14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形幻灯片 1：封面标题：14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形副标题：探究 “SAS” 全等判定定理 —— 从性质到判定的跨越配图：包含标注 “两边及夹角” 的两个全等三角形示意图、尺规作图工具（圆规、直尺）的组合图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（从性质到判定的思考）回顾与疑问回顾全等三角形的性质：若△ABC≌△DEF，则对应边相等（AB=DE，BC=EF，AC=DF），对应角相等（∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F）；反向思考：要判断两个三角形全等，是否需要验证所有 “三边三角” 都对应相等？能否通过更少的条件判定全等？生活场景中的判定需求工人师傅制作三角形零件时，只需测量 “两条边的长度” 和 “这两条边的夹角”，就能确保新零件与原零件全等（无需测量所有边和角）；木工拼接三角形框架时，固定 “两根木条的长度” 和 “木条间的夹角”，就能确定框架的形状和大小（不会变形）。问题聚焦给定 “两条边及其夹角分别相等” 这三个条件，能否判定两个三角形全等？若将 “夹角” 改为 “其中一条边的对角”，还能判定全等吗？引出主题：本节课将探究全等三角形的首个判定方法 ——“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”（简记为 “SAS”），明确判定的条件、推理过程及应用规范。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解并掌握 “SAS” 全等判定定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；能运用尺规作图，根据 “两边及夹角” 画出唯一的三角形（验证定理的唯一性）；会用 “SAS” 定理证明两个三角形全等，并结合全等性质解决线段相等、角相等的问题；辨析 “夹角” 与 “对角” 的区别，明确 “SAS” 中 “夹角” 的必要性（避免误用 “SSA”）。过程与方法通过 “动手作图→观察重合→推理证明→应用验证” 的过程，培养直观想象与逻辑推理能力；经历 “从特殊到一般” 的探究，体会 “SAS” 定理的推导思路，掌握 “判定定理 + 性质” 的综合应用方法。情感态度与价值观感受数学判定定理的严谨性，体会 “最少条件确定图形” 的数学思想；在合作作图与证明中，增强团队协作意识，提升几何证明的规范性与信心。二、教学重难点重点：“SAS” 全等判定定理的理解与应用（规范书写证明过程）；难点：“SAS” 定理的推导过程（通过尺规作图验证唯一性）；区分 “SAS”（夹角）与 “SSA”（对角），避免判定方法的误用；结合 “SAS” 定理与全等性质，解决含间接条件的证明问题（如需要先证边 / 角相等，再用 SAS）。幻灯片 4：知识点 1——“SAS” 定理的探究与推导一、动手作图：验证 “两边及夹角” 确定唯一作图验证 “SSA” 的不唯一性给定条件：画△ABC，使 AB=3cm，BC=2cm，∠A=30°（即 “两边 AB、BC 及其中一边 AB 的对角∠A”）；作图结果：步骤 1：画∠A=30°，在一边上截取 AB=3cm；步骤 2：以 B 为圆心，2cm 为半径画弧，与∠A 的另一边交于两点（C₁和 C₂）；形成两个三角形：△ABC₁和△ABC₂，均满足 “AB=3cm，BC=2cm，∠A=30°”，但两个三角形不能完全重合（形状不同）。结论：“两边及其中一边的对角分别相等”（SSA）不能判定两个三角形全等，只有 “两边及其夹角分别相等”（SAS）才能判定。二、易混淆场景与辨析方法场景 1：图形中角的位置判断如图，△ABC 中，AB=DC，∠B=∠C，BC=CB，能否用 SAS 判定△ABC≌△DCB？辨析：∠B 是 AB 与 BC 的夹角，∠C 是 DC 与 CB 的夹角，AB=DC，BC=CB，夹角∠B=∠C，符合 SAS，可判定全等。场景 2：角的对应关系错误已知△ABC 和△DEF 中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，能否用 SAS 判定全等？辨析：∠B 是 AB 与 BC 的夹角，∠E 是 DE 与 EF 的夹角，而 AC 与 DF 不是 “夹角的另一边”，属于 SSA，不能判定全等。三、记忆口诀“SAS” 要记清，夹角在中间；“SSA” 不成立，对角难确定；边边角不对，边角边才行。幻灯片 7：课堂互动（分组探究与证明）任务 1：基础证明 —— 应用 SAS 判定全等题目：已知：如图，AB=CD，AB∥CD，求证：△ABC≌△CDA。要求：4 人一组，先分析已知条件（AB=CD，AB∥CD 可推出∠BAC=∠DCA）；找出 “SAS” 所需的三个条件（AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA）；规范书写证明过程，标注每一步依据；派代表展示证明过程，其他小组点评。参考解析：证明：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠BAC = ∠DCA（两直线平行，内错角相等）。在△ABC和△CDA中，$\begin{cases} AB = CD（已知）， \\ ∠BAC = ∠DCA（已证）， \\ AC = CA（公共边）， \end{cases}$∴ △ABC ≌ △CDA（SAS）。任务 2：综合应用 ——SAS 与性质结合题目：已知：如图，AD 是△ABC 的中线，CE⊥AD 于 E，BF⊥AD 交 AD 的延长线于 F，求证：CE=BF。要求：小组讨论：如何通过 SAS 证明△CDE≌△BDF（需先证 CD=BD，∠CED=∠BFD，∠CDE=∠BDF）；利用全等性质推导 CE=BF；总结 “中线”“垂直” 条件在证明中的作用。幻灯片 8：中考真题演练（SAS 应用）题目 1（基础题）：（2024・广东中考）如图，点 E、F 在 AB 上，AE=BF，∠A=∠B，AC=BD，求证：△ACF≌△BDE。证明过程：证明：∵ AE = BF（已知），∴ AE + EF = BF + EF（等式性质），即 AF = BE。在△ACF和△BDE中，$\begin{cases} AC = BD（已知）， \\ ∠A = ∠B（已知）， \\ AF = BE（已证）， \end{cases}$∴ △ACF ≌ △BDE（SAS）。题目 2（提升题）：（2024・江苏中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，AD=AE，求证：BD=CE。解析：由 AB=AC 得∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）；由 AD=AE 得∠ADE=∠AED（等腰三角形等边对等角），故∠ADB=∠AEC（邻补角相等）；证△ABD≌△ACE（AAS）？或用 SAS：过 A 作 AF⊥BC 于 F，由 AB=AC 得 BF=CF，由 AD=AE 得 DF=EF，故 BF-DF=CF-EF，即 BD=CE；或用 SAS：AB=AC，∠BAD=∠CAE（∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC），AD=AE，证△ABD≌△ACE（SAS），得 BD=CE。证明过程（SAS 方法）：证明：∵ AB = AC（已知），∴ ∠B = ∠C（等腰三角形等边对等角）。∵ AD = AE（已知），∴ ∠ADE = ∠AED（等腰三角形等边对等角）。∵ ∠ADE = ∠B + ∠BAD，∠AED = ∠C + ∠CAE（三角形外角性质），∴ ∠BAD = ∠CAE（等式性质）。在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} AB = AC（已知）， \\ ∠BAD = ∠CAE（已证）， \\ AD = AE（已知）， \end{cases}$∴ △ABD ≌ △ACE（SAS）。∴ BD = CE（全等三角形的对应边相等）。幻灯片 9：课堂小结知识梳理SAS 判定定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（需注意 “夹角” 是两边的公共角）；定理推导：通过尺规作图验证 “两边及夹角确定唯一三角形”，证明定理的合理性；应用步骤：找已知条件（边、角）→ 转化间接条件（如等式性质）→ 列 SAS 条件→ 证全等→ 用性质；易错辨析：“SAS”（夹角）≠“SSA”（对角），SSA 不能判定全等。记忆口诀SAS，边角边，夹角在中间；两边等，角也等，全等立判定；证全等，找条件，公共边角记心间；用性质，推边角，规范书写是关键。幻灯片 10：作业布置基础题教材 PXX 练习 1-3 题（巩固 SAS 定理的基础应用）；已知：如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，求证：△AOC≌△BOD。提升题已知：如图，在△ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE=BF，连接 AE、CF，求证：AE=CF；辨析：如图，△ABC 中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，能否用 SAS 证明△ABD≌△ACE？说明理由。拓展题动手操作：用尺规作图，画两个满足 “SSA” 条件的三角形，观察是否全等，并撰写探究报告；预习下节课 “14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形”，思考：“ASA” 判定定理与 “SAS” 有何区别与联系？【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 复习回顾已知△ABC≌△DEF，请你写出对应相等的边和角.AB=DE，BC=EF，AC=DF.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.对应相等的边：对应相等的角：思考1：满足这六个条件可以保证△ABC≌△DEF吗？推进新课思考2：三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形吗？1.只给定一个元素：2.只给定两个元素：1.如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其一个脚，△ABC的形状、大小随之改变. 这说明了什么？那么还需增加什么条件才可以确定△ABC呢？2.如图，把两块三角板的一条直角边放在同一条直线l上，其中∠B，∠C已知，并记两块三角板斜边的交点为A. 其中一个三角板不动，另一个三角板沿着直线l分别向左、向右移动，△ABC的大小随之改变，这又说明了什么？那么还需增加什么条件才可以确定△ABC呢？lABC确定一个三角形的大小和形状，至少需要知道3个元素.① 三边　② 三角　③ 两边一角　④ 两角一边　3个元素确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？已知：如图，△ABC.求作：△A'B'C'，使A'B'=AB，∠B'=∠B，B'C'=BC.(2)在B′M上截取B′A′=BA，在B′N上截取B′C′=BC；作法：(3)连接A′C′．(1)如图，作∠MB′N=∠B；B′MN则△A'B'C' 就是所求作的三角形．思考：将所作的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC 上，看看它们能否完全重合.由此你能得到什么结论？由上可得如下的基本事实：B′MN几何语言:如图，在△ABC与△A'B'C'中：∴△ABC≌△A′B′C′ . (SAS)AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C'，例1 已知：如图，AD∥CB，AD=CB.求证：△ADC≌△CBA.证明：∵AD∥CB，(已知)在△ADC 和△CBA 中，AD = CB， (已知)∠DAC =∠BCA，(已证)∴ △ADC≌△CBA . (SAS)AC = CA，(公共边)∴∠DAC =∠BCA (两直线平行，内错角相等).归纳：证明三角形全等的步骤：①“找”：从已知条件出发，找齐三角形全等的三个条件；②“列”：列出要证明的是哪两个三角形；③“排”：把三角形全等的条件排列好，并用大括号括起来；④“得”：得出全等结论，并标明所用判定方法.例2 如图，在池塘的岸边有 A，B 两点，难以直接量出 A，B 两点间的距离. 你能设计一种量出 A，B 两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.分析：要计算的是A，B两点之间的距离，目前无法直接测量，需要把A，B两点之间的距离进行转换，间接进行求解.如果能够证明△ABC≌△A'B'C'，就可以得出A'B'=AB.解 方案：在岸上取可以直接到达点 A，B 的一点 C，连接 AC 并延长到点 A′，使A′C = AC；连接 BC 并延长到点 B′，使 B′C = BC. 连接A′B′，量出 A′B′ 的长，就得到 A，B 两点之间的距离.理由：∴△ABC≌△A′B′C′ .(SAS) ∴ AB = A′B′ . (全等三角形的对应边相等)AC = A′C′ ， (已知)∠ACB =∠A′CB′， (对顶角相等)BC = B′C ， (已知)在△ABC 和△A′B′C 中，∵练一练如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 求证：△AFD≌△CEB. ∴ AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.证明：∵ AD∥BC，∴ ∠A =∠C.∵ AE = CF，在△AFD 和△CEB 中，AD = CB ，(已知)∠A = ∠C，(已证)AF = CE ， (已证) ∴△AFD≌△CEB . (SAS)随堂演练【教材P97 练习 T1】1.已知：如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE.求证：△ABE≌△ACD.证明：在△ABE 和△ACD 中，AB = AC ，(已知)∠A = ∠A，(公共角)AE = AD ， (已知) ∴△ABE≌△ACD . (SAS)2.已知：如图，AC和BD交于点O，OA=OC，OB=OD.求证: DC//AB.【教材P97 练习 T2】证明：在△ABO 和△CDO 中，OA = OC ，(已知)∠AOB = ∠COD，(对顶角相等)OB = OD ， (已知) ∴△ABO≌△CDO . (SAS)∴∠A=∠C. (全等三角形的对应角相等)∴DC//AB. (内错角相等，两直线平行)3.已知：如图，AB=DB，CB=EB，∠1=∠2.求证：∠A=∠D.【教材P92 练习 T3】证明：∵∠1=∠2，(已知)∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC，(等式的性质)即∠ABC=∠DBE.在△ABC 和△DBE 中，AB = DB ，(已知)∠ABC = ∠DBE，(已证)CB = EB ， (已知) ∴△ABC≌△DBE . (SAS)∴∠A=∠D. (全等三角形的对应角相等)知识点1 判定三角形全等的条件：边角边1.由图中所给定的条件，全等的三角形是______.（填序号）①③ 返回（第2题） C  返回（第3题） B  返回知识点2 “边角边”判定三角形全等的应用（第4题） C （第4题）  返回   返回课堂小结三角形全等的判定方法“边角边”1.内容2.注意（1）已知两边，找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，找这角的另一夹边.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！