2025-2026学年河南省许昌二中八年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年河南省许昌二中八年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若直角三角形的一个锐角是25∘，则另一个锐角的度数是( )
A. 35∘B. 45∘C. 55∘D. 65∘
3.如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学依据是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 三角形具有稳定性
D. 三角形的任意两边之和大于第三边
4.如图，在△DEF与△ABC中，若DE=AB，BE=CF，添加一个条件就可以证明△ABC≌△DEF，应该添加的条件是( )
A. ∠A=∠D
B. EF=BC
C. DF=AC
D. ∠E=∠C
5.下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在△ABC中，AC=BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则下列结论中不一定正确的是( )
A. ∠ACD=2∠A
B. ∠A=2∠P
C. BP⊥AC
D. BC=CP
7.如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是( )
A. B.
C. D.
8.将两个全等的含30∘角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF长为( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 3
9.如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长AB=12cm，支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是( )
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm
10.如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD与△ACE，连接BE、CD交点F，连接AF.以下四个结论：①DC=EB；②∠BFC=120∘；③FA平分∠EFD；④AF+BF+CF=CD，其中正确结论的是( )
A. ①②③④B. ①③④C. ①②③D. ①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图用尺规作出了∠CO′D=∠AOB.其依据是 .(填全等判定方法的简写)
12.如图，上午9时，一条船从A处出发，以18海里/时的速度向正南航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=66∘，∠NBC=33∘，则从A处到灯塔C的距离为 海里.
13.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.则∠C= .
14.如图，在△ABC中，AB=AC=10，S△ABC=48，AD是△ABC的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 .
15.在平面直角坐标系xOy中，有一动点A，先关于x轴对称到点A1，然后关于y轴对称到点A2，再关于x轴对称A3，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到A4，…，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动.已知A(1,2)，则点A2025的坐标是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
△ABC在平面直角坐标系内的位置如图所示.
(1)画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1(A1,B1,C1分别是A，B，C的对应点)；
(2)写出A1，B1，C1三点的坐标：A1______，B1______，C1______；
(3)△ABC内一点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为______.
17.(本小题8分)
已知：如图，D是BC上一点，AB=BD，DE//AB，∠A=∠DBE.
求证：AC=BE.
18.(本小题9分)
用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
19.(本小题9分)
在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论.
如图，已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C=180∘.
小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明.
请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程.
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
(1)作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F.(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接CF，若∠A=60∘，∠ABD=25∘，求∠ACF的度数.
21.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC，A点在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方.
(1)如图1，A点坐标为(−4,0)，B点坐标为(0,1)，则点C的坐标为______.
(2)如图2，过C作CD⊥y轴于D，猜想AO、CD、OD的关系，并说明理由.
22.(本小题11分)
(1)如图①，已知D、E、F分别是等边三角形ABC的边BC、AC、AB上的点，且AF=BD=CE.求证：△DEF是等边三角形；
(2)如图②，已知∠AOB=60∘，P是∠AOB内部一点，请在OA、OB上各找一个点Q和R，使得△PQR是等边三角形.(尺规作图，保留作图痕迹，如有必要可文字说明)
23.(本小题11分)
问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证：AB=CD.
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质.本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线构造全等三角形或等腰三角形.
问题解决：请你根据上面的分析过程，添加适当辅助线，选择用构造全等三角形和构造等腰三角形两种方法中的一个方法，证明AB=CD.
方法运用：如图②，点B是AE的中点，BC⊥BD于点B.请判断线段AC+DE与CD之间的大小关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
本题主要考查了轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：直角三角形的一个锐角是25∘，
∵直角三角形中两个锐角互余，
∴另一个锐角为90∘−25∘=65∘.
故选：D.
根据在直角三角形中，两个锐角互余，其和为90∘，即可解答．
本题考查直角三角形的性质，即两个锐角互余，其和为90∘，正确进行计算是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性．
故选：C.
由三角形具有稳定性，即可得到答案．
本题考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，关键是掌握三角形具有稳定性．
4.【答案】B
【解析】解：∵BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF，
即EF=BC.
A、添加∠A=∠D，不能证明△ABC≌△DEF，所以此选项错误，不符合题意；
B、添加DF=AC，根据SSS可证明△ABC≌△DEF，所以此选项正确，符合题意；
C、添加EF=BC，不能证明△ABC≌△DEF，所以此选项错误，不符合题意；
D、添加∠E=∠C，不能证明△ABC≌△DEF，所以此选项错误，不符合题意；
故选：B.
由BE=CF可得EF=BC，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意；
故选：D.
根据三角形的高度概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
6.【答案】C
【解析】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=2∠A，故A正确；
∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCD=12∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，
∴12∠ACD=12∠A+12∠ABC=∠P+∠PBC=∠P+12∠ABC，
∴∠A=2∠P，故B正确；
∵∠A≠∠ACB，
∴无法判断BP⊥AC，故C错误；
∵∠PBC=12∠ABC，∠P=12∠A，
又∵∠A=∠ABC，
∴∠P=∠PBC，
∴BC=CP，故D正确，
故选：C.
根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠A+∠ABC=2∠A，故A正确；根据角平分线的定义得到∠PBC=12∠ABC，∠PCD=12∠ACD，根据三角形的外角的性质即可得到∠A=2∠P，故B正确；由于∠A≠∠ACB，无法判断BP⊥AC，故C错误；根据等量代换得到∠P=∠PBC，根据等腰三角形的性质得到BC=CP，故D正确．
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M.
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故选：D.
利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
本题考查了最短问题、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】解：由全等三角形的性质得，CD=BC，
根据含30∘角的直角三角形的性质得，CD=12DE=12×6=3，
∵∠B=60∘，CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=60∘，
∴∠DCF=90∘−∠BCD=30∘，
又∵∠CDE=60∘，
∴∠CFD=90∘，
∴DF=12CD=32，
故选：B.
根据全等三角形的性质得到CD=BC，含30∘角的直角三角形的性质求出CD=3，证明△BCD为等边三角形，再根据等边三角形的性质及直角三角形的性质进行求解即可．
本题主要考查了含30∘角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
9.【答案】B
【解析】解：如图，C是AB的中点，AB=12cm，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，

∴BC=12AB=6cm，
∵CD⊥AB，BF⊥DE，射线DB是∠CDE的平分线，
∴BF=BC=6cm.
故选：B.
如图：过点B作BF⊥DE，垂足为点F，根据C是AB的中点可求BC的长度，再根据角平分线的性质求解即可．
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：结论①，
∵△ABD等边三角形，△ACE等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60∘，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠CAB，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴DC=BE，故结论①正确；
结论②，如图，设AC，BE交于点J，
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ACF=∠AEJ，
∵∠AJE=∠CJF，
∴∠CFJ=∠EAJ=60∘，
∴∠BFC=180∘−60∘=120∘；故结论②正确；
结论③，如图所示，作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，
∵△ADC≌△ABE，
∴S△ADC=S△ABE，DC=BE，
∴AP=AQ，
∵AP⊥CD，AQ⊥BE，
∴点A在∠PFE的平分线上，
∴FA平方∠DFE，故故结论②正确；
结论④，在DF上截取DO=BF，连接AO，如图所示，
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADO=∠ABF，
在△ADO和△ABF中，
AD=AB∠DAO=∠BAFAO=AF，
∴△ADO≌△ABF(SAS)，
∴∠DAO=∠BAF，AO=AF，
∵∠DAB=∠DAO+∠OAB=60∘，
∴∠OAF=∠BAF+∠OAB=60∘，
∴△AOF是等边三角形，
∴AF=OF，
∴AF+BF=DO+OF=FD，
∴AF+BF+CF=CD，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④．
故选：A.
根据等腰三角形得性质证明△ADC≌△ABE(SAS)，可证明结论①；设AC，BE交于点J，证明∠CFJ=60∘，可得结论②正确；作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，证明△ADC≌△ABE，可证明结论③；在DF上截取DO=BF，证明△ADO≌△ABF(SAS)，可证明△AOF为等边三角形，由此可证明结论④．
本题主要考查三角形综合题，包括等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
11.【答案】SSS
【解析】解：在△OEF和△O′NM中，
OE=O′NEF=NMOF=O′M，
∴△OEF≌△O′NM(SSS)，
∴∠CO′D=∠AOB.
故答案为：SSS.
根据SSS证明三角形全等可得结论．
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
12.【答案】36
【解析】解：由条件可知∠ACB=∠NAC−∠NBC=33∘，
∴∠NBC=∠ACB，
∴AC=AB=18×(11−9)=18×2=36(海里).
答：从A处与灯塔C相距36海里．
故答案为：36.
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠NBC=∠ACB，再根据等角对等边即可求出AC=AB，利用路程=速度×时间计算即可求出AC的长度，也就是点A与灯塔C相距的距离．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键．
13.【答案】72∘
【解析】解：设∠A=x∘，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠A=x∘，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x∘，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2x∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x∘，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180∘，
∴x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠C=72∘.
故答案为：72∘.
首先设∠A=x∘，利用等腰三角形的性质与三角形的外角的性质，即可用x表示出∠ABC与∠C的度数，又由三角形内角和定理，即可求得x的值，继而求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
14.【答案】9.6
【解析】解：连接BF，BE，
∵AB=AC=10，AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴CF+EF=BF+EF≥BE，
∴当B，F，E三点共线时，CF+EF的值最小为BE的长，
∵E为AC上的动点，
∴当BE⊥AC时，BE最小，
此时：S△ABC=12AC⋅BE，
∵AC=10，
∴12×10BE=48.
∴BE=9.6，
∴CF+EF的最小值为9.6.
故答案为：9.6.
连接BF，BE，三线合一推出AD垂直平分BC，进而得到FB=FC，得到CF+EF=BF+EF≥BE，得到当B，F，E三点共线时，CF+EF的值最小为BE的长，再根据垂线段最短，得到当BE⊥AC时，BE最小，进行求解即可．
本题考查等腰三角性质，轴对称-最短路线，解题的关键是正确作出辅助线．
15.【答案】(507,−2)
【解析】解：根据题意，A1(1,−2)，A2(−1,−2)，A3(−1,2)，A4(2,2)，...，
A8(3,2)，
∵2025=4×506+1，
∴A2024(1+506,2)，即(507,2)，
∴A2024(507,−2).
故答案为：(507,−2).
先根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征得到A1(1,−2)，A2(−1,−2)，A3(−1,2)，A4(2,2)，...，A8(3,2)，再利用2025=4×506+1得到A2024(507,2)，然后写出A2024关于x轴的对称点的坐标即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)；点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y).也考查了规律型问题的解决方法．
16.【答案】(1) (0,−3);(−4,−4);(−2,−1) (−a,b)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由图可得，A1(0,−3)，B1(−4,−4)，C1(−2,−1).
故答案为：(0,−3)；(−4,−4)；(−2,−1).
(3)△ABC内一点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(−a,b).
故答案为：(−a,b).
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
(3)关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．
本题考查作图-轴对称变换、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：∵DE//AB，
∴∠EDB=∠CBA，
在△ABC和△BDE中，
∠CBA=∠EDBAB=BD∠A=∠DBE
∴△ABC≌△BDE(ASA)，
∴AC=BE.
【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质.
利用角角边定理，判断△ABC≌△BDE(ASA)，涉及到了平行线的性质，即可求解．
18.【答案】解：(1)设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x=18，解得，x=185cm，
∴2x=2×185=365cm，
∴各边长为：365cm，365cm，185cm.
(2)能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm.
理由：
①当4cm为底时，腰长=18−42=7cm；
②当4cm为腰时，底边=18−4−4=10cm，
∵4+4CD；理由如下：
如图②，点B是AE的中点，延长CB到F，使BC=BF，连接EF、DF，
∴AB=EB，
在△ABC和△EBF中，
AB=EB∠ABC=∠EBFBC=BF，
∴△ABC≌△EBF(SAS)，
∴AC=FE，
∵BC⊥BD，
∴∠DBC=∠DBF=90∘，
在△DBC和△DBF中，
DB=DB∠DBC=∠DBFBC=BF，
∴△DBC≌△DBF(SAS)，
∴CD=FD，
在△DEF中，DE+EF>DF，
∴DE+AC>CD.
【解析】问题解决：证明：如图①，E是BC的中点，延长DE到F，使ED=EF，连接BF，
∴BE=CE，
在△FEB和△DEC中，
BE=CE∠BEF=∠CEDFE=DE，
∴△FEB≌△DEC(SAS)，
∴∠BFA=∠CDE，BF=DC，
又∵∠BAE=∠CDE，
∴∠BAE=∠BFA，
∴AB=BF，
∴AB=CD；
方法运用：解：DE+AC>CD；理由如下：
如图②，点B是AE的中点，延长CB到F，使BC=BF，连接EF、DF，
∴AB=EB，
在△ABC和△EBF中，
AB=EB∠ABC=∠EBFBC=BF，
∴△ABC≌△EBF(SAS)，
∴AC=FE，
∵BC⊥BD，
∴∠DBC=∠DBF=90∘，
在△DBC和△DBF中，
DB=DB∠DBC=∠DBFBC=BF，
∴△DBC≌△DBF(SAS)，
∴CD=FD，
在△DEF中，DE+EF>DF，
∴DE+AC>CD.
问题解决：延长DE到F，使ED=EF，连接BF，由E是BC的中点，得到BE=CE，再证明△FEB≌△DEC，进而可求证AB=CD；
方法运用：延长CB到F，使BC=BF，连接EF、DF，先证明△ABC≌△EBF，得到AC=FE，再证明△DBC≌△DBF，得到CD=FD，利用三角形的三边关系即可得到答案．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．