新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县县多校2025-2026学年高二上学期12月期中数学试卷（含答案）

这是一份新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县县多校2025-2026学年高二上学期12月期中数学试卷（含答案），共15页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间中三个不同的点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的加法法则化简可得结果．
【详解】因为
故选：B．
2. 若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，结合直线l与直线垂直得斜率，从而得到l的倾斜角．
【详解】直线的斜率是，
因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为，
由，所以l的倾斜角为．
故选：B
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. 2C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得的值.
【详解】因为向量，，所以，
又因为，所以，所以，
解得.
故选：A.
4. 两条平行直线与之间的距离为（ ）
A 6B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得，再利用两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】因为直线与平行，所以，
直线即，
所以两条平行直线之间的距离为.
故选：C.
5. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 外切B. 外离C. 相交D. 内切
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出两圆的圆心坐标及它们的半径，再计算两圆圆心距即可判断作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
于是得，即，
所以圆与圆外切.
故选：A
6. 若非零向量，满足， ，则与的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】设与的夹角为θ，则由，，可得，从而可求得与的夹角
【详解】设与的夹角为θ，
因为，所以，
所以，
因为非零向量，满足，
所以，
因为，所以，即，
故选：B
7. 定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜坐标的定义直接计算可得.
【详解】因为向量在基底下的斜坐标为，
所以，
所以向量在基底下的斜坐标为.
故选：D.
8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线方程求得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】由题意直线过定点，
直线可变为，
令，得，所以该直线过定点，
所以．
又，
所以直线与直线互相垂直，且交点为，
所以，
所以，即，
当且仅当时取等号，
所以，，即面积的最大值是．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点在棱上B. 当时，点在线段上
C. 当时，点在棱上D. 当时，点在线段上
【答案】ACD
【解析】
【分析】判断点是否在线段上，利用共线向量定理及推论逐项判断即可．
【详解】对于A，当时，，，所以，则点在棱上，故A正确；
对于B，当时，，，连接，即，
即，所以点在线段上，故B错误；

对于C，当时，，，所以，
所以，即，所以点在棱上，故C正确；
对于D，当时，，，
由三点共线结论知,三点共线，所以点在线段上，故D正确．
故选：ACD.
10. 已知实数，满足圆的方程，则（ ）
A. 圆心为，半径为B. 的最大值为2
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D.
【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确；
对于B，由，有，
所以的最大值为，故B错误；
对于C，表示圆上点到定点的距离，
圆心到定点的距离为，
所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确；
对于D，由得，
所以，，
令，由在上单调递增，所以，
所以的最大值为，故D错误.
故选：AC.
11. 三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C. 三棱锥的体积为
D. 和的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律以及完全平方公式，计算可得A正确，B正确，再由锥体的体积公式可验证C错误，利用向量夹角公式代入计算可得D正确.
【详解】对于A，易知，
因为两两垂直，所以，而，所以，即A正确；
对于B，知，
因为两两垂直，所以，所以，即B正确；
对于C，易知，
显然，所以，
因此，
又，，所以，
所以，
因为两两垂直，且，
所以三棱锥的体积为，即C错误；
对于D，因为，
又，所以，
，
同理，
设和的夹角为，可得，可得，即D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若直线过，则此直线的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两点间的斜率公式求解即可.
【详解】若直线经过，则此直线的斜率为；
故答案为：
13. 已知，，且，则点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算建立方程，求解坐标即可.
【详解】因为，，设，
所以，，
因为，所以，
解得，得到.
故答案为：
14. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解.
【详解】因圆心在直线上，设圆心坐标为，
圆标准方程为：，
则，解得：，
所以圆C的标准方程为．
故答案为：
四、解答题：本题共5个题目，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点分别是，，.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程；
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程.
【小问1详解】
直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
【小问2详解】
依题意，设直线的方程为，
而直线过点，则，解得，
所以直线的方程为.
16. 如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
（1）若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系；
（2）若点D满足，，试确定点D的坐标．
【答案】（1）垂直 （2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解；
（2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可．
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由于OA，OC的中点分别为E，F．
因此，，得．
又，所以，即，
故EF与OB垂直．
【小问2详解】
设，则，，
，，
由，，，
因此存在实数，，使得，，
即．
即点D的坐标为．
17. 已知圆．
（1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径．
（2）求直线被圆C所截得的弦长．
【答案】（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径为，
（2）
【解析】
【分析】（1）将圆一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径.
（2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案.
【小问1详解】
由可得该圆的标准方程为
其圆心为，半径为.
【小问2详解】
圆心到直线的距离为
所以直线：被圆所截得的弦长为
18. 已知圆，直线．
（1）若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程；
（2）点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点.
【答案】（1）
（2）直线CD经过定点
【解析】
【分析】（1） 弦AB恰好被点平分，则，即可求得斜率，根据点斜式即可得弦AB所在直线的方程；
（2）设出点坐标,根据题意可知O，C，Q，D四点共圆，且CD为直径，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，进而求得直线CD的方程，即可得过的定点.
【小问1详解】
由圆，得圆心，半径，
又，所以，所以，所以，
即：弦AB所在直线的方程为.
【小问2详解】
直线l与圆O相离，令，线段OQ中点，
因为O，C，Q，D四点位于圆上，又圆，
所以CD是圆O与圆K的相交弦，故．
即，由且，得直线CD经过定点．
19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题．
（1）求证：．
（2）求线段的中点到平面的距离．
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得；
（2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解；
（3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解．
【小问1详解】
取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则,，，，，
则，，
有，故；
【小问2详解】
由，，则，又，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以到平面距离．
【小问3详解】
令，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
易知平面的一个法向量为，
则，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时．