福建省莆田擢英中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷(含答案)

2021-2022学年擢英中学八年级下册期中考

一、选择题

1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（       ）

A． B． C． D．

3．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（       ）

A．6，8，10 B．5，12，13 C．1，， D．，，

4．已知直线经过点，则此正比例函数的解析式为（       ）

A． B． C． D．

5．下列各式计算正确的是（       ）

A． B． C． D．

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若，,则CD的长为（　　）

A．4.8 B．5 C．6 D．8

7．下列说法中错误的是（   ）

A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形

C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的邻边相等

8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE=2，则菱形的周长为 （        ）

A．10 B．12

C．16 D．20

9．如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（　　）

A． B．16 C．18 D．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接OE，则OE的最小值为（     ）

A． B． C．2 D．3

二、填空题

11．若二次根式有意义，则的取值范围为______．

12．在平行四边形中，，则______．

13．甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，6，5，8，4，那么成绩较稳定的是_______．（填“甲”或“乙”）

14．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点的坐标为，则点坐标是______．

15．若实数，满足，则以，为边的直角三角形的第三边是______．

16．如图，在矩形中，在延长线上，连接，交于点，，若，，则的长为______．

三、解答题（共9小题）

17．计算：．

18．先化简，再求值：，其中．

19．已知：如图，在中，，分别为和上的点，和相交于点，且．求证：四边形为平行四边形．

20．四边形如图所示，已知，，，，．求四边形的面积．

21．在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．

（1）这50名同学捐款的众数为     元，中位数为     元；

（2）求这50名同学捐款的平均数；

（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．

22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

23．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

（1）如图1，在ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求证：ABC是“美丽三角形”；

（2）如图2，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝，若RtABC是“美丽三角形”，求BC的长．

24．如图，在菱形中，于点．

(1)如图1，若，，求菱形的周长及面积；

(2)如图2，作于点，连接，，求证：；

(3)如图3，设与对角线相交于点，若，，四边形和的面积分别是和，求的值．

25．平面直角坐标系中有正方形，为坐标原点，点、分别在轴、轴正半轴上，点、、分别为边、、上的点，于．

(1)如图1，若点与点重合，点坐标为，，求点坐标；

(2)如图2，若点与点重合，且为边的中点，求证：；

(3)如图3，若点为线段的中点，连接交于点，连接，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论．

答案

1．A

2．A

3．C

4．A

5．C

6．B

7．C

8．C

9．A

10．A

11．

【详解】

解：∵二次根式有意义，

∴

解得：

故答案为：.

12．##100度

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∵∠B+∠D=200°，

∴∠B=100°，

故答案为：．

13．乙

【详解】

乙组数据的平均数=(2+6+5+8+4) ÷5= 5，

乙组数据的方差：

S乙2 =×[(2-5)2+(6-5)2 +(5-5)2+(8-5)2+(4-5)2]=4

∵5>4

∴S甲2> S乙2，

∴成绩较为稳定的是乙．

故答案为：乙．

14．

【详解】

解：如图，过C作于E，

∴

∴

∵正方形ABCD，

∴

∴

∴

∴ 而点A的坐标为，点的坐标为，

∴

∴

∴

故答案为：

15．5或##或5

【详解】

解：∵，

∴

∴a=3，b=4，

①当a，b为直角边时，第三边   

②当a为直角边，b为斜边时，第三边．

故答案为：5或．

16．

【详解】

解：取DF的中点G，连接AG，

在矩形中

∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，ADBC，

∴∠ADE=∠DEC，

∵，

∴AG=DG=FG==4，

∴∠GAD=∠ADE，

∴∠AGE=2∠ADE，

又

∴∠AED=∠AGE，

∴AE=AG=4，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=90°，

在Rt中，BE=1，

∴AB=，

∴CD=AB=．

故答案为：．

17．

【详解】

解：

.

18．，

【详解】

解：，

，

，

当，

，

，

．

19．证明见解析

【详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，AD=BC，

∴∠ODF=∠OBE，

在△DOF和△BOE中，，

∴△DOF≌△BOE（AAS），

∴DF=BE，

∴AD-DF=BC-BE， 即AF=EC，

∵

∴四边形AECF为平行四边形．

20．9

【详解】

解：∵，，，

∴

∵，，

∴

∴

∴

∴

21．（1）15，15；（2）13（元）；（3）7800（元）．

【详解】

试题分析：（1）根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位数的定义得出即可；

（2）利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算即可；

（3）利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．

解：（1）数据15元出现了20次，出现次数最多，所以众数是15元；

数据总数为50，所以中位数是第25、26位数的平均数，即（15+15）÷2=15（元）．

故答案为15，15；

（2）50名同学捐款的平均数=（5×8+10×14+15×20+20×6+25×2）÷50=13（元）；

（3）估计这个中学的捐款总数=600×13=7800（元）．

考点：条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．

22．（1）证明见解析；（2）

【详解】

（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，且MN=AD，

在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，

∴BM=AC，

又∵AC=AD，

∴MN=BM；

（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）知，BM=AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴，

而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，

∴BN=．

23．（1）见解析；（2）6或8

【详解】

（1）证明：如图，过点作于，

，，BC＝4，

，

又∵AB＝，

∴由勾股定理得，，

，

∴是“美丽三角形”；

（2）解：如图2，作中线BD、AE，

当边上的中线＝时，

∵，点D为AC的中点，

∴，，

∴，

当边上的中线＝时，

则，

由勾股定理得：，

即，

解得：（舍负）．

综上所述，的长是6或8．

24．(1)周长为；面积为

(2)答案见解析

(3)

（1）

解：， ，

， ，

，

，

解得：，

，

菱形的周长，

菱形的面积；

（2）

证明：四边形为菱形，

， ，

， ，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

∴EF∥BD；

（3）

解：连接，如图所示，

四边形为菱形，

，，   

在和中 ，

，

，

，和的面积相等，

， ，

，

，

设，则 ，

，

，即 ，

解得：，即，

．

25．(1)

(2)证明见解析

(3)

（1）

解：∵A（0，8），正方形AOBC，

∴，

∵AF⊥OP于M，

∴∠OMF=90°，

∴∠MOF+∠OFM=90°，

∵∠OFM+∠OAF=90°，

∴∠MOF=∠OAF．

∵OA=OB，∠AOF=∠OBP，

∴△OAF≌△BOP（ASA），

∴OF=PB=3，

∴P（8，3）．

（2）

取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．P为BC的中点，

∴PC=PB，AN=ON，OA=BC，

∴PC=ON，，

∴四边形OPCN是平行四边形，

∴，

∵AF⊥OP，

∴CN⊥AM，

∵NA=NO，

∴

∴是的垂直平分线，

∴AC=CM，

∵AC=BC=2PC，

∴CM=2PC．

（3）

结论：． 理由：

如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，

∵∠NGB=∠NHB=∠GBH=90°，

∴四边形BGNH是矩形，

∴∠GNH=90°，

∵N在正方形AOBC的对角线上，

∴∠NBG=∠NBH，

∵NG⊥BC，NH⊥OB，

∴NH=NG，

∵EF⊥OP，M为OP的中点，

∴ON=PN，

∴Rt△ONH≌Rt△PNG（HL），

∴∠ONH=∠PNG，

∴∠ONP=∠HNG=90°，

∴△ONP是等腰直角三角形，

∴．