第13章 三角形中的边角关系、命题证明【章末复习】-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

第 13 章 三角形中的边角关系、命题证明 章末复习 4幻灯片 1：封面标题：第 13 章 三角形中的边角关系、命题证明 —— 章末复习 4副标题：聚焦综合应用，突破难点题型配图：包含三角形边角关系、命题证明、特殊三角形性质的综合知识图谱署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：本章核心知识框架（综合梳理） 幻灯片 3：重难点突破 1—— 三角形边角关系的综合应用一、三边关系的进阶应用（含整数边长与等腰三角形多解）典型例题例题 1：已知等腰三角形的周长为 16，其中一边长为 5，求另外两边的长度。解析：情况 1：5 为腰长→底边长 = 16-2×5=6，验证：5+5>6（成立），故边长为 5,5,6；情况 2：5 为底边长→腰长 =(16-5)÷2=5.5，验证：5.5+5.5>5（成立），故边长为 5.5,5.5,5；结论：另外两边为 5,6 或 5.5,5.5。解题技巧等腰三角形多解问题需分 “已知边为腰 / 底” 两种情况，均需验证三边关系；整数边长问题需结合 “三边关系” 与 “整数条件”，先确定最长边范围（< 周长一半，≥周长 / 3），再列举可能值。二、三角关系的综合计算（含外角与角平分线结合）典型例题例题 2：如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，延长 BC 至 E，求∠DCE 的度数。解析：由内角和得∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°；BD、CD 为角平分线→∠DBC+∠DCB=½(∠ABC+∠ACB)=60°；由内角和得∠BDC=180°-60°=120°；∠DCE 是∠BDC 的外角？（或∠DCE=180°-∠DCB，∠DCB=60°-∠DBC，此处更简便：∠DCE=∠DBC+∠BDC？不，正确：∠DCE 是△DBC 的外角→∠DCE=∠DBC+∠BDC？错误，∠DCE 与∠DCB 互补，∠DCB=60°→∠DCE=120°）；答案：120°。幻灯片 4：重难点突破 2—— 命题证明的规范书写与思路分析一、证明的核心思路（综合法与分析法结合）1. 综合法（由因导果）：从已知条件出发，联想相关定理已知 “平行”→联想平行线性质（同位角 / 内错角相等，同旁内角互补）；已知 “等腰三角形”→联想 “等边对等角”“三线合一”；已知 “直角三角形”→联想 “两锐角互余”“勾股定理”。2. 分析法（执果索因）：从结论反向推导所需条件要证 “线段相等”→需证 “三角形全等”“等腰三角形”“平行四边形对边相等”；要证 “角相等”→需证 “三角形全等”“平行线性质”“角平分线定义”；要证 “三角形为直角三角形”→需证 “有一个角 90°”“勾股定理逆定理”。二、规范书写示例（证明线段相等）例题 3：已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。证明过程：证明：∵ AD是BC边上的中线（已知），∴ BD = CD（中线的定义）。在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边），∴ △ABD ≌ △ACD（SSS，全等三角形判定定理）。∴ ∠ADB = ∠ADC（全等三角形的对应角相等）。又∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°（等式性质）。∴ AD⊥BC（垂直的定义）。三、易错点警示证明过程需 “步步有据”，避免遗漏推理依据（如全等判定需完整列出三边 / 两边及夹角 / 两角及夹边）；辅助线需在证明开头说明作法（如 “延长 AD 至 E，使 DE=AD”），不可仅在图中标注；假命题证明只需举一个反例（如 “相等的角是对顶角”，反例：等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角）。幻灯片 5：重难点突破 3—— 特殊三角形的性质与判定综合一、等腰三角形与直角三角形的结合应用典型例题例题 4：已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，求证：AE=BE。解析：由∠C=90°，AB=AC→△ABC 是等腰直角三角形→∠A=∠B=45°；DE⊥AB→∠DEB=90°→△DEB 是等腰直角三角形→DE=BE；连接 AD，D 是 BC 中点，由等腰直角三角形 “三线合一”→AD⊥BC，AD=BD（等腰直角三角形斜边中线 = 斜边一半，且 BC=√2AC，AD=½BC=BD）；证△ADE≌△BDE（HL：AD=BD，DE=DE）→AE=BE；证明过程（略，参照规范书写格式）。二、勾股定理与逆定理的综合应用（含折叠问题）典型例题例题 5：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC 沿 DE 折叠，使点 B 与点 A 重合，求 DE 的长度。解析：由勾股定理得 AB=√(6²+8²)=10，折叠后 AD=BD=5（D 是 AB 中点）；设 AE=BE=x（折叠后对应边相等），则 EC=8-x；在 Rt△ACE 中，由勾股定理：AC²+EC²=AE²→6²+(8-x)²=x²；展开：36+64-16x+x²=x²→100-16x=0→x=6.25；在 Rt△BDE 中，BD=5，BE=6.25，由勾股定理得 DE=√(BE²-BD²)=√(6.25²-5²)=√(39.0625-25)=√14.0625=3.75；答案：DE=3.75（或 15/4）。幻灯片 6：课堂互动（综合题型分组探究）任务：分组完成综合证明与计算分组：4 人一组，每组分配 1 道综合题；题目：组 1：已知：如图，在△ABC 中，∠B=60°，AB=AC，D 是 AC 上一点，BD=BC，求证：AD=BD（提示：利用等腰三角形性质与三角形内角和）。组 2：已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，求四边形 ABCD 的面积（提示：连接 AC，利用勾股定理逆定理）。组 3：已知命题 “若一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形”，写出该命题的逆命题，并证明逆命题为真命题。要求：先独立分析思路，再小组讨论；组 1、组 2 需写出完整证明 / 计算过程，组 3 需写出逆命题并规范证明；每组派 1 名代表展示成果，教师点评。幻灯片 7：中考真题演练（综合提升）题目 1（2024・安徽中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，若 AC=2，则 AD 的长为（ ）A. √5-1 B. √5+1 C. 3-√5 D. √5-2解析：AB=AC=2，∠A=36°→∠ABC=∠ACB=72°；BD 平分∠ABC→∠ABD=∠DBC=36°→AD=BD（等角对等边）；∠BDC=∠A+∠ABD=72°→BD=BC（等角对等边），故 AD=BC；设 AD=x，则 BC=x，CD=2-x；由△ABC∽△BCD（两角分别相等）→AB/BC=BC/CD→2/x=x/(2-x)→x²+2x-4=0；解得 x=(-2±√(4+16))/2=(-2±2√5)/2=-1±√5，取正根 x=√5-1；故选 A。题目 2（2024・江苏中考）已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE 并延长至 F，使 EF=DE，连接 AF、DC。求证：四边形 ADCF 是平行四边形；若 BC=4，AC=6，求四边形 ADCF 的面积。解析：证明：∵ E 是 AC 中点→AE=CE，又 EF=DE，∠AEF=∠CED→△AEF≌△CED（SAS）→AF=CD，∠EAF=∠ECD→AF∥CD→四边形 ADCF 是平行四边形；计算面积：D 是 AB 中点，DE 是△ABC 中位线→DE=½BC=2；平行四边形 ADCF 的面积 = AC× 高，高 = DE=2→面积 = 6×2=12；答案：1. 略；2. 12。幻灯片 8：本章复习总结与备考建议一、知识总结核心脉络：三角形边角关系（三边 / 三角）→命题与证明（定义 / 命题 / 证明规范）→特殊三角形（等腰 / 直角）→重要线段与外角（高 / 中线 / 角平分线 / 外角性质）；核心思想：数形结合（利用图形分析边角关系）、分类讨论（等腰三角形多解、三角形类型讨论）、转化思想（复杂图形转化为基本三角形）。二、备考建议基础巩固：熟记三角形内角和、三边关系、特殊三角形性质，确保简单计算与证明不丢分；难点突破：针对 “折叠问题”“多解问题”“综合证明”，整理典型例题，总结解题思路（如折叠问题抓 “对应边相等、对应角相等”）；规范书写：刻意练习证明过程的 “步步有据”，标注推理依据，避免逻辑跳跃；错题复盘：分析错题原因（如概念混淆、思路错误、书写不规范），针对性改进。幻灯片 9：作业布置基础题完成教材 PXX 章末复习题 10-15 题（巩固基础综合题型）；已知等腰三角形的两边长为 7 和 15，求其周长。提升题已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，D 是 AB 上一点，DC⊥AC，求 AD 的长；证明：有两个角互余的三角形是直角三角形。拓展题如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，求证：AE=¼AB；自主设计一道 “三角形边角关系与命题证明” 的综合题，并写出解题过程，下节课分享。【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 知识体系三角形中的边角关系边的关系按边将三角形分类角的关系三边长的关系按角将三角形分类高、角平分线、中线几条重要线段知识体系命题分类假命题真命题原命题定理关系逆命题基本事实推论互逆复习回顾1.三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.2.三角形的要素边 边 边顶点角角角顶点顶点BAC①组成三角形的线段叫作三角形的边.②相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点.③相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角.3.用符号表示三角形BACabc记作:△ABC读作:三角形ABC字母没有先后顺序.三角形的边有时用它所对角的相应小写字母表示.4.按边将三角形分类不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等腰三角形三角形5.三角形的三边关系CAB三角形中任意两边的和大于第三边.三角形中任意两边的差小于第三边.注意：1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形.3.三角形第三边的取值范围是： 两边之差＜第三边＜两边之和练一练已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，得 8 - 3＜a＜8 + 3， ∴ 5＜a＜11. 又∵第三边长为奇数， ∴ 第三条边长为 7 cm 或 9 cm.1.三角形的内角和三角形的内角和等于 180°.2.按边将三角形分类1.三角形的高从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.表示方法：① AD 是△ABC 的边 BC 上的高；② AD⊥BC 于 D；③∠ADB =∠ADC = 90°.2.三角形的三条高的特性311相交相交不相交相交相交相交三角形内部直角顶点三角形外部三角形的三条高所在直线交于一点.3.三角形的角平分线三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；4.三角形的中线三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于一点,这个交点就是三角形的重心；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．锐角三角形：内部；钝角三角形：外部；直角三角形：直角顶点333交点叫作三角形的重心.在三角形内部在三角形内部总结练一练1.如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线 BD，CE 交于点 O．(1) 若∠A = 80°，则∠BOC =______．(2) 你能猜想出∠BOC 与∠A 之间的数量关系吗？ 130°2.如图，在△ABC中，AB = AC =8，P是边 BC 上任意一点，PD⊥AB于点 D，PE⊥AC于点 E，△ABC的面积为14，则PD+PE的值为______.注意：命题有真命题和假命题两种.对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫作命题.命题由题设和结论两部分组成. 前一部分称之为条件，后一部分称之为结论.命题通常是用“如果······ 那么······”的形式给出.“如果 p，那么 q”中的题设与结论互换，得一个新命题：“如果 q，那么 p” 这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作逆命题.当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题.符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.证明命题的一般步骤:①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；③分析因果关系，找出证明途径；④有条理地写出证明过程.练一练写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例.(1)两直线平行，同位角相等；(2)若k>0，b0，b0，b=0时，一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限.(3)逆命题是“面积相等的两个三角形等底等高”，是假命题.反例：底边是2、高是4的三角形与底边是4、高是2的三角形面积相等.1.三角形内角和定理的证明转化思想：构造平行线转化为平角或同旁内角互补.2.三角形内角和定理的推论推论1 直角三角形的两锐角互余.推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.三角形的外角和为 360°.∠A +∠B =∠ACD∠ACD＞∠A， ∠ACD＞∠B1.判断下列命题是真命题还是假命题.（1）三角形三个内角中至少有两个是锐角. ( )（2）一个角的补角大于这个角本身. ( )真命题假命题2.写出下列命题的逆命题，并判断原命题和它的逆命题是真命题还是假命题.（1）在平面直角坐标系中，y轴上的点的横坐标为0；（2）一个数能被4整除，这个数也能被2整除。(1)逆命题：在平面直角坐标系中，横坐标为0的点在y轴上. 原命题是真命题，逆命题是真命题.(2)逆命题：一个数能被2整除，这个数也能被4整除. 原命题是真命题，逆命题是假命题.3.填空：（1）有4条线段的长度分别是3cm，7cm，9cm和11cm，选择其中三条线段作三角形，共可作____种不同的三角形；（2）已知等腰三角形的两边长为4cm和8cm，这个三角形周长是_____cm；（3）如果△ABC的一个外角等于140°，且∠B=∠C，那么∠A=_____________.320100°或40°4.已知三角形两边长分别为4和5，第三边长为正整数，求第三边长.解：5－4＜第三边长＜5＋4，∴1＜第三边长＜9.又∵第三边长为正整数，∴第三边长可能为2，3，4，5，6，7，8.5.在△ABC中，∠A=64°.(1)如图，若△ABC的两个外角平分线BP，CP交于点P，求∠P的度数； 5.在△ABC中，∠A=64°.(2)如果BP，CP分别是∠B，∠C两内角平分线，求∠P的度数. 6.如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的高，它们交于点H，求∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数。解:在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，(已知)∴∠A=180°- ∠ABC- ∠ACB=180°-66°-54° =60°.又因为BE⊥AC，CF⊥AB，∴在 Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠A=90°-60°=30°.同理可求∠ACF=30°.∵∠FBH=30°，∠BFH=90°，∴∠BHC=∠FBH+∠BFH=30°+90°=120°.(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)7.如图，∠A=33°，∠ABC=83°，∠C=30°．求∠ADC的度数.解:连接B，D，延长BD至点E，则∠ADC=∠ADE+∠CDE.又∵∠ADE=∠DBA+∠A，∠CDE=∠DBC+∠C，∴∠ADC= ∠DBA+∠A+∠DBC+∠C=∠A+∠C+∠ABC.又∵∠A=33°，∠C=30°，∠ABC=83°，∴∠ADC=33°+30°+83°=146°.8.已知：如图，AB与CD交于点O，∠1=∠C，∠2=∠D.求证：AC // DB.证明:∵∠1=∠C，∠2=∠D，（已知）且∠1=∠2，（对顶角相等）∴∠C=∠D.（等量代换）∴AC//DB.（内错角相等，两直线平行） 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为点E. 若∠B=38°，∠C=70°．求∠DAE的度数.10.如图，在△ABC中，若∠A=50°，∠C=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE//BC交AB于点E .求∠BDE，∠BDC的度数. 11.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD，AC于点F，E.求证：∠CFE=∠CEF.证明：在△BCE中，∠ACB=90°，则∠CEF+∠CBE=90°.(直角三角形的两锐角互余)在△BDF中，FD⊥DB，∴∠FDB=90°，∴∠DBF+∠DFB=90°.(直角三角形的两锐角互余)又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠DBF，∴∠CEF=∠DFB.又∵∠CFE=∠DFB，∴∠CFE=∠CEF. (等量代换)12.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分△ABC的外角∠EAC.求证:AD // BC.证明：∵AD平分∠EAC，(已知)∴2∠EAD=∠EAC. (角平分线的定义)又∵∠B=∠C，∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B.∴∠EAD=∠B.∴AD//BC. (同位角相等，两直线平行)1.已知：如图，直线a，b，c在同一平面内，a//c，b//c.求证：a//b.证明：如图所示，作直线l分别与a，b，c相交.∵ a// c，(已知）∴∠1=∠3.(两直线平行，同位角相等)又b // c，(已知)∴∠2=∠3. (两直线平行，同位角相等)∴∠1=∠2，(等量代换)∴a//b. (同位角相等，两直线平行)2.已知：如图，直线a，b，c在同一平面内，a⊥c，b⊥c.求证: a // b.12证明：如图所示.∵ a⊥c，(已知)∴∠1=90°.(垂直的定义)又∵ b⊥c，(已知)∴∠2=90°.(垂直的定义)∴∠1=∠2.(等量代换)∴a//b. (同位角相等，两直线平行)3.已知：AB// CD.(1)如图(1)，点E在AB与CD之间，∠A，∠C与∠E有什么关系？(2)如图(2)，点E在AB与CD之间，∠A，∠C与∠E有什么关系？(3)如图(3)，点E在AB与CD之外，∠A，∠C与∠E有什么关系？解:(1)如图①，过点E作EF//AB.∵CD//AB，(已知) EF//AB，(所作)∴EF//CD.(平行于同一条直线的两条直线互相平行)由EF//AB知∠A=∠AEF.(两直线平行，内错角相等)由EF//CD知∠C=∠CEF.(两直线平行，内错角相等)∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C.(等量代换)(2)如图②，过点E作EG//AB，则EG//CD.∵EG//AB，∴∠A+∠AEG=180°.∵EG// CD，∴∠C+∠CEG=180°.∴∠AEC= ∠AEG+ ∠ CEG = (180° - ∠A)+（180° - ∠C) =360°-(∠A+∠C)，即∠AEC+∠A+∠C=360°.(3)设CD与AE的交点为O，如图③.∵AB//CD，∴∠DOE=∠A.又∠DOE=∠C+∠E，∴∠E=∠DOE-∠C，即∠E=∠A-∠C.∴∠A=∠C+∠E.1. (1)图(1)是五角星形. 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；(2)图(2)是七角星形.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.解：(1)如图.∵∠1=∠B+∠E，∠2=∠A+∠D，(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)又∵∠1+∠2+∠C=180°，(三角形内角和定理)∴∠A+∠D+∠B+∠E+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(2)同(1)可得，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°.2.已知：如图，D是△ABC内一点. 求证：(1)∠BDC＞∠A；(2) AB +AC ＞ DB +DC.证明：(1)如图，延长BD交AC于E.∵∠1＞∠A，∠BDC＞∠1，∴∠BDC＞∠A.(2) ∵AB+AE>BD+DE，DE+CE>DC，∴AB+AE+DE+CE>BD+DE+DC，即AB+AC>BD+DC.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！