15.4.1等腰三角形的边角的性质-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

15.4.1 等腰三角形的边角的性质幻灯片 1：封面标题：15.4.1 等腰三角形的边角的性质副标题：探究 “边等” 与 “角等” 的内在关联 —— 等腰三角形的核心特征配图：包含标注 “腰、底边、顶角、底角” 的等腰三角形示意图、“三线合一” 动态演示图、生活中等腰三角形实例（如屋顶、金字塔侧面）署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（从生活到数学的等腰现象）一、生活中的等腰三角形建筑结构：房屋的等腰三角形屋顶（两侧腰相等，确保受力均衡）、埃及金字塔的侧面（等腰三角形，体现对称与稳定）；日常物品：等腰三角形三角尺、等腰三角形警示牌、等腰三角形蛋糕切件（沿中线分割后完全重合）；自然现象：等腰三角形的树叶叶脉分布、对称的蝴蝶翅膀展开后可看作两个全等的等腰三角形。二、观察与疑问观察等腰三角形三角尺：两条腰长度相等，对应的两个底角大小似乎也相等，这是巧合吗？折叠实验：取一张等腰三角形纸片（AB=AC），沿底边 BC 的中线 AD 折叠，发现 AB 与 AC 重合，∠B 与∠C 重合，这说明什么？深入思考：折叠后 AD 不仅是中线，是否还是底边的高和顶角的平分线？引出主题：本节课将通过实验验证与逻辑证明，探究等腰三角形的两大核心性质 ——“等边对等角”（边的关系推导角的关系）和 “三线合一”（特殊线段的重合性），揭示等腰三角形边角关系的本质规律。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边为腰，第三边为底边，两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角；掌握并证明等腰三角形的性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等；掌握并证明等腰三角形的性质 2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；能运用等腰三角形的边角性质解决角度计算、线段相等证明等几何问题。过程与方法通过 “折叠观察→猜想性质→推理论证→应用验证” 的过程，培养几何直观与逻辑推理能力；经历 “从特殊到一般” 的探究，体会等腰三角形性质的推导思路，掌握 “转化为全等三角形” 的证明方法。情感态度与价值观感受等腰三角形在生活中的广泛应用，体会数学与现实的紧密联系；在性质证明与应用中，增强严谨的思维习惯，提升几何问题的分析与解决能力。二、教学重难点重点：等腰三角形的性质 1（等边对等角）与性质 2（三线合一）的理解、证明及应用；难点：性质 2 “三线合一” 的多情境应用（如已知中线证高、已知高证角平分线）；等腰三角形性质与全等三角形、角平分线等知识的综合应用；证明性质时 “添加辅助线” 的思路（如作中线、高或角平分线构造全等）。幻灯片 4：知识点 1—— 等腰三角形的定义与相关概念一、定义精准解读等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。二、相关概念辨析概念定义与位置示例（以△ABC 为例，AB=AC）腰等腰三角形中相等的两条边AB、AC 是腰底边等腰三角形中不相等的第三条边（若三条边都相等，即为等边三角形，是特殊的等腰三角形）BC 是底边顶角两腰的夹角∠BAC 是顶角底角腰与底边的夹角（有两个，且相等，后续将证明）∠B、∠C 是底角三、特殊情况：等边三角形等边三角形是三条边都相等的三角形，可看作 “特殊的等腰三角形”（任意两条边均可作为腰，任意一个角均可作为顶角）；等边三角形的三个角均为 60°（由等腰三角形 “等边对等角” 推导），且三条 “三线”（中线、高、角平分线）均重合。四、即时小练（概念辨析）已知等腰三角形的两边长为 3cm 和 5cm，其腰长为______（答案：3cm 或 5cm，需考虑两种情况，且满足三角形三边关系）；等腰三角形的顶角为 80°，则底角为______（答案：50°，先由三角形内角和得 180°-80°=100°，再平分得 50°）。幻灯片 5：知识点 2—— 等腰三角形的性质 1（等边对等角）一、性质内容与例题 1：在△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，求∠B 和∠C 的度数。解析：由等腰三角形性质 1 得∠B=∠C；由三角形内角和定理得∠A + ∠B + ∠C = 180°；代入∠A=50°，得 50° + 2∠B = 180°→∠B=∠C=65°；答案：∠B=65°，∠C=65°。例题 2：在△ABC 中，AB=AC，∠B=70°，求∠A 的度数。解析：由性质 1 得∠C=∠B=70°；∠A=180° - ∠B - ∠C=180° - 70° - 70°=40°；答案：∠A=40°。幻灯片 6：知识点 3—— 等腰三角形的性质 2（三线合一）一、性质内容与推导1. 性质 2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。文字表述：在等腰三角形中，只要满足 “顶角平分线”“底边中线”“底边高” 中的任意一个条件，就能同时具备另外两个条件；符号表示：在△ABC 中，AB=AC，① 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC 且 BD=CD；② 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD⊥BC 且 AD 平分∠BAC；③ 若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=CD。2. 证明（以 “顶角平分线→中线 + 高” 为例）已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC（∠BAD=∠CAD）。求证：AD⊥BC 且 BD=CD。证明过程：证明：在△ABD和△ACD中，$\begin{cases} AB = AC（已知）， \\ ∠BAD = ∠CAD（AD平分∠BAC）， \\ AD = AD（公共边）， \end{cases}$∴ △ABD ≌ △ACD（SAS全等判定）。∴ BD = CD（全等三角形的对应边相等）， ∠ADB = ∠ADC（全等三角形的对应角相等）。又∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。∴ AD既是BC边上的中线，又是BC边上的高。二、性质解读与关键注意“三线” 的定义：顶角平分线：平分顶角的射线（而非线段，但若与底边相交，则为线段）；底边上的中线：连接顶点与底边中点的线段；底边上的高：从顶点向底边作的垂线段；适用范围：仅适用于等腰三角形（等边三角形作为特殊等腰三角形，三条边对应的 “三线” 均重合）；作用：简化证明过程，无需重复证明 “中线、高、角平分线” 的关系，只需证明其中一个，即可推导另外两个。三、性质应用（线段相等与垂直证明）例题 3：在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，若 BC=6，求 BD 的长度，并证明 AD⊥BC。解析：由性质 2（中线→平分底边）得 BD=½BC=½×6=3；证明 AD⊥BC：因 AB=AC，AD 是 BC 中线，由 “三线合一” 得 AD⊥BC；答案：BD=3，AD⊥BC（证明如上）。例题 4：在△ABC 中，AB=AC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，AD 平分∠BAC，求证：DE=DF。解析：由 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，得 DE=DF（角平分线性质定理）；也可由等腰三角形 “三线合一”，AD 是顶角平分线，故 AD 也是底边中线和高，再结合全等证明 DE=DF；证明过程（略，可选用角平分线性质或全等三角形）。幻灯片 7：课堂互动（分组探究与应用）任务 1：性质 1 的拓展应用（多情况讨论）题目：已知等腰三角形的一个内角为 70°，求另外两个内角的度数。要求：4 人一组，分析 “70° 角是顶角还是底角” 两种情况；情况 1：70° 为顶角→底角 =(180°-70°)/2=55°；情况 2：70° 为底角→顶角 = 180°-2×70°=40°；验证两种情况是否均满足三角形内角和（均成立），派代表展示讨论结果。任务 2：性质 2 的综合应用（辅助线添加）题目：在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，且 BD=AD，DC=AC，求∠B 的度数。要求：小组讨论：设∠B=x，由 AB=AC 得∠C=x；由 BD=AD 得∠BAD=x；由 DC=AC 得∠CAD=∠CDA；推导角度关系：∠CDA=∠B + ∠BAD=2x（三角形外角性质），故∠CAD=2x；由三角形内角和：∠BAC + ∠B + ∠C= x + 2x + x + x=180°→x=36°；总结 “设未知数 + 利用等腰性质推导角度” 的解题思路。幻灯片 8：中考真题演练（能力提升）题目 1（2024・江苏中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，求证：AD=BD=BC。证明过程：证明：∵ AB=AC，∠A=36°（已知），∴ ∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°（等腰三角形性质1）。∵ BD平分∠ABC（已知），∴ ∠ABD=∠DBC=36°（角平分线定义）。∴ ∠A=∠ABD=36°，∴ AD=BD（等角对等边，等腰三角形判定）。又∵ ∠BDC=∠A + ∠ABD=36°+36°=72°（三角形外角性质），∴ ∠BDC=∠C=72°，∴ BD=BC（等角对等边）。∴ AD=BD=BC（等量代换）。题目 2（2024・浙江中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，若 DE=5，则 AB 的长度为（ ）A. 5 B. 8 C. 10 D. 12解析：由 AB=AC，AD 是 BC 高，得 AD⊥BC（三线合一），故△ADC 是直角三角形；E 是 AC 中点，在 Rt△ADC 中，DE 是斜边 AC 的中线，故 DE=½AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；已知 DE=5，得 AC=10，又 AB=AC，故 AB=10；答案：C。题目 3（2024・广东中考）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，点 E、F 在 BC 上，BE=CF，求证：AE=AF。证明过程：证明：∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等腰三角形性质1）。在△ABE和△ACF中，$\begin{cases} AB = AC（已知）， \\ ∠B = ∠C（已证）， \\ BE = CF（已知）， \end{cases}$∴ △ABE ≌ △ACF（SAS全等判定）。∴ AE = AF（全等三角形的对应边相等）。幻灯片 9：课堂小结知识梳理核心概念：等腰三角形：有两条边相等的三角形，包含腰、底边、顶角、底角；等边三角形：特殊的等腰三角形，三边相等，三角均为 60°。两大性质：性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等（由边等推角等，用于角度计算）；性质 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高相互重合（用于线段相等、垂直证明，简化推理）。应用关键：角度计算：注意 “顶角” 与 “底角” 的区分，必要时分类讨论；线段 / 垂直证明：优先考虑 “三线合一”，避免重复证明全等；综合题：结合三角形内角和、外角性质、全等三角形等知识，设未知数推导角度关系。记忆口诀等腰三角形，性质要记清；两边相等称腰，第三边叫底边；【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题;（重点）2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透转化思想;3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法．（难点）学习目标建筑中的等腰三角形：古典建筑 铁塔现代桥梁新课导入定义及相关概念有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.底边新课导入剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？等腰三角形的性质新课讲解ABCAB = AC等腰三角形新课讲解视频：等腰三角形的剪裁新课讲解折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？底边上的中线所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.新课讲解找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.ACBD AB 与 AC BD 与 CDAD 与 AD ∠B 与∠C∠BAD 与∠CAD∠ADB 与∠ADC猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.新课讲解定理1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).应用格式：∵AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角). 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴。要点归纳已知：△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C .证法：作底边 BC 边上的中线 AD.在△ABD 与△ACD 中， AB = AC (已知)， BD = DC (已作)， AD = AD (公共边)，∴ △ABD≌△ACD (SSS).∴ ∠B =∠C.D猜想验证你还有其他的证明方法吗？新课讲解解：∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).∴∠B =∠C = ×(180° - 120°) = 30°.又∵BD = AD (已知)，∴∠BAD =∠B = 30°(等边对等角).同理，∠CAE =∠C = 30°.∴∠DAE =∠BAC -∠BAD -∠CAE = 120° - 30° - 30° = 60°.例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，点 D，E 是底边上两点，且 BD = AD，CE = AE. 求∠DAE 的度数. 例题讲解 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.分析：(1) 找出图中所有的相等角；(2) 找出图中有几个等腰三角形；∠A =∠ABD，∠C =∠BDC =∠ABC.△ABC，△ABD，△BCD.例题讲解(3) 观察∠BDC 与∠A 的关系，∠ABC、∠C 呢?∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A ，∠ABC =∠BDC = 2∠A，∠C =∠BDC = 2∠A.(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来.∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，∴ x + 2x + 2x = 180°.例题讲解解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，∴ ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x.于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC+∠C = x + 2x + 2x = 180°，解得 x = 36°.∴ 在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.例题讲解方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x.新课讲解 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC， ∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数.解：∵ AB = AD = DC，∴∠B = ∠ADB，∠C= ∠DAC.设∠C = x°，则 ∠DAC = x°， ，∴∠ABD =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°.在△ABC 中，根据三角形内角和定理，得 2x + x + 26 + x = 180，解得 x = 38.5.∴∠C = x° = 38.5°，∠B = 2x° = 77°.变式训练：新课讲解例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数.解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．例题讲解 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB = AC∠B = ∠C等边三角形AB = AC = BCAB = AC∠B =∠CAC = BC∠A =∠B∠A =∠B =∠C类比探究等边三角形的性质新课讲解推论：等边三角形的三个内角相等，且都等于 60°.已知：△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明： ∵ AB = AC， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理，∠A =∠C. ∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°.新课讲解例4 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数．解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵ BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.方法总结：等边三角形的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质求解.新课讲解2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，过点 A 作 AD∥BC，若∠1 = 70°，则∠BAC 的大小为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° B1. 等腰三角形有一个角是 90°，则另两个角的度数分别是 （　　） A. 30°，60° B. 45°，45° C. 45°，90° D. 20°，70° B课堂练习3. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 __________； (2) 等腰三角形的一个角为 36°，它的另外两个角为 ____________________； (3) 等腰三角形的一个角为 120°，它的另外两个角为 .75°，30°72°，72° 或 36°，108°30°，30°课堂练习4. 如图，已知△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F. ∴ EC∥DF.证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵ BD、CE 为底角的平分线，课堂练习5. 如图，点 P 为等边△ABC 的边 BC 上一点，且∠APD = 80°，AD = AP，求∠DPC 的度数.解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C = 60°. ∵ AD = AP， ∴∠APD =∠ADP = 80°. ∴∠DPC =∠ADP -∠C = 20°.课堂练习知识点1 等腰三角形的“等边对等角”的性质（第1题）   返回  （第2题） 返回（第3题）   返回 A（第4题）  返回知识点2 等边三角形的性质（第5题） 11 返回（第6题） C  返回（第7题）  AA. 3 B. 2 C. 1 D. 0等腰三角形的性质等边对等角注意是指同一个三角形中推论等边三角形三个内角相等，且均等于 60°课堂小结必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！