福建省莆田市荔城区擢英中学八年级上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份福建省莆田市荔城区擢英中学八年级上学期期中考试数学试卷-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下面电路组件的符号中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（x2）3•x4＝x10B．2x2+x3＝2x5
C．D．x3÷x3＝0
3．（4分）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为（ ）
A．70°B．55°C．40°D．40°或70°
4．（4分）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．HL
5．（4分）如图，∠CAB＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．AC＝AD
6．（4分）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线B．高线C．中位线D．中线
7．（4分）将一台带有保护套的平板电脑按图①放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．经测得AB＝10cm，BC＝10.5cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（ ）
A．30.5cmB．31cm
C．10cm或10.5cmD．30.5cm或31cm
8．（4分）如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（4分）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．则下列说法正确的是（ ）
A．AO＝BO
B．直线l是AB的垂直平分线
C．若l⊥AB，则直线l是AB的垂直平分线
D．若∠A＝∠B，则直线l是AB的垂直平分线
10．（4分）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是（ ）
A．64B．128C．256D．612
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，对角线BD平分∠ABC，则点D到BC的距离为 ．
13．（4分）如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10厘米，双翼的边缘AC＝BD＝50厘米，且与闸机箱侧立面的夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 厘米．
14．（4分）若关于x的代数式（ax﹣6）（2x﹣3）的展开式中不含x的一次项，则a＝ ．
15．（4分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ ．
16．（4分）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）先化简，再求值：（a+2b）（a﹣2b）﹣a（a+b），其中a＝1，b＝﹣1．
18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别是A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△AB1C1，并写出C1的坐标；
（2）已知点P是x轴上一点，若△BCP的面积等于△ABC面积的3倍，求点P的坐标．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，∠DBC＝24°，求∠A的度数．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（不写作法，保留作图痕迹）：
（2）求证：AE是∠DAB的平分线．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，AC边的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O，连接AD，AE，BO，CO．
（1）若BC＝12，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠BOC的度数．
23．（10分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，EC的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：BF＝DF．
24．（12分）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式： ．
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ．
（2）【类比应用】
根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值．
（3）【拓展升华】
如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和： ．
25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，在BC的上方作△DBC，使BC＝DC，∠BCD＝α，直线BD与直线AC相交于点F，点E在直线BD上，且∠AED＝120°，连接CE．
（1）如图1，若60°＜α≤180°，
①请直接写出∠EAC与∠DBC的数量关系；
②猜想线段BD，AE，CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若0°＜α＜60°时，在图2中画出图形，（2）中的结论是否成立，如果成立，请说明理由，如果不成立，请直接写出你的结论．
2024-2025学年福建省莆田市荔城区擢英中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下面电路组件的符号中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（x2）3•x4＝x10B．2x2+x3＝2x5
C．D．x3÷x3＝0
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（x2）3•x4＝x6•x4＝x10，故此选项符合题意；
B、2x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、＝＝3，故此选项不符合题意；
D、x3÷x3＝1，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（4分）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为（ ）
A．70°B．55°C．40°D．40°或70°
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，故应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当这个角是底角时，其顶角＝40°；
当这个角是顶角时，顶角＝70°；
故选：D．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用．若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
4．（4分）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．HL
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABO＝∠OCD＝90°，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
则证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
5．（4分）如图，∠CAB＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．AC＝AD
【分析】根据全等三角形的判定逐一进行分析．
【解答】解：当添加选项A时，利用ASA可说明△ABC≌△ABD；
当添加选项B时，满足条件SSA，无法证明△ABC≌△ABD，故B符合题意；
当添加选项C时，利用AAS可说明△ABC≌△ABD；
当添加选项D时，利用SAS证明△ABC≌△ABD．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，注意SSA不能证明三角形全等．
6．（4分）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线B．高线C．中位线D．中线
【分析】根据作图痕迹判断出线段BD是三角形ABC的高即可．
【解答】解：由作图可知BD⊥AC，故线段BD是△ABC的高．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的角平分线，直线和高，三角形的中位线等知识，解题的关键是读懂图象信息．
7．（4分）将一台带有保护套的平板电脑按图①放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．经测得AB＝10cm，BC＝10.5cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（ ）
A．30.5cmB．31cm
C．10cm或10.5cmD．30.5cm或31cm
【分析】根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可．
【解答】解：AB＝10cm，BC＝10.5cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，分以下几种情况讨论：
当AC＝10cm时，△ABC的周长为：
10+10+10.5＝30.5（cm）．
当AC＝10.5cm时，△ABC的周长为：
10+10.5+10.5＝31（cm），
∴△ABC的周长为30.5cm或31cm，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等角对等边的性质．
8．（4分）如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据等腰三角形的判定可得答案．
【解答】解：如图所示，满足条件的点C的个数有5个，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解．
9．（4分）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．则下列说法正确的是（ ）
A．AO＝BO
B．直线l是AB的垂直平分线
C．若l⊥AB，则直线l是AB的垂直平分线
D．若∠A＝∠B，则直线l是AB的垂直平分线
【分析】直接利用线段垂直平分线的定义可对A选项、B选项、D选项进行判断；利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的定义对C选项进行判断．
【解答】解：∵PA＝PB．
∴当PO⊥AB时，OA＝OB，
即直线l是AB的垂直平分线，所以A选项、B选项不符合题意，C选项符合题意；
当∠A＝∠B，
∴PA＝PB，
不能确定O点为AB的中点，所以不能判断直线l是AB的垂直平分线，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（4分）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是（ ）
A．64B．128C．256D．612
【分析】根据题意，依次求出（a+b）n展开式中所有项的系数和，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
（a+b）1展开式中所有项的系数和为：1+1＝2＝21；
（a+b）2展开式中所有项的系数和为：1+2+1＝4＝22；
（a+b）3展开式中所有项的系数和为：1+3+3+1＝8＝23，
（a+b）4展开式中所有项的系数和为：1+4+6+4+1＝16＝24；
…，
由此可见，（a+b）n展开式中所有项的系数和为2n．
当n＝8时，
（a+b）8展开式中所有项的系数和为28＝256．
故选：C．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出（a+b）n展开式中所有项的系数和为2n是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 （﹣3，﹣2） ．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
12．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，对角线BD平分∠ABC，则点D到BC的距离为 3 ．
【分析】由∠A＝90°，AD＝3可得点D到AB距离等于3，再由BD平分∠ABC及角平分线的的性质求解．
【解答】解：∵BD为∠ABC的角平分线，
∴点D到AB，BC的距离相等，
∵∠A＝90°，AD＝3，
∴点D到BC的距离为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查角平分线的性质，解题关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
13．（4分）如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10厘米，双翼的边缘AC＝BD＝50厘米，且与闸机箱侧立面的夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 60 厘米．
【分析】根据直角三角形的性质求解．
【解答】解：∵∠ACP＝∠BDQ＝30°，
∴点A到CP的距离为AC＝25（cm），
∴25×2+10＝60（厘米），
故答案为：60．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形是性质是解题的关键．
14．（4分）若关于x的代数式（ax﹣6）（2x﹣3）的展开式中不含x的一次项，则a＝ ﹣4 ．
【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（ax﹣6）（2x﹣3）＝2ax2+（﹣3a﹣12）x+18不含x的一次项，
∴﹣3a﹣12＝0，
解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
15．（4分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ 58° ．
【分析】设∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值．
【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEB＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案为：58°
【点评】本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型．
16．（4分）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 7 ．
【分析】连接AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，推出AD的长为BM+DM的最小值即可．
【解答】解：如图，连接AD，AM．
由题意可得：AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝6×AD＝21，
∴AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AM＝BM，
∴BM+DM＝AM+DM，
∴当A，M，D三点共线时BM+DM最小，
∴AD的长为BM+DM的最小值，
∴BM+DM的最小值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题（共86分）
17．（8分）先化简，再求值：（a+2b）（a﹣2b）﹣a（a+b），其中a＝1，b＝﹣1．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把a、b的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣（a2+ab）
＝a2﹣4b2﹣a2﹣ab
＝﹣4b2﹣ab，
当a＝1，b＝﹣1时，原式＝﹣4×（﹣1）2﹣1×（﹣1）＝﹣3．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【分析】证明BC＝EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得．
【解答】证明：如图，∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明所在的三角形全等．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别是A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△AB1C1，并写出C1的坐标；
（2）已知点P是x轴上一点，若△BCP的面积等于△ABC面积的3倍，求点P的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求出△ABC的面积为4，设P（m，0），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求．
由图可得，C1的坐标为（﹣4，3）．
（2）△ABC的面积为＝8﹣1﹣3＝4．
设点P的坐标为（m，0），
∵△BCP的面积等于△ABC面积的3倍，
∴，
解得m＝﹣6或10，
∴点P的坐标为（﹣6，0）或（10，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，∠DBC＝24°，求∠A的度数．
【分析】根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解．
【解答】解：∵BD＝BC，∠DBC＝24°，
∴，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（不写作法，保留作图痕迹）：
（2）求证：AE是∠DAB的平分线．
【分析】（1）利用基本作图作∠ADC的平分线即可；
（2）过E点作EF⊥AD于F点，如图，根据角平分线的性质得到EF＝EC，再证明Rt△DEF≌Rt△DEC得到DF＝DC，接着证明AB＝AF，然后证明Rt△ABE≌Rt△AFE得到∠BAE＝∠FAE．
【解答】（1）解：如图，DE、AE为所作；
（2）证明：过E点作EF⊥AD于F点，如图，
∵DE平分∠ADC，
∴EF＝EC，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴DF＝DC，
∵DC+AB＝AD，
即DF+AB＝DF+AF，
∴AB＝AF，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴∠BAE＝∠FAE，
∴AE是∠DAB的平分线．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，AC边的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O，连接AD，AE，BO，CO．
（1）若BC＝12，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得△ADE的周长＝BC＝12；
（2）连接AO，由四边形内角和可得∠MON的度数，根据题意得∠BOC＝2∠MON即可求解．
【解答】解：（1）∵DM是边AB的垂直平分线，EN是边AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵BC＝12，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝12；
（2）连接AO，
∵OM，ON分别垂直平分AB，AC，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠BOM＝∠AOM，∠CON＝∠AON，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
∴∠BOC＝∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON＝2∠MON＝2×70°＝140°，
∴∠BOC的度数为140°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
23．（10分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，EC的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：BF＝DF．
【分析】（1）由HL可证Rt△ABC≌Rt△ADE；
（2）由“AAS”可证△BCF≌△DHF，可得BF＝DF．
【解答】证明：（1）在Rt△ABC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）；
（2）如图，过点D作DH∥BC交EF的延长线于点H，
∴∠H＝∠BCH，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠BCF＝∠DEC，
∴∠H＝∠DEH，
∴DE＝DH，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴DE＝BC，
∴BC＝DH，
在△BCF和△DHF中，
，
∴△BCF≌△DHF（AAS），
∴BF＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（12分）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ．
（2）【类比应用】
根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值．
（3）【拓展升华】
如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和： 79 ．
【分析】（1）①阴影部分的面积等于大正方形的面积减去2个空白小长方形的面积；②阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个空白小长方形的面积；
（2）2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2），（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，再代入计算求值；
（3）BM＝x，则BM＝EQ＝x，CQ＝CE﹣EQ＝8﹣x，BC＝BM+CM＝3+x；由S△BCQ＝BC•CQ，可得（8﹣x）（3+x）＝21，令8﹣x＝a，x+3＝b，则a+b＝11，ab＝21；正方形ABCD和正方形COPQ的面积和为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算求值．
【解答】解：（1）根据题意有，
①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
②（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）由（1）可得，
2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝52﹣20＝5，即mn＝，
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝52﹣4×＝15，
∴mn的值为，（m﹣n）2的值为15；
（3）BM＝x，则BM＝EQ＝x，CQ＝CE﹣EQ＝8﹣x，BC＝BM+CM＝3+x，
∵S△BCQ＝BC•CQ，
∴（8﹣x）（3+x）＝21，
令8﹣x＝a，x+3＝b，则a+b＝11，ab＝21，
正方形ABCD和正方形COPQ的面积和为：
BC2+CQ2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝112﹣2×21＝79，
∴正方形ABCD和正方形COPQ的面积和为79．
故答案为：79．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的运算及应用是解本题的关键，难度适中，仔细审题即可．
25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，在BC的上方作△DBC，使BC＝DC，∠BCD＝α，直线BD与直线AC相交于点F，点E在直线BD上，且∠AED＝120°，连接CE．
（1）如图1，若60°＜α≤180°，
①请直接写出∠EAC与∠DBC的数量关系；
②猜想线段BD，AE，CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若0°＜α＜60°时，在图2中画出图形，（2）中的结论是否成立，如果成立，请说明理由，如果不成立，请直接写出你的结论．
【分析】（1）①由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，由外角的性质可求解；
②由“SAS”可证△ACE≌△BCH，可得AE＝BH，由“AAS”可证△BCH≌△DCE，可得DE＝BH，即可得结论；
（2）由“SAS”可证△ABH≌△ACE，可得CE＝BH，由“AAS”可证△AEC≌△DEC，可得AE＝DE，即可得结论．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠AED＝120°，
∵∠AEB＝60°，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠AFB＝∠AEB+∠CAE＝∠ACB+∠DBC，
∴∠CAE＝∠DBC；
②BD＝2AE+EC，理由如下：
如图1，在BE上截取EH＝EC，连接CH，
∵∠AEB＝∠ACB，
∴点A，点B，点C，点E四点共圆，
∴∠BAC＝∠BEC＝60°，
∵EH＝EC，
∴△ECH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝∠CHE＝∠ECH＝60°，
∴∠BHC＝∠CED＝120°，∠ECH＝∠ACB，
又∵AC＝BC，CH＝CE，
∴△ACE≌△BCH（SAS），
∴AE＝BH，
∵BC＝CD，
∴∠B＝∠D，
又∵∠BHC＝∠DEC，
∴△BCH≌△DCE（AAS），
∴DE＝BH，
∴AE＝DE＝BH，
∴BD＝BH+EH+DE＝2AE+EC．
（2）结论不成立，结论应该是CE＝2AE+BD，理由如下：
如图3，在直线BE上截取EH＝AE，连接AH，
∵∠AED＝120°，
∴∠AEH＝60°，
又∵AE＝EH，
∴△AEH是等边三角形，
∴AH＝HE＝AE，∠EAH＝∠H＝∠BAC＝60°，
∴∠EAC＝∠BAH，
又∵AB＝AC，AE＝AH，
∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴EC＝BH，
∵∠AED+∠ACB＝180°，
∴点A，点E，点B，点C四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝60°，∠DBC+∠EAC＝180°，
∴∠AEC＝∠BEC＝60°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠CDB+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠CAE，
∴△AEC≌△DEC（AAS），
∴AE＝DE，
∴EC＝BH＝BD+DE+EH＝2AE+BD．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
B
B
B
D
C
C
C