4.1.1 对顶角（课件）2025-2026学年2024华东师大版七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：4.1.1 对顶角学科：数学年级：七年级上册版本：华东师大版副标题：认识相交直线形成的特殊角关系幻灯片 2：情境引入 —— 生活中的 “相交与对顶”场景 1：日常物品中的相交线剪刀的两片刀刃相交形成四个角（其中相对的角为对顶角）、十字路口的两条道路相交形成四个角、窗户的横竖边框相交形成的角场景 2：工具与建筑中的相交线直尺的两条邻边延长后相交、建筑图纸中两条相交的直线标注的角、三角尺两条直角边延长相交形成的角提问：两条直线相交时形成的四个角中，相对的角有什么特殊关系？这些相对的角被称为 “对顶角”，如何定义对顶角？对顶角有什么独特的性质？幻灯片 3：对顶角的定义与识别1. 对顶角的定义：当两条直线相交时，形成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。核心要素（缺一不可）：有公共顶点（两条直线的交点）两边互为反向延长线（一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，无公共边）2. 图形示例与标注：绘制两条相交直线 AB 和 CD，交点为 O，形成四个角∠1、∠2、∠3、∠4（按顺时针顺序标注）：∠1 与∠3：有公共顶点 O，∠1 的两边 OA、OD 分别是∠3 的两边 OC、OB 的反向延长线→ 互为对顶角∠2 与∠4：有公共顶点 O，∠2 的两边 OB、OD 分别是∠4 的两边 OA、OC 的反向延长线→ 互为对顶角标注 “对顶角” 符号，明确∠1↔∠3、∠2↔∠4 是对顶角对3. 对顶角的识别方法：步骤 1：找 “相交直线”（只有两条直线相交时才产生对顶角，三条或更多直线相交可能产生多组对顶角，但需逐一判断）步骤 2：找 “公共顶点”（对顶角的顶点是两条直线的唯一交点）步骤 3：看 “两边关系”（两边是否互为反向延长线，可通过延长线画图验证）示例辨析（判断是否为对顶角）：图 1：∠AOB 与∠COD，无公共顶点→ 不是对顶角图 2：∠1 与∠2，有公共顶点但两边不互为反向延长线（有公共边）→ 不是对顶角图 3：∠3 与∠4，有公共顶点且两边互为反向延长线→ 是对顶角幻灯片 4：对顶角的性质 —— 对顶角相等1. 性质推导（逻辑证明）：已知：直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与∠4 是对顶角求证：∠1=∠3，∠2=∠4证明过程：因 AB 是直线，故∠1 + ∠2 = 180°（平角定义，∠1 与∠2 互补）因 CD 是直线，故∠2 + ∠3 = 180°（平角定义，∠2 与∠3 互补）根据 “同角的补角相等”（∠2 是同一个角），可得∠1=∠3同理，∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠4 = 180°，故∠2=∠4结论：对顶角相等（这是对顶角的核心性质，可直接用于角的等量代换）2. 图形验证（直观感知）：用量角器测量相交直线形成的对顶角（如∠1=60°，∠3=60°；∠2=120°，∠4=120°），验证∠1=∠3、∠2=∠4，强化 “对顶角相等” 的直观认知3. 性质的关键说明：“对顶角相等” 是 “双向” 的：若两个角是对顶角，则它们相等；但 “相等的角不一定是对顶角”（如两个独立的 30° 角相等，但不是对顶角）对顶角相等的本质是 “同角的补角相等”，是补角性质的特殊应用幻灯片 5：基础题型 1—— 对顶角的识别与性质应用例题 1：如图，直线 a、b 相交于点 O，已知∠1=50°，求∠2、∠3、∠4 的度数。解答：识别对顶角：∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与∠4 是对顶角由对顶角相等：∠3=∠1=50°由平角定义：∠1 + ∠2 = 180°→ ∠2=180°-50°=130°由对顶角相等：∠4=∠2=130°结论：∠2=130°，∠3=50°，∠4=130°例题 2：如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，指出图中所有的对顶角，并说明共有多少组对顶角。解答：两条直线相交为一组，逐一分析：AB 与 CD 相交：对顶角为∠AOC 与∠BOD，∠AOD 与∠BOC（2 组）AB 与 EF 相交：对顶角为∠AOE 与∠BOF，∠AOF 与∠BOE（2 组）CD 与 EF 相交：对顶角为∠COE 与∠DOF，∠COF 与∠DOE（2 组）总组数：2+2+2=6 组结论：共有 6 组对顶角，分别是∠AOC↔∠BOD、∠AOD↔∠BOC、∠AOE↔∠BOF、∠AOF↔∠BOE、∠COE↔∠DOF、∠COF↔∠DOE幻灯片 6：基础题型 2—— 对顶角性质与角的和差综合运算例题 3：如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，已知∠AOD=120°，求∠BOE 的度数。解答：求∠AOC：AB 与 CD 相交，∠AOD 与∠AOC 互补（平角），故∠AOC=180°-120°=60°求∠COE：OE 平分∠AOC，故∠COE=\(\frac{1}{2}\)∠AOC=\(\frac{1}{2}\)×60°=30°求∠BOC：∠AOD 与∠BOC 是对顶角，故∠BOC=∠AOD=120°（或∠AOC 与∠BOC 互补，∠BOC=180°-60°=120°）求∠BOE：∠BOE=∠BOC + ∠COE=120°+30°=150°结论：∠BOE=150°例题 4：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOC=2x+10°，∠BOD=3x-20°，求 x 的值及∠AOD 的度数。解答：由对顶角相等：∠AOC=∠BOD，故 2x+10°=3x-20°解方程：3x-2x=10°+20°→ x=30°求∠AOC：2×30°+10°=70°求∠AOD：∠AOC 与∠AOD 互补，故∠AOD=180°-70°=110°结论：x=30°，∠AOD=110°幻灯片 7：易错点辨析 —— 对顶角的常见误区易错点 1：误认为 “有公共顶点的角就是对顶角”错误示例：认为∠AOB 与∠AOC（有公共顶点 O，有公共边 OA）是对顶角（忽略 “两边互为反向延长线” 的条件）正确：对顶角需满足 “无公共边，两边互为反向延长线”，∠AOB 与∠AOC 有公共边 OA，不是对顶角易错点 2：混淆 “对顶角相等” 与 “相等的角是对顶角”错误示例：认为 “若∠1=∠2，则∠1 与∠2 是对顶角”（对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角）正确：对顶角一定相等，但相等的角可能是同位角、内错角或独立的角，需结合定义判断是否为对顶角易错点 3：多条直线相交时漏数对顶角组数错误示例：认为三条直线相交于一点只有 2 组对顶角（实际每两条直线相交产生 2 组对顶角，三条直线共 6 组）正确：多条直线相交于一点时，按 “两条直线为一组” 计算对顶角组数，n 条直线相交于一点，组数为 n (n-1)（每条直线与其他 n-1 条直线相交，每组重复一次，故总组数为\(\frac{n(n-1)}{2}\)×2=n(n-1)）易错点 4：计算对顶角时忽略平角或互补关系错误示例：已知∠1=50°（对顶角为∠3），求∠2 时，误算为∠2=50°（未利用平角互补关系）正确：∠1 与∠2 互补，∠2=180°-50°=130°，∠3=∠1=50°，需结合平角定义计算相邻角幻灯片 8：实际应用 —— 对顶角在生活中的场景应用 1：机械设计与安装示例：安装齿轮时，两个咬合的齿轮轴的中心线可看作相交直线，齿轮上对应齿的夹角为对顶角，利用 “对顶角相等” 确保齿轮咬合精准，传动平稳应用 2：建筑测量示例：测量墙体拐角时，若两条墙体边缘延长线相交形成对顶角，已知其中一个角为 90°，则其对顶角也为 90°，可快速判断拐角是否为直角应用 3：交通与道路规划示例：十字路口两条道路相交形成对顶角，若其中一个路口的通行角度为 120°，则其对顶角的通行角度也为 120°，便于规划交通信号灯时长例题：某工厂要加工一个 “V” 型零件，要求两条侧边延长线相交形成的对顶角为 60°，已知其中一条侧边与基准线的夹角为 40°，求另一条侧边与基准线的夹角。解答：设两条侧边延长线相交于点 O，对顶角为∠AOB=∠COD=60°（A、C 为侧边，B、D 为延长线方向）基准线为 OE，已知∠AOE=40°若 OE 在∠AOB 内部，则∠BOE=∠AOB-∠AOE=60°-40°=20°；若 OE 在∠AOB 外部，则∠BOE=∠AOB+∠AOE=100°结论：另一条侧边与基准线的夹角为 20° 或 100°（需结合零件实际结构确定）幻灯片 9：课堂小结（核心知识点）对顶角的定义：两条直线相交形成，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角（核心要素：公共顶点、两边互为反向延长线）对顶角的性质：对顶角相等（推导依据：同角的补角相等，可直接用于角的等量代换）关键应用：识别对顶角：找相交直线、公共顶点、两边关系计算角度：利用对顶角相等和互补关系（平角）求解未知角多条直线相交：按 “两条一组” 计算对顶角组数，避免漏数易错提醒：不混淆 “公共顶点” 与 “对顶角”，需满足两边互为反向延长线不颠倒 “对顶角相等” 的因果关系，相等的角不一定是对顶角幻灯片 10：课堂检测（4 道题）下列关于对顶角的说法，正确的是（ ）A. 有公共顶点的角是对顶角 B. 对顶角一定相等 C. 相等的角是对顶角 D. 有公共边的角是对顶角直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠AOC=70°，则∠BOD 的度数为（ ）A. 70° B. 110° C. 20° D. 35°如图，直线 a、b、c 相交于点 O，已知∠1=40°，∠2=30°，求∠3 的度数（写出步骤）若四条直线相交于一点，求形成的对顶角共有多少组（写出计算过程）答案：B（A 缺两边条件，C 因果颠倒，D 有公共边不是对顶角） 2. A（∠AOC 与∠BOD 是对顶角，相等） 3. 步骤：∠1 与∠4 是对顶角→∠4=40°；∠2 与∠5 是对顶角→∠5=30°；∠3、∠4、∠5 组成平角→∠3=180°-40°-30°=110° 4. 计算过程：四条直线相交于一点，每组两条直线产生 2 组对顶角；总组数为 4×3=12 组（或按公式 n (n-1)=4×3=12），故共有 12 组对顶角幻灯片 11：课后思考问题 1：若两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角（90°），则其余三个角的度数分别是多少？为什么？（提示：对顶角相等，邻角互补，其余三个角均为 90°，即两条直线互相垂直）问题 2：如何利用对顶角性质和角平分线性质，证明 “两条直线相交，若其中一条直线的平分线平分另一条直线形成的角，则两条直线互相垂直”？（提示：设角平分线分角为 α，利用对顶角相等和总和为 180°，推导 α=45°，进而得直角）幻灯片 12：感谢语内容：本次课程到此结束，谢谢大家！2025-2026学年华东师大版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 4.1.1 对顶角第4章 相交线和平行线1.理解对顶角的概念；2.掌握对顶角的性质，并能运用它的性质进行角的运算及解决一些实际问题.问题 解：∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个角的位置保持怎样的关系？AOCBD知识点1 对顶角的概念 如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.∠2和∠4也是对顶角.AOCBD1324如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角.如∠1与∠2.例1 判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角.121212121212√×××××知识点2 对顶角的性质 请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个角的大小保持怎样的关系？AOCBD知识点2 对顶角的性质 动手并思考： 用量角器量一量课本P170页图4.1.2中∠1和∠3的度数，并比较它们的大小关系.你能说明具有这种关系的道理吗？知识点2 对顶角的性质 如图，由∠1＋∠2＝180°， ∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.AOCBD1324对顶角相等知识点2 对顶角的性质 例2 如图，两条直线相交所形成的四个角中,已知 ∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度? 解: ∵ ∠1 与∠2互补，（已知）∵ ∠1与∠3, ∠2与∠4分别是对顶角，（已知）∴ ∠3=∠1=30°， (对顶角相等)  ∠4=∠2=150°. (对顶角相等) ∴ ∠2=180°－∠1＝180°－30°＝150°. (互补的定义)名师点金1. 判断两个角是否为对顶角，需看它们是否满足以下两点：(1)有公共顶点；(2)一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线.2. 解决相交线中求角的度数的问题时，通常用“对顶角相等”这一等量关系将未知角和已知角联系起来.知识点1　邻补角和对顶角1. [母题 教材P172练习T1]　下列图形中，∠1和∠2不是对顶角的有(　C　)C2. 如图，∠1的邻补角是(　B　)B3. 平面上三条不同的直线相交最多能形成对顶角(　A　)A知识点2　对顶角的性质4. [情境题·生活应用 2024 广州韶关期中]生活中常见的伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当∠AOB 减小10°时，∠ COD 的度数(　A　)A5. 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠ AOE 的度数为(　B　)【点拨】因为∠ AOD ＝∠1＝80°，所以∠ AOE ＝∠ AOD －∠2＝80°－30°＝50°.故选B. 【答案】B易错点　因图形不明确，考虑问题不全面而出错6. 两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是( x －20)°和(3 x －100)°，则 x ＝ ⁠.40或75　 　利用邻补角和对顶角的定义和性质求角的度数7. 如图，直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O . (1)请写出∠ AOC ，∠ AOE ，∠ EOC 的对顶角；【解】∠ AOC 的对顶角是∠ BOD ，∠ AOE 的对顶角是∠ BOF ，∠ EOC 的对顶角是∠ DOF . (2)若∠ AOC ＝40°，求∠ BOD ，∠ BOC 的度数.【解】因为∠ AOC 的对顶角是∠ BOD ，∠ AOC ＝40°，所以∠ BOD ＝40°.因为∠ BOC 是∠ BOD 的邻补角，所以∠ BOC ＝180°－40°＝140°. 　利用对顶角的定义探究对顶角计数规律8. [新考法 基本图形法]如图中的直线都相交于一点.(1)请填写下表：2612(2)若 n 条直线相交于一点，则共有多少对对顶角？【解】共有 n ( n －1)对对顶角.对顶角及其性质定义1.两角有相同的顶点；2.它们的两边互为反向延长线.注意：两个角是否为对顶角，只与两角的位置有关.性质必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！