福建省莆田市擢英中学2025-2026学年八年级 数学上学期期中考试试卷

这是一份福建省莆田市擢英中学2025-2026学年八年级 数学上学期期中考试试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个手机App 图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点M−5,2关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．−5,−2B．5,−2C．5,2D．−5,2
3．下列计算正确的是（ ）
A．x2⋅x2=2x4B．（−2a）3=−8a3C．（a3）2=a5D．m3÷m3=m
4．如图，过△ABC的顶点B，作AC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．图中的两个三角形全等，则∠α=（ ）
A．72°B．60°C．58 D．50°
6．等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( )
A．70°B．70°或40°C．70°或50°D．40°
7．已知a+b=2，求代数式a2−b2+4b的值为 ( )
A．-7B．0C．4D．5
8．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点． 下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是 （ ）
∠ADB=∠ADCB．BD=CDC．BC=2ADD．S△ABD=S△ACD

9．如图，在△ABC中，已知AB=AC, AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M, P为直线MN上一点，连结PB, PC，则下列关于△PBC周长的说法正确的是（ ）．
A．点P与点M重合时△PBC的周长最小；
B．点P与点N重合时△PBC的周长最小；
C．点落在MN之间（不包括端点）时△PBC的周长最小；
D．点P落在NM的延长线上时△PBC的周长最小．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D为CB 的中点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC的交于点P，则AP−PCBC的值为（）
A．14B．1C．78D．12
二、填空题
11．木兰溪大桥全长860m，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 ．
12．如图，已知OB=OC，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△DOC，需要添加条件 ．
（第11题图） （第12题图） （第15题图）
13．已知4n=3，8m=5，则22n+3m= ．
14．若关于x的多项式x2−12x+(k−1)2是完全平方式，则k的值为 ．
15．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，延长DE交于AB于F，若EF＝2，则DF＝ ．
16．如图，在△ABC中，点P在边BC上方，连接PB，PC，S△PBC=S△ABC=14BC2，当PB+PC取得最小值时，∠PBC的度数是 ．
（第16题图）
三、解答题
17．计算：20182−2019×2017；
18．因式分解：2x2−18．
19．先化简，再求值：[(x−3y)2−x(2x−4y)+x2]÷(−2y)，其中x=1，y=2．
20．如图，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB交AB于D.试说明：BE＋DE＝AC.

22．匈牙利著名数学家爱尔特希曾提出：在平面内有 n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形．人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集称为爱尔特希点集．
如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC＞BC，请在△ABC 的内部和外部各作一个点 D，使点 A，B，C，D 构成爱尔特希点集．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
23．定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是 ；判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（2）如果数m，n都是“完美数”，，试说明是“完美数”．
24．综合实践．
25．如图1，若P是△ABC内部一点，且∠PAC=∠PCB=∠PBA=α，则称点P为△ABC的布洛卡点，同时称α为△ABC的布洛卡角．布洛卡点的发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．
(1)如图2，P为等边三角形ABC的布洛卡点，求△ABC的布洛卡角的度数；
(2)如图3，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部一点，且∠PAC=∠PCB，∠APC=∠BPC．
①求证：P为△ABC的布洛卡点；
②若∠BAC=∠APB，延长BP交AC于点D，求证：D是AC中点．
2025-2026学年擢英中学八年级上学期期中考试卷
参考答案与试题解析
选择题（共10小题）
9.解：如图：连接AP,BM，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴AP=BP,AM=BM，
∵△PBC的周长为BC+BP+PC=BC+AP+PC，BC为定值，
∴要求△PBC的周长的最小值，只需求得AP+PC的最小值即可，
∵AP+PC≥AC，
∴当A、P、C三点共线时，AP+PC有最小值AC，即点P与点M重合时△PBC的周长最小．
10.解：如图所示，过点E作EF⊥AC于F，
∵∠ACB=90°，AE⊥AD，
∴∠CAD+∠CAD=90°=∠CAD+∠FAE，
∴∠CDA=∠FAE，
又∵∠AFE=∠DCA=90°，AE=DA，
∴△ACD≌△EFAAAS，
∴AC=EF，AF=CD，
∵AC=BC，
∴EF=BC，
又∵∠PFE=∠PCB=90°，∠FPE=∠CPB，
∴△FPE≌△CPBAAS，
∴FP=CP，
∵D为BC的中点，
∴AF=CD=12BC=12AC，
∴AF=CF，
∴CP=PF=12CF=12AF，
∴AP：CP=3：1，
∴AP−PCBC=12
填空题
11．稳定性 12．OA=OD 13．15
14．7或-5 15．6 16．45°
16．解：过点P作PE∥BC，作点C关于PE的对称点F，连接PF，

∴PF=PC，∠FDP=90°，CD=FD，
∴PB+PC的最小值为BF的长，∠FCB=∠FDP=90°，
∵S△PBC=14BC2，
∴S△PBC=12⋅BC⋅CD=14BC2，
∴BC=2CD，
∴BC=2CD=2DF，
∵CF=2CD=2DF
∴BC=CF，
∴∠CBF=∠CFB=45°，即∠PBC=45°
解答题
17．解：原式=20182-（2018+1）（2018-1）=20182−20182+1=1 ；
18．解：原式=2x2−9，
=2x+3x−3．
19．解：原式=(x2−6xy+9y2−2x2+4xy+x2)÷(−2y)
=(−2xy+9y2)÷(−2y)
=x−92y，
当x=1，y=2时，
原式=1−92×2
= −8．
20．证明：∵在△ABE和△ACD中
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACDASA，
∴AD=AE．
21．证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC.
∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，
∴CE＝DE.
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵AE＋CE＝AC，
∴BE＋DE＝AC.
22．如图1，点D在ΔABC内部；
图1 图2
如图2，点D1，D2，D3，D4在ΔABC外部.（任作一点即可）
23．（1）解：根据题意可得：，，，
故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，
∵，
故53是“完美数”，
故答案为：2或5或8（写一个即可）；是；
（2）证明：设，则有
是“完美数”．
24．（1）①a+bc+d=ac+bc+bd+ad；②a+b2=a2+2ab+b2；（2）见解析；（3）4m4−4m2n+n2−m
解：（1）①大长方形的面积可以表示为a+bc+d，还可以表示为ac+bc+bd+ad，
∴a+bc+d=ac+bc+bd+ad；
②大正方形的面积可以表示为a+b2，还可以表示为a2+2ab+b2，
∴a+b2=a2+2ab+b2；
（2）如图：已知大正方形的边长为a+b+c，
，
大正方形的面积可以表示为a+b+c2，还可以表示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（3）∵x+y+z=2m，x2+y2+z2=2n，
∴x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz，
∴2m2=2n+2xy+2xz+2yz，
∴xy+xz+yz=2m2−n，
∴xy+xz+yz2=2m2−n2，
∴x2y2+x2z2+y2z2+2x2yz+2y2xz+2z2xy=2m2−n2，
∴x2y2+x2z2+y2z2
=2m2−n2−2x2yz+2y2xz+2z2xy
=2m2−n2−2xyzx+y+z
=2m2−n2−2×14×2m
=4m4−4m2n+n2−m．
25．（1）解：是等边三角形
，
在和中，
≌ （ASA）
∴的布洛卡角为 300
（2）①证明：
又
即
为的布洛卡点
②证明：法一：设∠BAC＝∠APB＝β，
则∠APC＝ ∠BPC＝180°－ ，
∵AB＝AC，
∴ ∠ABC＝ ∠ACB＝90°－ ，
∴ ∠PCA＝90°－ －α，
在△PAC 中，90°－ －α＋180°－ ＋α＝180°，
∴β＝90° ， ∴ ∠BAC＝∠APB＝90° ，
如图，作 CG⊥PD ，CH⊥AP ，垂足分别为 G ，H，
则∠BPA＝∠AHC＝90°， 又 AB＝CA ， ∠PBA＝ ∠HAC，
∴△PBA≌△HAC，
∴PA＝CH，
又∠APC＝∠BPC，且∠BPA＝90°，
∴ ∠CPG＝∠CPH＝45° ， ∴CG＝CH＝PA，
又∠APD＝∠G＝90° ， ∠ADP＝ ∠CDG，
∴△ADP≌△CDG ，
∴AD＝CD，
∴D 是 AC 中点．
活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系
初步
应用
（1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则 （用图中字母表示）．
②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式： （用图中字母表示）．
问题探究过程
提出
问题
仿照图2，构造图形并计算a+b+c2．
迁移
应用
已知x、y、z满足x+y+z=2m，x2+y2+z2=2n，xyz=14，求x2y2+y2z2+x2z2的值（用含m、n的式子表示）．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
B
D
C
B
C
C
A
D