3.6.1 角（课件）2025-2026学年2024华东师大版七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.6.1 角学科：数学年级：七年级上册版本：华东师大版副标题：认识几何中的 “角” 及其基本性质幻灯片 2：情境引入 —— 生活中的 “角” 实例场景 1：日常物品中的角三角尺的尖角（直角、锐角）、时钟指针形成的角（3 点时成直角，6 点时成平角）、剪刀张开的角（可变化的角）场景 2：建筑与自然中的角房屋屋顶的夹角（钝角）、道路转弯处的角（平角或钝角）、树叶边缘的角（锐角）场景 3：人体动作形成的角手臂张开的角（可大可小）、膝盖弯曲的角（锐角或钝角）提问：这些生活中的 “角” 有什么共同特征？在几何中，角是如何定义的？如何表示和度量一个角？幻灯片 3：角的定义与组成要素1. 角的两种定义：定义 1（从静态 “图形” 角度）：由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角。这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。示例：射线 OA 和射线 OB 有公共端点 O，组成的图形就是∠AOB，O 是顶点，OA、OB 是边。定义 2（从动态 “运动” 角度）：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。旋转开始的位置叫做角的始边，旋转结束的位置叫做角的终边。示例：射线 OA 绕端点 O 旋转到 OB 的位置，形成∠AOB，OA 是始边，OB 是终边。2. 角的组成要素：顶点：两条边的公共端点（如∠AOB 的顶点 O）边：两条射线（如∠AOB 的边 OA、OB）内部与外部：角的两条边之间的区域叫做角的内部，外部是边所在直线以外的区域（可通过阴影标注区分）图形表示：画出角的示意图，标注顶点 O、边 OA（始边）、OB（终边），用阴影表示角的内部，直观展示角的构成。幻灯片 4：角的表示方法角的表示需明确 “顶点” 和 “边”，常见表示方法有 4 种：用三个大写英文字母表示（最规范，适用于所有角）：格式：顶点字母写在中间，两边上各取一个点，如∠AOB（顶点 O，边 OA、OB）注意：不能写成∠OAB 或∠OBA（顶点字母需在中间）用一个大写英文字母表示（仅适用于顶点处只有一个角的情况）：格式：直接用顶点字母表示，如∠O（前提是点 O 处只有∠AOB 一个角，无其他角）提醒：若顶点处有多个角（如点 O 处有∠AOB、∠BOC），不能用∠O 表示，否则会混淆。用一个阿拉伯数字表示（适用于复杂图形中多个角的区分）：格式：在角的内部靠近顶点处标注数字，如∠1、∠2示例：在∠AOB 内部标注 “1”，记为∠1；在∠BOC 内部标注 “2”，记为∠2。用一个希腊字母表示（与数字表示类似，适用于多个角的区分）：格式：在角的内部靠近顶点处标注希腊字母（如 α、β、γ），如∠α、∠β示例对比：角的图形适用表示方法不适用表示方法（理由）顶点 O 处仅∠AOB∠AOB、∠O、∠1、∠α无顶点 O 处有∠AOB、∠BOC∠AOB、∠BOC、∠1（∠AOB）、∠2（∠BOC）∠O（无法区分两个角）幻灯片 5：角的度量单位与测量工具1. 角的度量单位：角的大小用 “度”（符号：°）、“分”（符号：′）、“秒”（符号：″）表示，是 60 进制单位：1 度 = 60 分（1° = 60′）1 分 = 60 秒（1′ = 60″）换算示例：0.5° = 30′（0.5×60），30′ = 0.5°，1°30′ = 90′ = 1.5°2. 测量工具：量角器（半圆形，刻度范围 0°~180°，分内圈刻度和外圈刻度）3. 量角器测量角的步骤（以测量∠AOB 为例）：对中：将量角器的中心（圆心）与角的顶点 O 重合重合：将量角器的 0° 刻度线与角的一条边（如 OA，始边）重合读数：观察角的另一条边（OB，终边）所对应的量角器刻度，读取数值（注意区分内圈刻度和外圈刻度，与 0° 刻度线同侧的刻度为正确读数）示例：测量∠AOB 时，OA 与量角器 0° 刻度线重合，OB 对应内圈 60° 刻度，故∠AOB = 60°幻灯片 6：角的大小比较（类比线段比较）角的大小由 “两边张开的程度” 决定，与边的长度无关（边是射线，可无限延伸），常见比较方法有 2 种：叠合法（适用于无测量工具时）：步骤：将两个角的顶点重合（如∠1 的顶点 O 与∠2 的顶点 P 重合）将两个角的一条边重合（如∠1 的边 OA 与∠2 的边 PD 重合，且方向一致）观察另一条边的位置：若另一条边也重合（如∠1 的 OB 与∠2 的 PE 重合），则∠1 = ∠2若另一条边在另一个角的内部（如 OB 在∠2 内部），则∠1 < ∠2若另一条边在另一个角的外部（如 OB 在∠2 外部），则∠1 > ∠2度量法（适用于需精确比较时）：步骤：用量角器分别测量两个角的度数（如∠1 = 50°，∠2 = 60°）比较度数大小：50° < 60°，故∠1 < ∠2示例：比较三角尺上 30° 角和 45° 角的大小，用量角器测量后得 30° < 45°，故 30° 角小于 45° 角。幻灯片 7：角的分类（按度数大小）根据角的度数范围，可将角分为以下类型：锐角：大于 0° 且小于 90° 的角（如 30°、45°、89°）直角：等于 90° 的角（符号：“┐”，如三角尺中的 90° 角，记为∠AOB = 90°）钝角：大于 90° 且小于 180° 的角（如 100°、135°、179°）平角：等于 180° 的角（两条边在同一直线上，方向相反，如∠AOB 的始边 OA 与终边 OB 成直线，∠AOB = 180°）周角：等于 360° 的角（一条射线绕顶点旋转一周形成，两条边重合，如时钟分针旋转一圈形成的角，∠AOB = 360°）度数范围对比表：角的类型度数范围关键特征锐角0° < α < 90°两边张开程度小直角α = 90°两边垂直钝角90° < α < 180°两边张开程度较大平角α = 180°两边成直线周角α = 360°两边重合图形展示：画出五种角的示意图，标注度数和类型，直观区分不同角的特征（如直角标注 “┐”，平角标注直线符号）。幻灯片 8：基础题型 —— 角的表示、度量与分类例题 1：如图，点 O 处有三个角∠AOB、∠BOC、∠AOC，分别用规范方法表示这三个角，并判断能否用∠O 表示其中任意一个角。解答：表示方法：∠AOB（顶点 O，边 OA、OB）、∠BOC（顶点 O，边 OB、OC）、∠AOC（顶点 O，边 OA、OC）能否用∠O：不能，因为点 O 处有三个角，用∠O 无法区分具体是哪个角。例题 2：用量角器测量如图所示的∠1 和∠2，判断它们的类型（锐角、直角、钝角），并比较大小。解答：测量结果：∠1 = 55°，∠2 = 125°类型判断：∠1 90° 且 < 180°（钝角）大小比较：55° < 125°，故∠1 < ∠2例题 3：将下列角度进行单位换算：1.5° = （ ）′ 2. 30′ = （ ）° 3. 1°20′ = （ ）′解答：1.5° = 1.5×60 = 90′ 2. 30′ = 30÷60 = 0.5° 3. 1°20′ = 60′ + 20′ = 80′幻灯片 9：易错点辨析 —— 角的常见误区易错点 1：混淆角的 “边” 与 “长度”错误示例：认为 “角的边越长，角越大”（角的大小由两边张开程度决定，与边的长度无关，边是射线，可无限延伸）正确：角的大小与边的长度无关，仅与两边张开的程度有关（如用不同长度的硬纸条做成的 60° 角，大小相同）易错点 2：角的表示方法错误（顶点字母位置不当）错误示例：将∠AOB 写成∠OAB（顶点字母 O 应在中间，∠OAB 的顶点是 A，不是 O）正确：三个字母表示角时，顶点字母必须在中间，如∠AOB（顶点 O）、∠ABC（顶点 B）易错点 3：平角与直线混淆错误示例：认为 “一条直线就是一个平角”（平角是由两条有公共端点的射线组成的图形，有顶点和边；直线无顶点，是无限延伸的线）正确：平角的两边在同一直线上，但有顶点（如∠AOB，O 是顶点，OA、OB 是边，且 OA 与 OB 成直线），与直线不同。易错点 4：量角器读数时混淆内圈与外圈刻度错误示例：测量∠AOB 时，OA 与外圈 0° 刻度线重合，OB 对应内圈 60° 刻度，误读为 60°（应读外圈对应刻度，如 120°）正确：读数时需与 0° 刻度线同侧，OA 与外圈 0° 重合，读外圈刻度；与内圈 0° 重合，读内圈刻度。幻灯片 10：实际应用 —— 角在生活中的作用应用 1：时间与角度示例：时钟一圈为 360°，共 12 个大格，每个大格对应 30°（360°÷12），3 点时，时针与分针成 3 个大格，夹角为 90°（直角）；6 点时，成 6 个大格，夹角为 180°（平角）。应用 2：建筑与工程示例：建筑工人砌墙时，用 “直角尺” 确保墙面与地面成 90°（直角），避免墙面倾斜；安装空调外机时，调整支架角度为 45°（锐角），确保稳固。应用 3：测量与导航示例：指南针利用 “方位角” 确定方向（如北偏东 30°，表示从正北方向向东旋转 30° 的角）；地图上用角度标注两地的方位关系。例题：小明观察时钟，发现时针指向 2，分针指向 12，求此时时针与分针的夹角度数，并判断角的类型。解答：时钟每个大格 30°，2 点时，时针与分针成 2 个大格，夹角 = 2×30°=60°，60° 是锐角。幻灯片 11：课堂小结（核心知识点）角的核心定义：静态：两条有公共端点的射线组成的图形（顶点 + 边）动态：射线绕端点旋转形成的图形（始边 + 终边）角的表示方法：三个大写字母（顶点在中间）、一个大写字母（单角）、数字、希腊字母角的度量与分类：单位：度（°）、分（′）、秒（″），60 进制分类：锐角（0°