13.2.4三角形的外角-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

13.2.4 三角形的外角幻灯片 1：封面标题：13.2.4 三角形的外角副标题：探究三角形外角的定义、性质与应用配图：包含标注外角、相邻内角、不相邻内角的三角形示意图（用不同颜色区分）署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（生活中的外角现象）生活场景展示伸缩晾衣架的支架：打开时，支架与晾衣杆形成的角（类似三角形的外角）；自行车车架的连接角：车架管材延长后与另一管材形成的角；房屋屋顶的倾斜角：屋顶斜面延长后与墙体形成的角。问题聚焦这些生活场景中 “延长后形成的角”，在三角形中如何定义？三角形的外角与它的内角之间存在怎样的数量关系？（如外角是否等于某个内角的和）能否利用外角的关系快速计算三角形中未知角的度数？引出主题：三角形的外角是由内角延伸而来的特殊角，它与内角存在固定的数量关系，掌握这一关系能简化几何角度计算，这就是本节课的探究核心。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解三角形外角的定义：由三角形的一边延长线与另一边组成的角，叫做三角形的外角；掌握三角形外角的两大性质：① 外角等于与它不相邻的两个内角的和；② 外角大于任何一个与它不相邻的内角；能运用三角形外角的性质解决角度计算（如求未知角、证明角度关系）与实际问题。过程与方法通过 “观察图形→定义外角→推理证明性质→应用验证” 的过程，深化逻辑推理与数形结合思想；经历 “单个外角分析→多个外角综合” 的探究，提升多角度分析几何问题的能力。情感态度与价值观感受三角形外角在生活中的广泛应用，体会数学与现实的紧密联系；在复杂角度推理中，培养严谨的思维习惯，增强几何学习的信心。二、教学重难点重点：三角形外角的定义；外角的核心性质（外角等于不相邻两内角和）；难点：三角形外角性质的证明（尤其是 “外角等于不相邻两内角和” 的推理过程）；复杂图形中（如多个三角形组合）外角的识别与性质应用。幻三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（如△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD = ∠A + ∠B）。二、推理证明已知：如图，在△ABC 中，延长 BC 至 D，∠ACD 是△ABC 的外角；求证：∠ACD = ∠A + ∠B；证明过程：证明：∵ 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理）， ∠ACD + ∠ACB = 180°（邻补角的定义，外角与相邻内角互补），∴ ∠A + ∠B + ∠ACB = ∠ACD + ∠ACB（等量代换），∴ ∠A + ∠B = ∠ACD（等式性质，两边同时减去∠ACB）。即∠ACD = ∠A + ∠B。三、应用示例例题 1：在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 60°，延长 BC 至 D，求∠ACD 的度数。解析：由外角性质得：∠ACD = ∠A + ∠B = 40° + 60° = 100°。变式：在△ABC 中，延长 BC 至 D，∠ACD = 120°，∠A = 50°，求∠B 的度数（答案：∠B = ∠ACD - ∠A = 120° - 50° = 70°）。幻灯片 6：知识点 3—— 三角形外角的性质（二）：外角大于不相邻内角一、性质内容三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（如△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B）。二、推理依据由 “外角等于不相邻两内角的和” 推导：∠ACD = ∠A + ∠B，且∠B > 0°（三角形内角为正数），故∠ACD = ∠A + 正数 > ∠A；同理，∠ACD = ∠A + ∠B > ∠B（因∠A > 0°）。三、应用示例例题 2：在△ABC 中，∠ACD 是外角，求证：∠ACD > ∠A。证明过程：证明：∵ ∠ACD = ∠A + ∠B（三角形外角等于不相邻两内角的和）， ∠B是△ABC的一个内角，∴ ∠B > 0°（三角形内角的取值范围），∴ ∠ACD = ∠A + ∠B > ∠A（不等式性质，一个数加上正数大于原数）。变式：在△ABC 中，∠A = 30°，∠ACD 是外角，判断∠ACD 与∠A 的大小关系（答案：∠ACD = 30° + ∠B > 30° = ∠A）。幻灯片 7：知识点 4—— 三角形外角和定理一、定理内容三角形的三个外角的和等于 360°（注意：是每个顶点取一个外角，共三个外角，而非六个外角的和）。二、推理证明已知：如图，∠1、∠2、∠3 分别是△ABC 三个顶点处的外角（∠1 是∠BAC 的外角，∠2 是∠ABC 的外角，∠3 是∠ACB 的外角）；求证：∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°；证明过程：证明：∵ ∠1是△ABC的外角，∴ ∠1 = ∠ABC + ∠ACB（外角等于不相邻两内角和）， ∠2是△ABC的外角，∴ ∠2 = ∠BAC + ∠ACB（外角等于不相邻两内角和）， ∠3是△ABC的外角，∴ ∠3 = ∠BAC + ∠ABC（外角等于不相邻两内角和），∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2(∠BAC + ∠ABC + ∠ACB)（等式性质，合并同类项）。又∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2×180° = 360°（等量代换）。三、应用示例例题 3：在△ABC 中，三个外角的度数比为 2:3:4，求与这三个外角相邻的内角的度数。解析：设三个外角的度数分别为 2x、3x、4x，由外角和定理得：2x + 3x + 4x = 360°，解得 x = 40°；三个外角的度数分别为 80°、120°、160°；与外角相邻的内角 = 180° - 外角，故三个内角的度数分别为 180° - 80° = 100°，180° - 120° = 60°，180° - 160° = 20°。幻灯片 8：课堂互动（分组探究与应用）任务 1：复杂图形中的外角应用题目：如图，在△ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，CD 平分∠ACB，延长 BC 至 E，求∠DCE 的度数（提示：先求∠ACB，再利用角平分线与外角性质）。要求：4 人一组，先独立分析图形中的内角与外角关系；步骤分解：① 求∠ACB；② 求∠ACD（角平分线）；③ 求∠DCE（利用邻补角或外角）；小组讨论不同解法，派代表展示解题过程。参考解析：由三角形内角和得：∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 60° = 70°；CD 平分∠ACB，故∠ACD = ∠DCB = 35°；∠DCE 是∠DCB 的邻补角，故∠DCE = 180° - 35° = 145°；（或利用外角：∠ACE = ∠A + ∠B = 110°，∠DCE = ∠ACD + ∠ACE = 35° + 110° = 145°）。任务 2：外角性质的证明应用题目：如图，求证：∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C（提示：连接 AD，利用三角形外角性质）。要求：小组合作，通过添加辅助线构造三角形外角；写出完整的证明过程，标注每一步推理依据；分享证明思路，对比不同辅助线的作法。参考解析：连接 AD 并延长至 E，∵ ∠BDE 是△ABD 的外角，∴ ∠BDE = ∠B + ∠BAD（外角性质），∵ ∠CDE 是△ACD 的外角，∴ ∠CDE = ∠C + ∠CAD（外角性质），∴ ∠BDC = ∠BDE + ∠CDE = ∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD = ∠A + ∠B + ∠C（∠BAD + ∠CAD = ∠A）。幻灯片 9：中考真题演练（综合应用）题目 1（基础题）：（2024・广东中考）如图，在△ABC 中，∠A = 30°，∠B = 40°，延长 BC 至 D，则∠ACD 的度数为（ ）A. 70° B. 80° C. 110° D. 120°解析：由外角性质得：∠ACD = ∠A + ∠B = 30° + 40° = 70°，故选 A。题目 2（提升题）：（2024・江苏中考）如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，点 D 在 AB 上，DE⊥AC 于 E，∠ADE = 110°，求∠BDE 的度数。解析：在 Rt△ABC 中，∠A = 90° - 30° = 60°；DE⊥AC，故∠AED = 90°，在△ADE 中，∠ADE = 110°，故∠DAE = 180° - 90° - 110° = -20°（错误，应利用外角）；正确思路：∠ADE 是△BDE 的外角（延长 ED 至 F，∠ADF = ∠ADE = 110°，∠ADF 是△BDE 的外角），或：∠A + ∠ADE + ∠BDE = 180°（平角），∠A = 60°，∠ADE = 110°，故∠BDE = 180° - 60° - 110° = 10°；答案：10°。题目 3（拓展题）：（2024・浙江中考）如图，在五角星 ABCDE 中，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E 的度数（提示：利用三角形外角和性质）。解析：设五角星的五个尖角分别为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E，连接形成中间的五边形；每个尖角所在的三角形的外角等于另外两个内角的和，如∠1 = ∠B + ∠D，∠2 = ∠A + ∠C（∠1、∠2 为中间三角形的内角）；中间三角形的内角和为 180°，故∠1 + ∠2 + ∠E = 180°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°；答案：180°。幻灯片 10：课堂小结知识梳理三角形外角的定义：边的延长线与另一边组成的角，有 6 个外角（对顶外角相等）；外角的核心性质：性质 1：外角 = 与它不相邻的两个内角的和（核心，用于角度计算）；性质 2：外角 > 任何一个与它不相邻的内角（用于角度大小比较）；外角和定理：三个外角（每个顶点一个）的和为 360°；关键关联：外角与相邻内角互补（和为 180°）。记忆口诀三角形外角有特征，边延之后外部生；不相邻角和相等，单个还比不邻大；三个外角和三百六，角度计算常用它。幻灯片 11：作业布置基础题教材 PXX 练习 1-3 题（巩固外角的定义与性质）；在△ABC 中，∠A = 55°，∠B = 45°，求△ABC 的所有外角的度数。提升题如图，在△ABC 中，∠C = 70°，BD 平分∠ABC，∠ABD = 25°，延长 BC 至 E，求∠ADE 的度数（提示：先求∠ABC，再利用外角）；证明：三角形的一个外角的平分线与相邻内角的平分线互相垂直（提示：利用邻补角与角平分线性质）。拓展题探究 “多边形的外角和”（如四边形、五边形），尝试推导多边形外角和是否【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 学习目标123理解并掌握三角形的外角的概念；能够在复杂图形中找出外角；会利用三角形的外角性质解决问题.复习回顾1.在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = 52°，则∠C = .2.如图，在△ABC 中， ∠A = 70°，∠B = 60°，则∠ACB = ，∠ACD = .3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48°50°130°三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角.它们的和是 180°.推进新课问题1：如图，你能找到几个角(除了平角)？它们有什么区别？1　2　有4个角：∠A，∠B，∠1，∠2.其中∠A，∠B，∠1都在△ABC内部，都是△ABC的内角.如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角问题2：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠BCE是△ABC的一个外角；∠DCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE不是△ABC的一个外角.问题3：如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；问题4：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？△ABC的外角有6个，分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6.问题5：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）∠1和∠6是对顶角，∠1=∠2；∠2和∠5是对顶角，∠2=∠5；∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4.归纳：三角形外角的特征角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形一边的延长线；每个三角形都有6个外角.练一练如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.问题6：△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？∠ACD与∠ACB互补问题7：△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角（∠A，∠B）有什么关系？D证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°， (三角形内角和定理)∴∠A+∠B=180°-∠ACB . (等式的性质)∵∠ACB+∠ACD=180°， (平角的定义)∴∠ACD=180°-∠ACB . (等式的性质)∴∠ACD=∠A+∠B . (等量代换)已知：如图，△ABC .求证：∠ACD =∠A +∠B.ABCDE证明：过点C作CE∥AB.则有∠B=∠ECD，(两直线平行，同位角相等)∠A=∠ACE，(两直线平行，内错角相等)又∠ECD+∠ACE=∠ACD，∴∠ACD=∠A+∠B.(等量代换)问题8：这三个角之间还有其它的关系吗？D∠A+∠B=∠ACD①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”)②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”)＞＞三角形内角和定理的推论:推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∠A +∠B =∠ACD∠ACD＞∠A， ∠ACD＞∠B例5 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.求证：∠1+∠2+∠3=360°.分析：要证的是∠1+∠2+∠3=360°.已知：①∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角；②根据三角形内角和定理知道3个内角的和是180°；③三角形的每个外角等于与它不相邻的两个内角的和.例5 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.求证：∠1+∠2+∠3=360°.证明：∠1=∠ABC+∠ACB， ∠2=∠BAC+∠ACB， ∠3=∠BAC+∠ABC，(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC ). (等式性质)∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，(三角形内角和定理)∴∠1+∠2+∠3=360°.例5 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.求证：∠1+∠2+∠3=360°.解法二：∠BAC +∠1 = 180°① ， ∠CBA +∠2 = 180°②，∠ACB +∠3 = 180°③，又知∠BAC +∠CBA +∠ACB = 180°，①+ ②+ ③得∠BAC +∠CBA +∠ACB+ (∠1 +∠2 +∠3) = 540°，所以∠1 +∠2 +∠3 = 540° - 180° = 360°.三角形的外角和为360°.随堂练习1.填空：(1)如图，△ABC的边BC在直线DE上，∠A=60°，∠ACE=110°，则∠ABC=_____，∠1=_____；【教材P82 练习 T1】(2)在直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是_____.50°130°90°【教材P82 练习 T2】2.如图，P是△ABC内任一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“>”或“