2024-2025学年广东省深圳市深圳实验学校高中园、惠州市惠东县惠东高级中学高一下学期第二阶段联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市深圳实验学校高中园、惠州市惠东县惠东高级中学高一下学期第二阶段联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简PM−PN+MN所得的结果是( )
A. MPB. NPC. 0D. NM
2.已知向量a=(−1,2),b=(x,4)，且a⊥b，则x=( )．
A. 8B. 2C. 4D. 12
3.已知复数z满足z(1+i)=2(i是虚数单位)，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 5
4.若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定
5.已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A. 33πB. 3πC. 23πD. 2π
6.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P−ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4.则该阳马的外接球的表面积为( )
A. 125 2π3B. 50πC. 100πD. 500π3
7.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104(单位：米)的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东60°的点D处(A，B，D在同一水平面上)，在B点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C的仰角为45°，则超然楼的高度CD(单位：米)为( )
A. 26B. 26 3C. 52D. 52 3
8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为α，β，γ，则( )
A. cs2α+cs2β+cs2γ=2B. cs2α+cs2β+cs2γ=1
C. sin2α+sin2β+sin2γ=2D. sin2α+sin2β+sin2γ=3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(2,1)，b=(−3,1)，e是与b同向的单位向量，则下列结论错误的是( )
A. |b|=10
B. e=(−1,0)
C. a与b可以作为一组基底
D. 向量a在向量b上的投影向量为 102e
10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，∠APB=120°,PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则下列选项正确的是( )
A. 该圆锥体积为πB. 该圆锥的侧面积为2 3π
C. AC=2 2D. ▵PAC的面积为 3
11.八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论中正确的是( )
A. OD//ACB. ∠EAD=30°
C. BG⊥BCD. AD=2 2− 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且a=1,c=2,∠B=π3，则b= ．
13.已知单位向量a,b满足a−b=a，则a与b的夹角为 ．
14.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a,b满足a=(2,1),b=(1,−3)．
(1)求向量a,b的数量积a⋅b；
(2)求向量a,b夹角θ的余弦值；
(3)求a+2b的值．
16.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5．
(1)求证：AB⊥平面ACC1A1；
(2)若异面直线BB1与A1C所成的角为30°，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．
17.(本小题15分)
在锐角▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且▵ABC的面积S=AB⋅ACsinA．
(1)求角A；
(2)若a= 2，求b+c的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M为PD的中点．
(1)求证：AM⊥平面PCD．
(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
19.(本小题17分)
法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccsA−acsB=bcsA.以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3．

(1)求A；
(2)若▵O1O2O3的面积为2 33，求▵ABC的面积的最大值．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.B
5.A
6.B
7.C
8.A
9.ABD
10.ABC
11.AC
12. 3
13.π3/60°
14. 3
15.(1)由题设，a⃗⋅b→=2×1+1×(−3)=−1．
(2)a= 22+12= 5,b= 12+(−3)2= 10，
所以csθ=a⃗⋅b→a⃗b→==−1 5× 10=− 210．
(3)∵a+2b=(2,1)+2(1,−3)=(4,−5)，
∴a+2b= 42+(−5)2= 41．
16.(1)AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，有AA1⊥AB．
AB=3，AC=4，BC=5，有AB2+AC2=BC2，由勾股定理得AC⊥AB．
AA1∩AC=A，AA1,AC⊂平面ACC1A1，∴AB⊥平面ACC1A1
(2)由BB1//AA1，异面直线BB1与A1C所成的角即为∠AA1C，∠AA1C=30∘，
又AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥AC，则tan30∘=ACAA1，得AA1=4 3，
S▵ABC=12AB⋅AC=12×3×4=6，所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=S▵ABC⋅AA1=6×4 3=24 3．

17.(1)∵S=AB⋅ACsinA，∴12bcsinA=bccsAsinA．
∵bcsinA≠0，∴csA=12，又∵0