新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知∠BAC=30°，ABA′B′，ACA′C′，则∠B′A′C′=（ ）
A. 30°B. 150°
C. 30°或150°D. 大小无法确定
【答案】C
【解析】解：已知，，，
当角方向相同时，，当角的方向相反时，，
故选：．
2. 某个家庭中有两个小孩，两个都是男孩的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，有两个小孩的家庭，其小孩性别构成的所有基本事件共有{男，男}，
{男，女}，{女，男}，{女，女}，共有4个，
设A＝“第一个男孩”，B＝“第二个也是男孩”，所以P(AB)＝.
故选：C.
3. 为了了解学生们的视力状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取60人进行视力检测.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为（ ）
A. 25B. 24C. 21D. 15
【答案】C
【解析】依题意，，所以高二年级抽取的人数为21.
故选：C
4. 有张卡片，上面分别写有数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取出的张卡片上的数字之和为奇数所包含的基本事件为：
，，，
故选：D
5. 如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：连接，因平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则，
.
故选：C
6. 已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（ ）
A. 86，84B. 84.5，85
C. 85，84D. 86.5，84
【答案】D
【解析】将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，
可得平均数，
因为84出现了三次，且次数最多，所以众数为84.
故选：D
7. 北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为（ ）
A. 33B. 34C. 35D. 36
【答案】B
【解析】由题图，.
故选：B
8. 已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. πC. D. π
【答案】B
【解析】设圆锥的母线长为，则由题意有，得，
所以侧面积为.
故选：B
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则直线a平行于平面内的无数条直线
B. 若，，，则a与b是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则一定相交
【答案】AC
【解析】A中，，，则或，所以不管在平面内还是平面外，都有结论成立，故A正确；
B中，直线与b没有交点，所以与b可能异面，也可能平行，故B错误；
C中，直线与平面没有公共点，所以，故C正确；
D中，直线与平面有可能平行，故D错误.
故选：AC
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知向量，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 若直线的方向向量为平面的法向量，则直线
【答案】ABC
【解析】因为，
所以在上的投影向量为，故A对；
因为，且，则P，A，B，C四点共面，
因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对；
是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线，
所以也是空间的一组基底，故C对；
因为直线的方向向量为平面的法向量，
且，则直线或，故D错；
故选：ABC
11. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 明天北京市不下雨
B. 在标准大气压下，水在4℃时结冰
C. 早晨太阳从东方升起
D. ，则的值不小于0
【答案】CD
【解析】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件．
故选:CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 已知向量，，且，则___________．
【答案】
【解析】由可得，又因为，，
所以，解得. 故答案为：
13. 有40个数据，其中最大值为35，最小值为14，若取组距为4，则分成的组数是______
【答案】
【解析】因为最大值为35，最小值为14，
所以在样本数据中最大值与最小值的差为，
又因为组距为，所以应该分的组数为，
所以应该分成组.
故答案为:
14. 已知二面角的大小为60°，若直线，直线，则异面直线，所成的角是______
【答案】60°
【解析】
如图，，，作于，于，作于，
则，所以为二面角的平面角，则，
所以，所以所成角为，则异面直线，所成的角为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 在空间四边形中，连接，设M，G分别是的中点，化简下列各向量表达式：
（1）；
（2）.
解：（1），∵G是的中点，∴；
（2）∵M是的中点，∴，
∴.
16. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：
（1）向量，，的坐标；
（2），的坐标．
解：（1）由已知，
则，，；
（2），
.
17. 在棱长为1的正方体上，用过同一顶点的三条棱中点的平面分别截该正方体，截去1个三棱锥.求剩下的几何体的体积.
解：由题意知，正方体的体积，
又截去的三棱锥可看作是：底面是边长为的等腰直角三角形，高为的三棱锥.
则截去的三棱锥的体积为，
故剩余几何体的体积为，
故剩下的几何体的体积为.
18. 甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．
（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；
（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．
解：（1）设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输．则．
因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得．
因为，所以
（2）设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为，
则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.所以
19. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
（1）这50名学生成绩的众数与中位数；
（2）这50名学生的平均成绩．
解：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为．
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．
因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．
因为，
所以前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为，，
所以中位数应位于第四个小矩形内．设中位数为x，，解得，
故中位数应约为．
（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，
取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．
所以平均成绩为
．