14.1 全等三角形及其性质-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

14.1 全等三角形及其性质幻灯片 1：封面标题：14.1 全等三角形及其性质副标题：认识全等图形，探究全等三角形的对应关系与性质配图：包含完全重合的两个三角形（标注对应顶点、边、角）、生活中全等图形（如双胞胎照片、相同的拼图块）的组合示意图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（生活中的全等现象）生活场景展示两张完全相同的身份证卡片（形状、大小完全一致）；打印店复印的两张相同的三角形图纸；围棋棋盘上的两个相同的棋子；建筑施工中，按同一模板浇筑的两个三角形混凝土构件。问题聚焦这些物品有什么共同特征？（预设答案：形状相同、大小相等，能够完全重合）若将两个完全相同的三角形图纸叠放在一起，它们的顶点、边、角会有怎样的对应关系？这种 “完全重合” 的三角形，在数学中如何定义？它们具有哪些特殊性质？引出主题：数学中，我们将能够完全重合的图形称为 “全等图形”，而能够完全重合的三角形叫做 “全等三角形”。本节课将深入探究全等三角形的定义、对应关系及核心性质。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解全等图形、全等三角形的定义：能够完全重合的图形（三角形）叫做全等图形（三角形）；掌握全等三角形的表示方法（用 “≌” 表示，标注对应顶点）；熟记全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等；能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，运用性质解决线段长度与角度计算问题。过程与方法通过 “观察全等图形→动手操作重合三角形→分析对应关系→归纳性质” 的过程，培养直观想象与逻辑分析能力；经历 “找对应关系→用性质计算” 的应用过程，掌握 “以对应为核心” 的解题思路。情感态度与价值观感受全等图形在生活中的广泛应用，体会数学与现实的紧密联系；在动手操作与合作探究中，增强学习兴趣，培养严谨的对应意识（避免混淆对应边与非对应边）。二、教学重难点重点：全等三角形的定义与表示方法；全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）；难点：准确识别全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角（尤其是图形旋转、翻转后的对应关系）；运用全等三角形性质解决含间接条件的计算问题（如通过对应边求未知边，通过对应角求未知角）。幻灯片 4：知识点 1—— 全等图形与全等三角形的定义一、全等图形的定义能够完全重合的两个图形叫做全等图形。关键词解析：“完全重合”：既要求形状相同，又要求大小相等（区别于 “相似图形”，相似图形仅形状相同，大小可能不同）；示例：两个边长为 2cm 的正方形是全等图形，而边长为 2cm 和 3cm 的正方形是相似图形，不是全等图形。二、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合过程演示：取两个完全相同的三角形纸板（△ABC 和△DEF），将△DEF 叠放在△ABC 上，使顶点 D 与 A、E 与 B、F 与 C 重合，边 DE 与 AB、EF 与 BC、DF 与 AC 重合，角∠D 与∠A、∠E 与∠B、∠F 与∠C 重合，此时两个三角形完全重合，即△ABC≌△DEF。注意：全等三角形的位置（如旋转、翻转）不影响其全等性，只要能通过平移、旋转、翻转后完全重合，就是全等三角形。幻灯片 5：知识点 2—— 全等三角形的对应关系与表示方法一、对应元素的定义当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。示例：若△ABC≌△DEF，且重合时 A 与 D、B 与 E、C 与 F 重合，则：对应顶点：A↔D，B↔E，C↔F；对应边：AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF；对应角：∠A↔∠D，∠B↔∠E，∠C↔∠F。二、对应关系的识别方法根据重合位置识别：直接观察叠放重合的三角形，重合的元素即为对应元素；根据表示方法识别：全等三角形的表示中，对应顶点的字母按顺序书写（如△ABC≌△DEF，第一个字母 A 对应 D，第二个 B 对应 E，第三个 C 对应 F）；根据图形特征识别：对应边所对的角是对应角（如 AB 对应 DE，AB 所对的∠C 与 DE 所对的∠F 是对应角）；对应角所对的边是对应边（如∠A 对应∠D，∠A 所对的 BC 与∠D 所对的 EF 是对应边）；公共边、公共角通常是对应边、对应角（如两个三角形共边 AC，则 AC 是对应边）。三、全等三角形的表示方法用符号 “≌” 表示 “全等于”，读作 “全等于”。书写时，需将对应顶点的字母按顺序排列，以明确对应关系。示例：正确表示：△ABC≌△DEF（明确 A→D，B→E，C→F 对应）；错误表示：△ABC≌△DFE（对应顶点顺序混乱，易混淆对应边与对应角）。幻灯片 6：知识点 3—— 全等三角形的性质一、核心性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。推理依据：因全等三角形能够完全重合，故对应边长度相等，对应角度数相等。符号表示：若△ABC≌△DEF，则：对应边相等：AB = DE，BC = EF，AC = DF；对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。二、性质的延伸推论全等三角形的周长相等（因三边对应相等，周长 = 三边之和也相等）；全等三角形的面积相等（因形状、大小完全相同，面积 = 底 × 高 / 2 也相等）；全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等（后续将详细证明，本质是对应边、对应角相等的延伸）。三、性质应用示例（基础计算）例题 1：已知△ABC≌△DEF，其中 AB = 5cm，BC = 7cm，∠A = 60°，∠B = 80°，求 DE、EF 的长度及∠D、∠F 的度数。解析：由对应关系（△ABC≌△DEF，A→D，B→E，C→F）：对应边：DE = AB = 5cm，EF = BC = 7cm；对应角：∠D = ∠A = 60°，∠E = ∠B = 80°；由三角形内角和得∠F = 180° - ∠D - ∠E = 180° - 60° - 80° = 40°（或∠F = ∠C，∠C = 180° - 60° - 80° = 40°）。答案：DE = 5cm，EF = 7cm，∠D = 60°，∠F = 40°。幻灯片 7：知识点 4—— 复杂图形中全等三角形的对应关系（旋转与翻转）一、旋转后的全等三角形示例如图，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 30° 得到△ADE，且△ABC≌△ADE，找出对应顶点、对应边、对应角。解析：旋转中心为 A，故 A 是公共对应顶点（A↔A）；旋转后 B→D，C→E，故对应顶点：A↔A，B↔D，C↔E；对应边：AB↔AD，BC↔DE，AC↔AE；对应角：∠BAC↔∠DAE，∠B↔∠D，∠C↔∠E。二、翻转后的全等三角形示例如图，将△ABC 沿直线 BC 翻转得到△DBC，且△ABC≌△DBC，找出对应顶点、对应边、对应角。解析：翻转后 A→D，B、C 是公共顶点（B↔B，C↔C）；对应顶点：A↔D，B↔B，C↔C；对应边：AB↔DB，AC↔DC，BC↔BC（公共边）；对应角：∠A↔∠D，∠ABC↔∠DBC，∠ACB↔∠DCB。三、解题技巧：找对应关系的 “三看” 原则看字母顺序：全等符号 “≌” 前后的字母按对应顺序排列，直接匹配对应顶点；看图形特征：大角对应大角、大边对应大边（如最大角对应最大角，最长边对应最长边）；看位置关系：相邻顶点对应相邻顶点、相邻边对应相邻边（如与∠A 相邻的边 AB、AC，对应与∠D 相邻的边 DE、DF）。幻灯片 8：课堂互动（动手操作与探究）任务 1：小组合作 —— 制作与重合全等三角形材料：每组准备硬纸板、剪刀、直尺、量角器；步骤：用直尺和量角器在硬纸板上画一个三角形（标注顶点 A、B、C，边 AB=4cm，BC=5cm，∠B=60°）；沿三角形轮廓剪下，再用同样方法制作一个完全相同的三角形（标注 D、E、F）；将两个三角形叠放，观察是否完全重合，找出对应顶点、对应边、对应角；尝试将其中一个三角形旋转 180°、翻转后再叠放，重新识别对应关系，记录变化。任务 2：性质应用 —— 计算未知边与角题目：已知△ABC≌△FGH，其中 AC = 6cm，∠B = 70°，∠G = 70°，GH = 5cm，且∠A 是△ABC 中的最大角，求：对应顶点的对应关系；FG、FH 的长度；∠F、∠H 的度数。要求：4 人一组，先独立分析对应关系，再小组讨论计算，派代表展示思路与结果。参考解析：对应关系：∠B = ∠G = 70°，故 B↔G；GH = BC = 5cm（对应边），故 C↔H；剩余 A↔F，即△ABC≌△FGH（A→F，B→G，C→H）；FG = AB（对应边），因∠A 是最大角，故 BC 是最小边（BC=5cm），AC=6cm，AB 为最长边（需结合三边关系，但此处可通过对应边得 FH = AC = 6cm，FG = AB 需结合其他条件，若题目补充 AB=7cm，则 FG=7cm）；∠F = ∠A（最大角，需结合内角和，若∠C=50°，则∠A=60°，∠F=60°，∠H=∠C=50°）。幻灯片 9：中考真题演练（基础应用）题目 1（2024・广东中考）如图，△ABC≌△DEC，点 A 和点 D 是对应顶点，点 B 和点 E 是对应顶点，若 AB = 3，BC = 4，AC = 5，则 CE 的长为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析：由对应关系：△ABC≌△DEC（A→D，B→E，C→C），故 BC = CE（对应边）；BC = 4，故 CE = 4，故选 B。题目 2（2024・江苏中考）已知△OAB≌△OCD，OA = OC，∠A = ∠C，下列结论错误的是（ ）A. OB = OD B. ∠AOB = ∠COD C. AB = CD D. ∠OBA = ∠OCD解析：全等三角形对应边相等：OB = OD（A 正确），AB = CD（C 正确）；对应角相等：∠AOB = ∠COD（B 正确），∠OBA = ∠ODC（而非∠OCD，D 错误）；故选 D。题目 3（2024・浙江中考）如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，若△ABC 与△DEF 的周长之差为 12，BC = 6，则 EC 的长为（ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12解析：平移后△ABC≌△DEF，周长相等？（题目表述修正：应为 “△ABC 与四边形 ABED 的周长之差为 12”）；若修正后：△ABC 周长 = AB + BC + AC，四边形 ABED 周长 = AB + BE + ED + AD；全等故 AC = DF，AD = BE，ED = BC = 6；周长差 = (AB + BE + 6 + BE) - (AB + 6 + AC) = 2BE - AC，结合 AC = DF = EC + CF，进一步推导得 EC = 3；故选 A（具体需结合图形，核心是利用全等三角形对应边相等简化计算）。幻灯片 10：课堂小结知识梳理全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，形状、大小均相同；对应关系：包括对应顶点、对应边、对应角，可通过字母顺序、图形特征、位置关系识别；表示方法：用 “≌” 表示，对应顶点字母按顺序书写（如△ABC≌△DEF）；核心性质：对应边相等、对应角相等；延伸性质：周长相等、面积相等、对应中线 / 高 / 角平分线相等；应用关键：先找准对应关系，再用性质计算未知边与角。记忆口诀全等三角能重合，对应元素要记清；顶点字母顺次写，边角对应才分明；对应边等角也等，周长面积皆相等；找对应，看特征，大边大角对大形。幻灯片 11：作业布置基础题教材 PXX 练习 1-4 题（巩固全等三角形的定义、对应关系与性质）；已知△ABC≌△MNP，AB = 4cm，∠A = 65°，∠B = 70°，求 MN 的长度及∠M、∠P 的度数。提升题如图，△ABC≌△ADE，∠BAC = ∠DAE = 90°，AB = AD，BC = 5cm，求 DE 的长度及∠C 的对应角；已知两个全等三角形的周长均为 20cm，其中一个三角形的两边长分别为 6cm 和 7cm，求另一个三角形的三边长度。拓展题动手操作：用硬纸板制作两个全等三角形，尝试通过平移、旋转、翻转变换，观察对应关系的变化，记录 3 种不同变换后的对应顶点、边、角；预习下节课 “全等三角形的判定（SSS）”，思考：如何通过最少的条件判断两个三角形全等？【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 新课导入如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们有什么特点？它们的形状、大小分别相同你能再举出一些类似的例子吗？推进新课操作1：和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察他们能完全重合吗？能够完全重合的两个图形叫作全等形.操作2：请同学们将两张纸重叠，画出一个三角形，用剪刀剪下这个三角形，得到的两个三角形能完全重合吗？能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等.如图，△ABC与△DEF全等，当△ABC与△DEF重合时:①与顶点A重合的点是哪个点？能互相重合的点叫作对应顶点点D②与∠A重合的角是哪个角？能互相重合的角叫作对应角③与边AB重合的边是哪条边？能互相重合的边叫作对应边∠DDE根据右图完成下表DFDFEFFE全等用符号“≌”表示，读作“全等于”【注意】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.△ABC和△DEF全等△ABC≌△DEF全等三角形的表示方法：练一练如图，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE，则图中全等的三角形记作__________________，∠BAC的对应角为_______，DE的对应边为______.△ABC≌△ADE∠DAEBC寻找对应元素的方法:对应边公共边一定是对应边长对长，短对短，中对中对应角公共角一定是对应角对顶角一定是对应角大角对大角，小角对小角△ABC≌△DEF. 对应边有什么关系？AB=DEBC=EFAC=DF△ABC≌△DEF. 对应角有什么关系？∠A=∠D∠B=∠E∠C=∠F全等三角形的对应边相等.性质全等三角形的对应角相等.用几何语言表述：∵△ABC ≌△DEF，(已知) ∴AB =DE，BC =EF，AC =DF(全等三角形的对应边相等)∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F(全等三角形的对应角相等)全等三角形的性质如图，△EFG≌△NMH，EF = 2.1 cm，EH = 1.1 cm，NH = 3.3 cm.练一练（1）求线段 NM 及 HG 的长度；解：∵ △EFG≌△NMH， ∴ NM = EF = 2.1 cm， EG = NH = 3.3 cm. ∴ HG = EG - EH = 3.3 - 1.1 = 2.2 (cm).如图，△EFG≌△NMH，EF = 2.1 cm，EH = 1.1 cm，NH = 3.3 cm.练一练（2）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并说明理由.解：结论：EF∥NM (答案不唯一). 理由：∵ △EFG≌△NMH， ∴∠E =∠N. ∴ EF∥NM.全等三角形两种表示方法：区别△ABC≌△DEF△ABC和△DEF全等对应关系已确定对应关系不确定（1）把△ABC沿某一方向平移，得到△DEF；（2）把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△GBC；（3）把△ABC绕点A旋转，得到△AMN.上述平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等吗？ABCGBCA（1）（2）ACBNM（3）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变.平移、翻折、旋转前后的图形全等.随堂演练【教材P92 练习 T1】解：(1)能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.(2)全等三角形的性质有：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.1.回答下列问题：（1）什么样的两个三角形叫作全等三角形？（2）全等三角形有哪些性质？2.图中△ABC和△ACD全等，其中B和D是对应顶点，AB和CD是对应边. 请按对应顶点的对应顺序写出表示这两个三角形全等的式子，并写出这两个全等三角形的对应边和对应角.【教材P92 练习 T2】解：△ABC≌△CDA.对应边：AB与CD，BC与 DA，AC与 CA；对应角：∠B与∠D，∠BAC与∠DCA，∠BCA与∠DAC.3.如图，△ABC≌△CED， ∠B 和∠ DEC 是对应角，BC 与ED 是对应边. 说出另两组对应角和对应边.解：∠A 和∠DCE 是对应角，∠ACB 和∠D 是对应角；AC 和 CD 是对应边，AB 和 CE 是对应边.【教材P92 练习 T3】知识点1 全等形及其性质1. ［2025南京期中］如图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”图片，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等形的是( )DA. B. C. D. 返回2. 下列说法不正确的是( )DA. 用同一张底片冲洗出来的10张一英寸照片是全等形B. 我国国旗上的4颗小五角星是全等形C. 全等形的面积一定相等D. 所有的正方形都是全等形 返回知识点2 全等三角形及其对应元素 C  返回      返回知识点3 全等三角形的性质（第5题）   返回（第6题）6. 芜湖古城内的建筑多为徽派建筑，这种建筑风格以其独特的榫卯结构而闻名.榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他B   返回（第7题） AA. 12 B. 13 C. 14 D. 15 返回课堂小结全等形概念:能够完全重合的两个图形全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形符号表示用“≌”连接两个全等三角形性质对应边相等对应角相等必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！