微专题05 数列经典题型精练-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分+习题+答案

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1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩．
3、几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
【典型例题】
例1．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）记为数列的前n项积，已知
(1)证明: 数列是等差数列；
(2)若将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 求数列的前项和;
(3)已知等比数列的首项为1，公比为若 对任意的恒成立，求的值.
【解析】（1）因为，时，有，为数列的前n项积，
所以，代入上式有；又由，有，
所以，即，，
所以，所以为首项为，公差为的等差数列，
所以，，代入，
解得：，，
所以数列是等差数列.
（2），数列的为首项，公差为的等差数列，
设其前项和为，令，
数列的首项为，公差为的等差数列，设其前项和为，
设数列与数列中相的同项构成的数列，设其前项和为；
因为，即有：，
，因为，互质，所以必为的倍数，
即，，
，
所以有：，为首项，公差为的等差数列；
因为，，
所以两个数列对应相同的两项之间中有个数，中有个数，
所以，，
，，
所以.
（3）根据已知有：当时，，则有，
对任意的上式恒成立恒成立；
当时，，则有，
由二项式定理有：
即，即，当无限增大时，
指数函数的增长速度大于二次函数的增长速度，所以时，
对任意的，不恒成立，综上
例2．（2024·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）在数列中，．在等差数列中，前n项和为，，．
(1)求证是等比数列，并求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，的前n项和为，求．
【解析】（1）当时，故，又，
故是等比数列，且公比为2，首项为
所以，故，
设的公差为，则由，，解得，，
故，
（2）
故，
而，故，其中，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
例3．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
(1)求数列的通项和数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，
所以解得，
故，
因为数列为各项为正的递增数列，设公比为，且，
因为，所以，得，
又，所以，即，又，
解得，从而，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以数列的前项和为
（或）.
例4．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”
【解析】（1）公差为2的等差数列，设，
由，所以公差为2的等差数列符合条件．
（2）①首项为1，公比为q的正项等比数列，，
对恒成立，
若，则，符合．
若，数列单调递增，不妨设，
，，
设，由（*）式中的m，n任意性得数列不递增，
，，
但当，，矛盾．
若，则数列单调递减，不妨设，
，即，
设，由（**）式中m，n的任意性得，数列不递减，
，，
时，单调递增，
，，，
综上，公比q的取值范围为．
②：由①得，，，
当时，，要存在使得，只需即可；
当时，要证数列符合“条件”，
只要证存在，使得，，
不妨设，则只要证：，
只要证：，
设，由m，n的任意性，不递减，
只要证，
只要证：，，
，存在上式对成立．
存在正数使数列符合条件．
例5．（2024·全国·高三校联考专题练习）已知等差数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．
（说明：）
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
；
则当时，；当时，；
当时，；
综上所述：.
例6．（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的．
(1)试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？
(2)设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值；
(3)证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的．
【解析】（1）不是的，理由如下：
如等差数列，
所以不是任意一个无穷等差数列对前项之积是封闭的．
（2）是等比数列，其首项，公比，
所以，
所以，
由已知得，对任意正整数，总存在正整数，使得成立，
即对任意正整数，总存在正整数，
使得成立，
即对任意正整数，总存在正整数，使得成立，
①当时，得，所以；
②当时，得，
且，
综上，或.
（3）对任意的无穷等比数列，，
令，，则，
下面证明：是对前项之积是封闭的．
因为，所以，
取正整数得，，
所以对前项之积是封闭的，
同理证明：也对前项之积是封闭的，
所以对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，
使得，其中和对前项之积都是封闭的．
例7．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】（1）由，可得，又，
故数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，得到．
（2）由（1）可知，
故．
【过关测试】
1．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）己知数列的前项积为，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)从中依次取出第1项，第2项，第4项……第项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【解析】（1）因为数列的前项积为，所以，
又因为，所以，
化简可得，
当时，，解得：，
所以是等差数列，首项为3，公差为2.
（2）由（1）可得,
所以，故，令数列的前项和为，
则①
②
①②可得：
化简可得：，
所以数列的前项和
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为．
(1)求数列的前n项和;
(2)令，求的前9项之和．
【解析】（1）正项数列的前n项和为，满足，
可得，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，
又因为，解得，
所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
则数列的通项公式为，可得.
（2）由（1）知，
可得，
所以
．
3．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)证明：．
【解析】（1）因为，所以，
当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，
且，所以恒大于等于零不成立；
当时，由得，，
易知当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
则，若恒成立，则
令，则，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以
所以当时，.
综上，若恒成立，则；
（2）由（1）得，当时，恒成立，即，当且仅当时等号成立，
令，则，，，
所以，，，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即．
所以，，，
所以
.
4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）证明：由（1）知，，即，，
因此，当且仅当时取等号，
令，，则，
，而，
所以.
5．（2024·河南·高三校联考开学考试）记数列的前项和为.
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值.
【解析】（1）由，
得，即，
所以，变形得，又，
故数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）因为，
所以，
.
因为，所以，即.
设函数.
因为，
所以单调递增.
又，所以，
所以使成立的最大正整数的值为6.
6．（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
【解析】（1）因为，
所以，
作差可得，变形为，即，即，化简为，
因为，所以，
因为，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，，
作差可得，
所以，
，
设，则在给定区间上递减，又
故在是减函数，，
所以当时，.
7．（2024·安徽黄山·统考一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．
【解析】（1）因为，所以，
因为，，，
故，，
显然，
所以不是等差数列；
因为，则，，
所以是首项为12，公差为6的等差数列.
（2）因为数列是以1为公差的等差数列，
所以，故，
所以数列是以公比为的正项等比数列，，
所以，
且对任意的，都存在，使得，即，
所以，因为，所以，
①若，则，解得（舍），或，
即当时，对任意的，都存在，使得.
②若，则，对任意的，不存在，使得.
综上所述，.
（3）因为为常数列，则是等差数列，
设的公差为，则，
若，则，与题意不符；
若，所以当时，，
与数列的各项均为正数矛盾，所以，
由等差数列前项和公式可得，
所以，
因为，
所以，
因为，故，
所以
则当时，不等式恒成立，
另一方面，当时，令，，，
则，，
则
，
因为，，
当时，，
即，不满足不等式恒成立，
综上，的最大值为2.
8．（2024·山东日照·统考一模）己知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差．
(1)求及的通项公式；
(2)记集合的元素个数为，求数列的前50项和．
【解析】（1）因为，，成等差，则，且，
当时，可得，解得或（舍去）；
当时，可得，
两式相减得，整理得，
且，则；
可知数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（2）因为，由（1）可得，即，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知；
当时，因为，
所以；
综上所述：.
所以数列的前50项和为.
9．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．
(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．
【解析】（1）是“集”;不是“集”.
理由：当或时，只要横纵坐标相等即可，则满足，
当，则；当，则；
当，则；当，则；
综上是“集”.
对于向量，若存在，使得.
则，故中必有一个为，此时另一个为或，显然不符合，则不是“集”.
（2）(i)因为中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为，
公差为2，故.
则向量的坐标中必含，设另一坐标为，
则或.
所以或，
故或，
所以或，所以或，
所以或即.
此时，不满足;
或，满足;
所以只可能为.
经检验是“集”，所以.
(ii)设.
由，得，由条件可变形为.
设集合
设集合则是“集”当且仅当关于原点对称.
因为是中唯一负数，共个数，
所以也只有个数.
由于，所以，已有个数.
对以下三角数阵：
注意到，所以.
又为常数)，故有穷数列为等比数列，
且通项公式.
10．（2024·广东深圳·统考一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，即，①
因为，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
当时，，
当时，，上式也成立，所以，
所以数列是等差数列．
（2）由（1）可知，
当时，，
因为满足上式，所以．
，
因为当时，，所以．
11．（2024·全国·校联考模拟预测）数列的前项和满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，证明：数列的前项和满足．
【解析】（1）由题意（*），
两边同加项，得：，
由（*）式可得：
，
所以，
得，
即成立，
当时，，得；
综上，恒成立，所以是以2为公差的等差数列．
（2）由第（1）问及题意，
得等差数列中，，公差为，
其前项和为：
，
，
当时，成立；
当时，
则，
即
易知，，
其中
，
所以；
综上所述，对于，恒成立．
12．（2024·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
【解析】（1），当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
（2）数列具有性质．
，
，
数列满足条件①．
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
（3）先证数列满足条件①：
．
当时，
则，
数列满足条件①．
再证数列满足条件②：
（，等号取不到）
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质.
13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）设整数满足，集合.从中选取个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有个，设它们的和为.例如.
(1)若，求；
(2)记.求和的整式表达式；
(3)用含，的式子来表示.
【解析】（1）
（2）因为，
，
两式相除，，
，
两式相除，
（3）因为①，所以，
因为②，所以，
由（2）和①可得，③，
由②和③，比较的系数，可得④，
因为
，
由②比较的系数可得⑤，
由④⑤消去可得，
所以.
14．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），则，即，
解得，
则，，，
，
故.
（2）（i），，
故，，
.
（ii），
，
，
故，
故，
，即，取验证不成立，
整理得到，，
当时，，不成立；当时，；当时，；
现说明当时不成立：
设，，，则，，
故单调递增，，
设，，，，，
故单调递减，，，，，
故时，不成立，
综上所述：使成立的所有的正整数对为，.
15．（2024·浙江·校联考一模）已知数列满足，记数列的前项和为．
(1)求；
(2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
【解析】（1）①
②
②-①得，，得．
当时，①式为，得，也满足上式．
，数列是等差数列，所以．
（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，
又，得，
得．
令，即，即．
当时，经验证，（*）式满足要求．
令，则
，
所以当时，，
即当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
16．（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.
【解析】（1）均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）.
因为，
所以.
所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）.
（2）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件.
假设，即对于，都有.
因为，
所以，
即，及.
又时，，
所以，与的最小值是矛盾.
其次证明存在数列满足条件.
取
及，
对于，都有.
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件.
假设，即对于，都有.
因为，
所以，
即，及.
又时，，
所以，与的最小值是矛盾.
其次证明时存在数列满足条件.
取
及
对于，都有.
综上，当是奇数时，的最大值为；
当是偶数时，的最大值为.
17．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知数列满足，正项数列满足．当时，记．
(1)证明：是等比数列；
(2)求．
【解析】（1）由数列的通项公式，可知数列为单调递减数列，
所以当时，，
则．所以，
又，所以是首项为，公比为的等比数列；
（2）因为，即，则，或（舍），
当时，
，①
则，②
①-②：，
所以，
即．
18．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求
【解析】（1）当时，，则.
当时，由，
得，
则，则.
因为，所以从第2项起成等比数列，
.
（2），当为大于1的奇数时，，
当为偶数时，.
.
，
则，
则，
，
则，
则.
19．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考开学考试）已知有限数列，若满足，m是项数，则称满足性质.
(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质，请说明理由；
(2)若数列是，公比为的等比数列，项数为10，且具有性质，求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以数列3，2，5，1满足性质，
，所以数列4，3，2，5，1不满足性质；
（2）由题意可得，，
，，两边平方得，
整理得，（*）
当时，得，此时关于恒成立，
所以等价于时，，所以，
所以或，所以取；
当时，，，
得，此时关于（*）恒成立，
所以等价于时，，所以，
所以，所以取，
当时，，
当为奇数时，，，则（*）成立，
当为偶数时，，，则（*）不成立，
所以当时，不符合题意，舍去；
当时，，
若为奇数时，，，则（*）成立，
若为偶数时，，要使（*）恒成立，即使恒成立，
即当时恒成立，解得或，所以取，
综上，
20．（2024·四川德阳·统考模拟预测）（）.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.
【解析】（1）当时，，
令，，
故为偶函数，
，
令，，
故为奇函数，
其中恒成立，
故在上单调递增，
其中，故在恒成立，
故在上单调递增，
其中，故在上恒成立，
结合为偶函数，故在上恒成立，
故在上恒成立；
（2）由（1）知，，
即，当且仅当时，等号成立，
令，且，所以，
故，
即，
由（1）可知，当时，，当且仅当时，等号成立，
当且时，，
故，故，即，
所以，
故
.
21．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由13世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满足.规定，.
(1)试证明：；
(2)求数列的通项公式；
(3)试证明：时，.
【解析】（1）因为，
所以
.
（2）因为，所以，
设，
即，
则，
解得或，
将代入得，
则①，
同理代入得，
所以②，
①②联立解得，经检验也满足上述式子，
所以的通项公式为.
（3）方法一：
观察发现：，
，
，
，
，
设，
则时，认为，
解得：或舍去，
即，所以.
方法二：分别代入、通项公式：
得
，
所以时，.
22．（2024·山西吕梁·统考一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）由题意，得
当
当，适合上式.
（2）
所以
.
23．（2024·河北·高三校联考期末）设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，设，记为数列的前项和，证明：．
【解析】（1）为数列的前项和，，
则有，所以，等比数列的公比为2，
又，所以；
（2）证明：由（1）知，，当时，，
所以，所以，
则，
因此．
24．（2024·山东·高三校联考开学考试）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，即，所以，
，
累加得，又，所以，
经检验时符合，所以.
（2）因为，所以，
所以
.
25．（2024·山东德州·高三统考开学考试）已知数列前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，当时，，
所以，
当时，，
所以，
所以，，，，，
累乘得
所以，
当时也成立，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
26．（2024·天津·高三校联考期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．
【解析】（1）由已知，得，解得，
；
（2）记，
所以，
，
作差得：
，
；
（3）由（1）得，
则，
所以
.
27．（2024·江西·高三校联考开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程：；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若，数列的前n项和为，求；
②若，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意（md3），所以或（），
即或（）．
（2）由（1）可得为，所以．
①因为（），所以．
则．
②（）．
因为，
所以
．
28．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知正项等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项中最大值为，最小值为（规定：），令，求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为，其中，
因为，可得，解得或（舍去），
所以的通项公式为.
（2）由的前项中最大值为，最小值为，
因为是递增数列，所以，
可得，所以.