1F//平面A1BE
(2)求直线BE和平面A1C1E所成的角的正弦值．
(3)求平面A1BE与平面A1C1E夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，实轴长和离心率均为2．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)过E(0,2)且倾斜角为45∘的直线l与双曲线C交于M,N两点，求OM⋅ON的值(O为坐标原点)．
18.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O,▵PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD= 6，AP=4AF．
(Ⅰ)求证：PO⊥底面ABCD；
(Ⅱ)求直线CP与平面BDF所成角的大小；
(Ⅲ)在线段PB上是否存在一点M，使得CM/\!/平面BDF？如果存在，求BMBP的值，如果不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知抛物线y2=4x的准线过椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线y=32交椭圆E于A，B两点，点P在线段AB上移动，连接OP交椭圆于M，N两点，过P作MN的垂线交x轴于Q，求△MNQ面积的最小值．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.B
6.C
7.C
8.B
9.ACD
10.CD
11.ACD
12.8
13. 22
14.(−∞,−2)
15.解：(1)设圆M的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
因为过A(−2,6),B(6,0),C(−8,−2)，
所以−2−a2+6−b2=r26−a2+0−b2=r2−8−a2+−2−b2=r2，解得a=−1b=−1r2=50,
所以圆M的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=50
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x=4，
由x=4x+12+y+12=50，解得x=4y=4或x=4y=−6,
所以直线l被圆M截得的弦长为4−(−6)=10，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y−6=k(x−4)，即kx−y−4k+6=0，
圆心M(−1,−1)到直线l的距离为d=|−k+1−4k+6| k2+1=|7−5k| k2+1，
因为直线l被圆M截得的弦长为10，所以r2=d2+1022，
即50=|7−5k| k2+12+25，解得k=1235，
直线l的方程为12x−35y+162=0．
综上所述，直线l的一般式方程为12x−35y+162=0或x−4=0．

16.解：(1)以 A 为原点， AB 、 AD 、 AA1 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
依题意，得 B(1,0,0),E0,1,12,A(0,0,0),D(0,1,0) ，A10,0,1，B11,0,1，F12,1,1，
A1B=(1,0,−1),A1E=0,1,−12 ，设面 A1BE 的法向量 n1=x1,y1,z1 ，
A1B⋅n1=0A1E⋅n1=0 ，所以 x1−z1=0y1−12z1=0 ，取 z1=2 ，得 n1=(2,1,2).
因为 B1F=−12,1,0 ，
所以 B1F⋅n1=−1+1+0=0 .所以 B1F⊥n1 ．
又 B1F⊄ 面 A1BE ．
所以 B1F // 面 A1BE ．
(2) A1C1=(1,1,0),A1E=0,1,−12 ，
设面 A1C1E 的法向量 n2=x2,y2,z2 ，
A1C1⋅n2=0A1E⋅n2=0 ，所以 x2+y2=0y2−12z2=0 ，
取 z2=2 ，得 n2=(−1,1,2) ．
因为 BE=−1,1,12 ，
所以 cs⟨BE→,n2→⟩=BE→⋅n2→|BE→|·|n2→|= 63 ．
所以直线 BE 和平面 A1C1E 所成的角的正弦值为 63 ．
(3)由(1)､(2)可得 cs⟨n1→,n2→⟩=n1→⋅n2→|n1→|·|n2→|=33× 6= 66 ，
所以平面 A1BE 与平面 A1C1E 夹角的余弦值为 66 ．

17.解：(1)由离心率e=ca=2，又c2=a2+b2，则b2=3a2，
又实轴长2a=2，所以a2=1，所以b2=3，
故双曲线的标准方程为x2−y23=1；
其渐近线方程为y=± 3x．
(2)∵直线l的倾斜角为45∘，故其斜率为1，又l过点E(0,2)，
∴l的方程为y=x+2；
设Mx1,y1,Nx2,y2,
由y=x+2x2−y23=1，得2x2−4x−7=0，
∴x1+x2=2,x1x2=−72
∴OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+x1+2x2+2=2x1x2+2x1+x2+4=1．

18.(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴O为AC,BD中点.
又PA=PC,PB=PD，
∴PO⊥AC,PO⊥BD，
又AC∩BD=O，AC、BD⊂平面ABCD
∴PO⊥底面ABCD．
(Ⅱ)解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由(Ⅰ)可知PO⊥AC,PO⊥BD．
建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．
由▵PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD= 6，可得PO= 3,OB=OD= 3．
所以A(1,0,0),C(−1,0,0),B(0, 3,0),P0,0, 3．
∴CP→=(1,0, 3),AP→=(−1,0, 3)．
由已知可得OF=OA+14AP=(34,0, 34)，
设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，
由{n→⋅OF→=34x+ 34z=0n→⋅OB→= 3y=0，可得z=− 3xy=0 ,
令x=1，则n=(1,0,− 3)．
设直线CP与平面BDF所成的角为θ，
则sinθ=|cs |=|n⋅CP||n||CP|=22×2=12，
又0≤θ≤π2，
∴θ=π6．
∴直线CP与平面BDF所成角的大小为π6．
(Ⅲ)解：假设存在点M满足条件，且BMBP=λ(0≤λ≤1)，
则CM=CB+BM=CB+λBP=(1, 3(1−λ), 3λ)．
若使CM//平面BDF，需且仅需CM⋅n=0且CM⊄平面BDF，
由CM⋅n=1−3λ=0，解得λ=13．符合题意．
∴在线段PB上存在一点M，使得CM//平面BDF，且BMBP=13．

19.解：(1)由题知抛物线的准线为x=−1，∴c=1，
因为椭圆E的一个短轴端点与两个焦点构成一个正三角形，
∴b= 3,a=2，
故椭圆的标准方程为：x24+y23=1；
(2)由(1)得椭圆的方程为x24+y23=1，
∵MN的垂线交x轴于Q，∴MN的斜率存在，
∵连接OP交椭圆于M,N两点，∴MN的斜率不为0，
不妨设lMN:y=kx,M(x1,y1),N(x2,y2)，
因为y=32与椭圆x24+y23=1的交点为(±1,32)，所以|k|∈[32,+∞),
则P(32k,32)，
联立y=kxx24+y23=1，即(3+4k2)x2−12=0，
∴x1+x2=0,x1⋅x2=−123+4k2，
∴|MN|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1⋅x2= 1+k2⋅ 483+4k2，
设Q(m,0)，∵PQ⊥MN，∴kPQ⋅kMN=3232k−m⋅k=−1，
解得：m=32k+3k2，
∴Q到直线MN的距离为：|k⋅(32k+3k2)| 1+k2=32+3k22 1+k2，
∴S△MNQ=12 1+k2⋅ 483+4k2⋅32+3k22 1+k2
=3 3(1+k2) 3+4k2=3 34⋅(1+4k2+3) 3+4k2
=3 34( 3+4k2+1 3+4k2)，
因为|k|∈[32,+∞)，所以 4k2+3⩾2 3，
因为函数y=x+1x在[1,+∞)上是增函数，
所以 3+4k2+1 3+4k2的最小值为2 3+12 3=13 36，
因此，当k=±32时，△MNQ面积的最小值为398．