微专题01 平面向量-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分+习题+答案

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结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设，，则，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
（2）三角形模式：（M为BD的中点）
结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy，
则，设，则
结论3：三点共线的充要条件
设、、是三个不共线向量，则A、B、P共线存在使．
特别地，当P为线段AB的中点时，．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
（1）当等和线恰为直线时，；
（2）当等和线在点和直线之间时，；
（3）当直线在点和等和线之间时，；
（4）当等和线过点时，；
（5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O为内任一点，且，则
【典型例题】
例1．在中，是的中点，，则____．
【答案】-16
【解析】因为是的中点，由极化恒等式得：
．
例2．（2024·江西新余·高三统考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
例3．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】取AB的中点D，连结CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且，所以，（也可用正弦定理求AB）
又由极化恒等式得：
因为P在圆O上，所以当P在点C处时，
当P在CO的延长线与圆O的交点处时，
所以
例4．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边作矩形，则
由得，即，
的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
．
例5．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________．
【答案】2
【解析】（秒杀）作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时，的取最大值2．
令，则由
得．
由三点共线可得
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知向量满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以可以构造如图正：
使得：，，延长到，使得，
以为圆心，为半径作圆，
因为，所以的终点在这个圆上.
所以
所以，
而，.
所以.
故选：C
2．（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）

A．10B．13C．18D．26
【答案】B
【解析】是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选：B．
3．（2024·云南保山·高三统考期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
4．（2024·全国·校联考模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意等腰中，，，
故，设外接圆半径为R，则；
以的外接圆圆心为原点，以的垂直平分线为y轴，
过点O作的平行线为x轴，建立平面直角坐标系，
则，设，，
则，，
则，
，
故，
因为，故，
即的取值范围是，
故选：C
5．（2024·北京通州·高三统考期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：当点与点重合时，此时最长，
易知，且相似比为，
，在中，由余弦定理得：
，
所以，此时满足，所以，
所以，此时，
由图可知，，
则.
故选：B.
6．（2024·全国·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．P的轨迹为圆B．P到原点最短距离为1
C．P点轨迹是一个菱形D．点P的轨迹所围成的图形面积为4
【答案】C
【解析】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．
又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．
，且时，方程为；，且时，方程为；
，且时，方程为；，且时，方程为．
P点对应的轨迹如图所示：
，且，所以P点的轨迹为菱形．A错误，C正确；
原点到：的距离为B错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为，D错误．
故选：C．
7．（2024·全国·统考模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取线段的中点，则，
，
由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，
由图形可知，当取最大值时，点在折线段上，
连接，则，
同理，
由正六边形的几何性质可知，，
所以，，
则、、三点共线，则，即，
当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大，
同理可知，，
当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大，
所以，当取最大值时，点在折线段上运动，
以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，
线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、、、
、，设点，
（1）当点在线段上运动时，，
直线的方程为，即，
所以，线段的方程为，
则；
（2）当点在线段上运动时，，，则，
所以，；
（3）当点在线段上运动时，，
直线的方程为，即，
所以，线段的方程为，
所以，，
因为函数在上单调递增，
故.
综上所述，的最大值为，故，
故的取值范围是.
故选：B.
8．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为D为AB的中点，则，
可得，即，解得，
又因为P为CD上一点，设，
则，
可得，解得，即，
则，
可得，即.
故选：D.
9．设，根据平面向量基本定理求得；
10．以为基底表示，进而运算求解.
二、多选题
11．（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（ ）
A．圆的半径为2
B．直线过定点
C．的最小值是
D．的最大值是0
【答案】ABD
【解析】由圆过点，得，圆的圆心，半径，A正确；
直线，由，得，即直线过定点，B正确；
显然点在圆内，，当时，，C错误；
当弦长最小时，圆心角最小，此时，则，
因此，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
12．（2024·贵州·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D．若，则为钝角三角形
【答案】BC
【解析】对于选项A，因为，，分别为单位向量，所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为，
即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A错误；
对于选项B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则，因为，，所以，即，所以，故选项B正确；
对于C，因为，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，结合，故，可得，故为等边三角形，C正确；
对于D.，
而，所以A，B，C都为锐角，D错误；
故选：BC.
13．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（ ）

A．B．存在点，使
C．若，则点的轨迹长度为2D．的最小值为
【答案】AD
【解析】设为正六边形的中心，
根据正六边形的性质可得且四边形均为菱形，
，故A正确，
假设存在存在点，使，则,其中点为以为邻边作平行四边形的顶点，
所以在直线上，这与点是内部（包括边界）的动点矛盾，故B错误，
当时，，
取,则,所以点的轨迹为线段,
其中分别为过点作与的交点，
由于为的中点，所以,故点的轨迹长度为1，C错误，
由于,
,
过作于，则,所以此时，
由于分别为上的分量，且点点是内部（包括边界）的动点，所以
当位于时，此时同时最小，故的最小值为
故选：AD
14．（2024·黑龙江·高三校联考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；
对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；
对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
15．（2024·山东菏泽·高三统考期末）如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由正五边形的对称性可得，每个正五边形的内角为，
对于A，在中，，
则，进而，
所以，同理可得，故四边形是平行四边形，
所以，故A正确；
对于B，由对称性可得，且，
所以，故B正确；
对于C，假设，因为，所以，
由对称性可得，所以，得是等边三角形，
则，所以，故C不正确.
对于D，要证，即证四边形是平行四边形，
因为五边形为正五边形，所以，
因为在中，，所以，
，进而，
所以，同理可得，故四边形是平行四边形，
故D正确.
故选：ABD.
16．（2024·全国·校联考模拟预测）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．与垂直B．
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】AC
【解析】由恒成立得，
即恒成立，
因为，，
设夹角为，则恒成立，
所以，
即，
所以，则，
所以，
所以，
所以与垂直，A正确；
，B不正确；
设，，
则，
所以
，
其几何意义是与和连线的距离之和的2倍，
当三点共线时取得最小值，最小值为，C正确；
，，
所以
其几何意义是与和连线的距离之差的2倍，
当三点共线时最得最大值，最大值为，D不正确，
故选：AC.
三、填空题
17．（2024·天津红桥·统考一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
18．（2024·天津·高三校联考期末）在梯形中，分别为线段和线段上的动点，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，则，
由题意可得，解得，
，
所以，，
由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
在上单调递减，且，，
则.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
19．（2024·全国·校联考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正方形的边长为，所以，
则、，则，
设的中点为，则，，所以，，
因为是半圆上的动点，设点，
则，其中，则，
所以，，
由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、），
，
当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为，
可设点，其中，则，
，则，
同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、），
.
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
20．（2024·四川·高三校联考期末）过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值为 ，此时， ．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，设，
则，有，
又，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，
此时．
故答案为：；.
21．（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知是边长为3的等边三角形，为上一点，为的中心，为内一点（包括边界），且，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】因为，，三点共线，所以，解得，
即为上靠近点的三等分点.
利用向量的投影定义，可知当位于点时，取得最大值，
最大值为.
故答案为：3
22．（2024·天津宁河·高三统考期末）在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为 ；若的面积为，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，根据向量的运算法则，
可得，
设，因为的面积为，可得，即，
又由
，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：；.
23．（2024·广东惠州·统考一模）已知为函数图象上一动点，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，原点，则，；
所以，即，
如图所示，所以当直线与函数在轴右侧相切时，取到最大值，即取得最大值；
联立直线与函数可得，
所以，解得（舍去）；
此时，所以，
即的最大值为.
故答案为：