微专题03 解三角形-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分+习题+答案

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在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
【典型例题】
例1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．
(1)求角的大小；
(2)若时，求面积的最大值．
例2．（2024·广东湛江·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．
例3．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为.
(1)求的值；
(2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围.
例4．（2024·山西吕梁·统考一模）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)设的角平分线交于点，求的最小值．
例5．（2024·广东佛山·统考模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．
(1)求角的大小；
(2)如图，为外一点，，，求的最大值．
例6．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，连接，求的值．
例7．（2024·福建漳州·统考模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的最大值.
【过关测试】
1．（2024·河南安阳·统考一模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，求的值．
2．（2024·湖北·校联考模拟预测）在中，已知，D为的中点.
(1)求A；
(2)当时，求的最大值.
3．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考一模）在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.
(1)求角A；
(2)若，求的取值范围.
4．（2024·山东日照·统考一模）在锐角中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知且，
(1)求角B及边b的大小；
(2)求的值．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线长.
6．（2024·江西·新余市第一中学校联考一模）在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，．
(1)若，求c；
(2)若，求的值．
7．（2024·四川·校联考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若的角平分线交于，求的长.
8．（2024·云南大理·统考模拟预测）如图所示，在平行四边形中，有：.
(1)求的大小；
(2)若，求平行四边形的面积.
9．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．
(1)求角A的大小；
(2)若，求面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应的周长．
10．（2024·广东茂名·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若为的中点，且，求的最小值.
11．（2024·湖南长沙·统考一模）在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足.

(1)证明：；
(2)如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？
12．（2024·云南曲靖·统考一模）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)线段上一点满足，求的长度．
13．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形中，为的中点，，，，
(1)求；
(2)若，，求.
14．（2024·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，点在内，，，求．
15．（2024·全国·校联考模拟预测）在锐角中，角、、所对的边分别为，，，有．
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围．
16．（2024·全国·模拟预测）在中，已知．
(1)若，证明：为直角三角形；
(2)若，求的面积．
17．（2024·浙江嘉兴·嘉兴一中校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分线与交于点，且，求.
18．（2024·湖南邵阳·统考一模）在中，角所对的边分别为，向量，向量，且.
(1)求证：；
(2)延长至点，使得.当最大时，求的值.
19．（2024·山东泰安·新泰市第一中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为.若.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
20．（2024·全国·模拟预测）在中，分别为角，，所对的边，点为的中点．
(1)若，，，求的值；
(2)若，求的值．
21．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象．
(1)设，，当时，求的值域；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，，，求内切圆半径r的值．
22．（2024·全国·模拟预测）在“①；②；③”这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角所对的边分别为，且______．
(1)求角的大小；
(2)若表示内切圆的半径，求的最大值．
23．（2024·全国·模拟预测）在中，角的对边分别为，．
(1)求角B的大小．
(2)若，是否存在正整数b，使得是锐角三角形？若存在，求出b的最小值；若不存在，请说明理由．
24．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，过点A作，使得四边形ABCD满足，．
(1)求角的大小；
(2)若，求四边形的面积．
25．（2024·云南昆明·统考一模）在中，，，.
(1)求的面积；
(2)如图，，，求.