【解析版】河南省许昌市2022年八年级上期末数学试卷

这是一份【解析版】河南省许昌市2022年八年级上期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 河南省许昌市2022学年八年级上学期期末数学试卷 一、填空题（每空2分，共20分）1．（2分）计算﹣（x3）2=． 2．（2分）如果分式的值为零，那么x的值为． 3．（2分）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=35°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1=． 4．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=3cm，那么点D到直线AB的距离是cm． 5．（2分）若一个多边形的内角和与外角和相等，则它的边数是． 6．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是． 7．（2分）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=． 8．（2分）我们已经学过用面积来说明公式．如x2+2xy+y2=（x+y）2就可以用如图甲中的面积来说明．请写出图乙的面积所说明的公式：x2+（p+q）x+pq=． 9．（2分）改良玉米品种后，某村玉米平均每公顷增加产量a吨，原来产b吨玉米的一块土地，现在的总产量增加了14吨，原来玉米平均每公顷产量是吨． 10．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠CFE为度．  二、选择题（每小题3分，共18分）11．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（） A． 清华大学 B． 北京大学 C． 中国人民大学 D． 浙江大学 12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（） A． x≠3 B． x≠﹣3 C． x＞3 D． x＞﹣3 13．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（） A． 0根 B． 1根 C． 2根 D． 3根 14．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（） A． （SAS） B． （SSS） C． （ASA） D． （AAS） 15．（3分）下列运算正确的是（） A． 3a﹣2a=1 B． a2•a3=a6 C． （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D． （a+b）2=a2+b2 16．（3分）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（） A．  B．  C．  D．   三、解答题（本题共8小题，满分62分）17．（10分）（1）计算：（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y﹣5）（2）因式分解：ax2﹣6ax+9a． 18．（6分）如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE． 19．（6分）先化简代数式，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 20．（7分）如图，已知△ABC（1）用尺规作图方法作AC的垂直平分线MN，交AB于点E，交AC于点D，连结CE，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AD=3，△BCE周长为13，求△ABC的周长． 21．（7分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c 满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状． 22．（8分）如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD=2.5，DE=1.7，求CE的长． 23．（9分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 24．（9分）【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△GF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．   河南省许昌市2022学年八年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题（每空2分，共20分）1．（2分）计算﹣（x3）2=﹣x6． 考点： 幂的乘方与积的乘方． 分析： 根据幂的乘方进行计算即可．解答： 解：﹣（x3）2=﹣x6，故答案为：﹣x6．点评： 本题考查了对幂的乘方法则的应用，能正确运用法则进行计算是解此题的关键，注意：（am）n=amn． 2．（2分）如果分式的值为零，那么x的值为2． 考点： 分式的值为零的条件． 分析： 分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．解答： 解：依题意，得x﹣2=0，且x≠0，解得，x=2．故答案是：2．点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 3．（2分）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=35°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1=85°． 考点： 三角形内角和定理；对顶角、邻补角． 分析： 根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据对顶角相等求出即可．解答： 解：如图：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=60°，∠B=35°，∴∠ACB=85°，∴∠1=∠ACB=85°，故答案为：85°．点评： 本题考查了对顶角，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是能关键三角形内角和定理求出∠ACB的度数，注意：三角形的内角和等于180°． 4．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=3cm，那么点D到直线AB的距离是3cm． 考点： 角平分线的性质． 分析： 根据角平分线的性质直接回答即可．解答： 解：∵AD平分∠CAB，CD=3cm，∴点D到直线AB的距离等于CD的长，即点D到直线AB的距离是3cm，故答案为：3．点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，牢记角平分线的性质是解答本题的关键，难度不大． 5．（2分）若一个多边形的内角和与外角和相等，则它的边数是4． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．解答： 解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故答案为：4．点评： 本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°． 6．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是7． 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析： 分7是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．解答： 解：①7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，所以，第三边为7；②7是底边时，三角形的三边分别为3、3、7，∵3+3=6＜7，∴不能组成三角形，综上所述，第三边为7．故答案为7．点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论． 7．（2分）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=12． 考点： 平方差公式． 专题： 计算题．分析： 根据a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），然后代入求解．解答： 解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=4×3=12．故答案是：12．点评： 本题重点考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本题是一道较简单的题目． 8．（2分）我们已经学过用面积来说明公式．如x2+2xy+y2=（x+y）2就可以用如图甲中的面积来说明．请写出图乙的面积所说明的公式：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： 利用面积分割法可证，大长方形的面积=三个长方形的面积+小正方形的面积，用代数式表示即可．解答： 解：根据题意可知，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．故答案为：（x+p）（x+q）．点评： 本题考查了十字相乘法的几何意义，利用了面积分割法，根据面积相等列式是解题的关键． 9．（2分）改良玉米品种后，某村玉米平均每公顷增加产量a吨，原来产b吨玉米的一块土地，现在的总产量增加了14吨，原来玉米平均每公顷产量是吨． 考点： 列代数式（分式）． 分析： 如果设原来玉米平均每公顷产量是x吨，则现在玉米平均每公顷产量是（x+a）吨．由于种植玉米地的面积=这块地的总产量÷平均每公顷产量，根据改良玉米品种前后种植玉米地的面积不变列方程求解．解答： 解：设原来玉米平均每公顷产量是x吨，则现在玉米平均每公顷产量是（x+a）吨．由题意，有=，解得x=．把x=代入x（x+a）≠0，经检验x=是原方程的根，故原来玉米平均每公顷产量是吨．故答案为：．点评： 本题考查了分式方程的应用．关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 10．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠CFE为65度． 考点： 等腰三角形的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质． 分析： 连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OA=OC，再根据等边对等角求出∠OCA=∠OAC，根据翻折的性质可得OF=CF，然后根据等边对等角求出∠COF，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解．解答： 解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=×50°=25°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣50°）=65°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=65°﹣25°=40°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=25°，根据翻折的性质可得OF=CF，∴∠COF=∠OCF=25°，∴∠OFC=130°，∴∠CFE=65°．故答案为：65．点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 二、选择题（每小题3分，共18分）11．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（） A． 清华大学 B． 北京大学 C． 中国人民大学 D． 浙江大学 考点： 轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形的概念求解．解答： 解：A、不是轴对称图形，故错误；B、是轴对称图形，故正确；C、不是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故错误．故选B．点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（） A． x≠3 B． x≠﹣3 C． x＞3 D． x＞﹣3 考点： 分式有意义的条件． 分析： 分式有意义时，分母不等于零．解答： 解：当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义．故选A．点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 13．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（） A． 0根 B． 1根 C． 2根 D． 3根 考点： 三角形的稳定性． 专题： 存在型．分析： 根据三角形的稳定性进行解答即可．解答： 解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：B．点评： 本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单． 14．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（） A． （SAS） B． （SSS） C． （ASA） D． （AAS） 考点： 作图—基本作图；全等三角形的判定与性质． 分析： 我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．解答： 解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：B．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键． 15．（3分）下列运算正确的是（） A． 3a﹣2a=1 B． a2•a3=a6 C． （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D． （a+b）2=a2+b2 考点： 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法． 专题： 计算题．分析： 利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及完全平方公式的知识求解即可求得答案．解答： 解：A、3a﹣2a=a，故本选项错误；B、a2•a3=a5，故本选项错误；C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项正确；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误．故选C．点评： 此题考查了完全平方公式与合并同类项的法则，同底数幂的乘法等知识．题目比较简单，解题需细心． 16．（3分）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（） A．  B．  C．  D．  考点： 轴对称-最短路线问题． 专题： 应用题．分析： 利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．解答： 解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．点评： 本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 三、解答题（本题共8小题，满分62分）17．（10分）（1）计算：（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y﹣5）（2）因式分解：ax2﹣6ax+9a． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用；多项式乘多项式． 分析： （1）利用多项式相乘的运算法则进行计算即可得解；（2）先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答： 解：（1）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y﹣5）=y2﹣4﹣（y2﹣6y+5）=y2﹣4﹣y2+6y﹣5=6y﹣9； （2）ax2﹣6ax+9a=a（x2﹣6x+9）=a（x﹣3）2．点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 18．（6分）如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE． 考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．分析： 要证明BC=DE，只要证明三角形ABC和ADE全等即可．两三角形中已知的条件有AB=AD，AC=AE，只要再得出两对应边的夹角相等即可．我们发现∠ABC和∠DAE都是由一个相等的角加上∠DAC，因此∠ABC=∠DAE，这样就构成了两三角形全等的条件（SAS），两三角形就全等了．解答： 证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即：∠BAC=∠DAE．在△ABC与又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC=DE．点评： 本题主要考查了全等三角形的判定，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法． 19．（6分）先化简代数式，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a=0代入计算即可求出值．解答： 解：原式=÷=•=，当a=0时，原式==2．点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 20．（7分）如图，已知△ABC（1）用尺规作图方法作AC的垂直平分线MN，交AB于点E，交AC于点D，连结CE，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AD=3，△BCE周长为13，求△ABC的周长． 考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 分析： （1）利用线段垂直平分线的作法作图即可；（2）根据垂直平分线的性质得到AD=CD，EC=EA，然后根据AD=3求得AC=6，再利用△BCE的周长为13，得到AB+BC=13，从而得到结论．解答： 解：（1）如图所示：（2）∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，EC=EA，∵AD=3，∴AC=6，∵△BCE的周长为13，∴AB+BC=13，∴AB+BC+AC=13+6=19．点评： 此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法． 21．（7分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c 满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状． 考点： 因式分解-分组分解法． 专题： 阅读型．分析： （1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．解答： 解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣42=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）； （2）∵a2﹣ab﹣ac+bc=0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a﹣c）=0，∴a=b或a=c，∴△ABC的形状是等腰三角形．点评： 此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键． 22．（8分）如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD=2.5，DE=1.7，求CE的长． 考点： 全等三角形的判定与性质． 分析： （1）利用直角三角形的两锐角互余以及余角的性质即可证得∠ABD=∠CAE，则利用AAS即可证得△ABD≌△CAE；（2）根据△ABD≌△CAE可以证得AE=BD，AD=CE，然后根据CE=AD=AE﹣DE即可求解．解答： 解：（1）证明：∵∠BAE+∠CAE=90°，又∵直角△ABD中，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE．则在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△CAE；（2）∵△ABD≌△CAE，∴AE=BD，AD=CE，∴CE=AD=AE﹣DE=2.5﹣1.7=0.8．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确根据直角三角形的两内角互余以及余角的性质证明∠ABD=∠CAE是关键． 23．（9分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 考点： 分式方程的应用． 专题： 应用题．分析： （1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．解答： 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×15+=1．解得：x=30．经检验x=30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天． （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）=18（天），则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．答：该工程的费用为180000元．点评： 本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 24．（9分）【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△GF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长． 考点： 全等三角形的判定与性质． 分析： （1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（3）延长DC，截取CG=AE，连接BG，根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB，故可得出BE=BG，∠ABE=∠CBG，再由∠EBF=45°，∠ABC=90°可得出∠ABE+∠CBF=45°，故∠CBF+∠CBG=45°，由SAS定理可得△EBF≌△GBF，故EF=GF，故△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD，由此可得出结论．解答： （1）解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF． （2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF； （3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=4+4=8．点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．