苏科版（2024）八年级下册（2024）11.3 二次根式的加减课后复习题

这是一份苏科版（2024）八年级下册（2024）11.3 二次根式的加减课后复习题，文件包含专题123解题技巧专题二次根式中有关运算易错问题之六大考点原卷版docx、专题123解题技巧专题二次根式中有关运算易错问题之六大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13336" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13336 \h 1
\l "_Tc19729" 【考点一 化简含字母的二次根式】 PAGEREF _Tc19729 \h 1
\l "_Tc29408" 【考点二 利用二次根式的非负性求值】 PAGEREF _Tc29408 \h 5
\l "_Tc32049" 【考点三 新定义型二次根式的运算】 PAGEREF _Tc32049 \h 8
\l "_Tc16686" 【考点四 二次根式的分母有理化】 PAGEREF _Tc16686 \h 12
\l "_Tc2519" 【考点五 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc2519 \h 18
\l "_Tc31153" 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 PAGEREF _Tc31153 \h 26
【典型例题】
【考点一 化简含字母的二次根式】
例题：（2023下·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）若，则化简后的结果是 ．
【答案】
【分析】先判断，，根据进行化简即可．
【详解】解：，，
，，
；
故答案：．
【点睛】本题考查了二次根式化简，掌握化简的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）已知，则化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义，可知，从而得到，再由二次根式的性质进行解答．
【详解】解：，
，
原式化简得．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和性质，熟练掌握二次根式的定义和性质是解题的关键．
2．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）若，化简正确的是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，而，则，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，，而，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握．
3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
由二次根式的性质化简，再去绝对值即可．
【详解】解：，∵，
∴，
故答案为：．
4．（2023下·江西赣州·八年级统考期中）化简二次根式后的结果是 ．
【答案】
【分析】先根据被开方数为非负数得到，然后把移入根号内约分解题即可．
【详解】解：由被开方数得到，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握被开方数是非负数是解题的关键．
5．（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是化简 ．
【详解】解：，
，
，
故答案为：8．
6．（23-24八年级下·广东惠州·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．
【答案】1
【分析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
∴
．
故答案为：．
7．（23-24七年级下·重庆长寿·期中）如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．

【答案】
【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，二次根式化简，立方根，根据数轴分别判断，，，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．
【详解】解：由数轴可知，，，则，
∴
，
故答案为：．
8．（23-24八年级下·江西南昌·期中）探究：，________，________，，．
完成上述计算并根据计算结果回答下面问题：
（1）观察可知，________；
（2）利用你总结的规律计算：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】探究：0.5，5，（1）；（2）π；（3）
【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值以及三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
探究：模仿题干，直接作答；
（1）根据探究的内容，直接作答；
（2）先整理，再化简绝对值，即可作答．
（3）先整理：，再结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行化简绝对值，即可作答．
【详解】解：探究：∵，，．
∴
故答案为：0.5，5，
（1）由探究的内容，得出；
（2）∵
∴
∵
∴原式；
（3）依题意，
∵a，b，c为的三边长．
∴
∴原式．
【考点二 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数，负整数指数幂运算，
根据二次根式有意义的体积可得、的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵，
，
解得，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）若实数满足，则的值为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知非负性的应用，根据二次根式的性质与绝对值的非负性即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：3．
2．（2023上·四川巴中·八年级校考期中）若x、y都是实数，且，求 ．
【答案】/0.375
【分析】本题考查二次根式的非负性，根据和可得x的值，进而求出y值，代入求解即可，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
【详解】解：，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
3．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）已知，则 ．
【答案】/
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，进而得出y，根据积的乘方，幂的乘方逆用法则将变形为，代入，求解即可．
【详解】解：，即，
解得：，
，
，
，
将，代入，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，积的乘方，幂的乘方逆用法则，熟记二次根式被开方数为非负数并熟练掌握积的乘方，幂的乘方逆用法则是解题的关键．
4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知为实数，且，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式的化简求值，根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值是解题关键．先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可．
【详解】解：根据题意得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
5．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知的三条边长，，满足，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性，根据二次根式有意义的条件求出、、是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出，根据非负数的性质分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：6．
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）定义运算“”法则为，则 ．
【答案】
【分析】根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式的加法运算，解题的关键是掌握二次根式的有关运算．
【变式训练】
1．（2023下·云南昭通·七年级校联考期中）定义运算“”的运算法则为：，则 ．
【答案】4
【分析】先根据题中定义计算，则，于是易得到答案．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为4．
【点睛】本题考查了实数的运算，理解题意，明确新的运算法则是解题的关键．
2．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）用定义一种新运算：对于任意实数a和b ，若，求 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，利用新运算的规定列式计算即可，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
3．（2023下·江苏·八年级期末）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：，如．那么 ．
【答案】
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解题的关键．
4．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ．
【答案】
【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
5．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】(1)
(2)－2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可．
【详解】（1）解：∵与是关于4的共轭二次根式，
∴，
∴．
（2）∵与是关于12的共轭二次根式，
∴
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
6．（2023下·全国·八年级专题练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如．
(1)填空：___________．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果；
(2)首先根据新定义进行运算，可求得，再解方程即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：3；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：①______，②______；
(2)计算：；
(3)已知有理数、满足，则______，______．
【答案】(1)，；
(2)1
(3)-1，1
【解析】
【分析】
（1）①分子、分母都乘以即可；②分子、分母都乘以；
（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可；
（3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，得到2a+b=-1，b-a=2，即可求出a=-1，b=1．
(1)
解：①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
(2)
=
=
=1；
(3)
∵，
∴，
∴，
∴，
∵a、b都是有理数，
∴2a+b=-1，b-a=2，
解得a=-1，b=1，
故答案为：-1，1．
【点睛】
此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1： ，
例2： ，，
利用以上结论解答以下问题：（不必证明）
(1) ； ；
(2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）

【答案】(1)；
(2)9
【分析】本题考查了分母有理化：涉及二次根式的性质化简、平方差公式的运用：
（1）根据例1的过程，仿写即可作答．
（2）逐个化简，得，，， ，……，然后进行合并同类二次根式，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴；
∴；
（2）解：∵，，，，……，
∴
.
2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，其中与与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下列问题：
(1)计算： ， ；
(2)已知有理数a、b满足，则 ， ；
(3)计算．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键；
（1）把分子分母同时乘以即可把有理化；分子分母同时乘以，即可对进行有理化；
（2）把式子的左边分母有理化得到，进而得到方程组，解方程组即可得到答案；
（3）先证明，再对所求式子进行分母有理化，然后合并即可得到答案．
【详解】（1）解：；
．
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a、b都是有理数，
∴，
∴，
故答案为：；；
（3）解：
，
∴
．
3．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．
在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：①；②；③．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
④
(1)请用不同的方法化简．
(2)化简：．
【答案】(1)方法见解析，结果为
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）先根据分母有理化的方法推出，再把所求式子按照上述形式进行裂项，然后合并化简即可．
【详解】（1）解：
；
；
（2）解：
，
∴
．
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．
(1)
解：
(2)
解：
【点睛】
本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．
（1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论
（2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可．
【详解】（1）
，
，
故答案为：，；
（2）．
2．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简．
解：．
依据上述计算，填空：
(1) ， ；
(2)根据上述方法求值：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：
（1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解；
（2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解：
．
3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ．
(2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．．
(3)化简：.
【答案】(1)；
(2)a=16或64
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键．
（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、；
（2）在（1）的基础上，求出，，根据，，，均为整数，分两种情况求出，；
（3）在前面两问的基础上探究结果．
【详解】（1）解：，
，，，均为整数），
，，
故答案为：，；
（2），
，，，均为整数），
，，
，
①，，，
②，，，
综上所述：或16；
（3），
，
．
4．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：

．
请仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
（2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
5．（22-23八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【答案】（1）④，；（2）；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误，；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键．
6．（22-23八年级下·全国·期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立，，的方程组求解．
【详解】（1）解：①；
；
②
；
故答案为：①；②；
（2）解：
，
，
，，均为正整数．
或，
或．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）探索规律
观察下列各式及验证过程：
时，有式①：；
时，有式②：；
时，有式③：；
(1)针对上述式①、式②、式③的规律，请写出时的式子；
(2)请写出满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式，并证明此等式成立．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题中所给式子得出时，有式④：；
（2）根据题中所给式子得出满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式：，将中根号外面的拿到根号里面，化简即可得到答案．
【详解】（1）解：时，有式①：；
时，有式②：；
时，有式③：；
时，有式④：；
（2）解：时，有式①：；
时，有式②：；
时，有式③：；
时，有式④：；
…
满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式：，
证明：左边
右边，
故等式成立．
【点睛】本题考查了数字类规律探索、利用二次根式的性质进行化简，根据题意得出满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式：是解此题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…．
(1)根据以上规律，请直接写出第5个等式：______；
(2)观察、归纳，请写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示，为正整数），并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字类的规律探索：
（1）仿照题意写出第5个等式即可；
（2）观察式子，可得第n个等式为，然后利用二次根式的性质进行证明即可．
【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为；
故答案为：；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……，
以此类推，可知，第n个等式为，
证明如下：
．
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……
(1)按照以上规律，写出第4个等式：______________；
(2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：____________．（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了数字的变化规律，二次根式的混合运算，解题的关键是发现等式的规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1．
（1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1，依此规律可得出答案；
（2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再分别计算等式两边判断是否相等即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
由以上式子可得：第1个等式为：；
第2个等式为：；
第3个等式为：；
即得出规律为：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1．
故第4个等式为：；
故答案为：．
（2）解：由（1）的规律可得第个等式为：，
证明：等式左边，
为正整数，
等式左边，
又右边，
等式左边=等式右边，
．
3．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
第4个等式：＝；
第5个等式：＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)第n个等式，证明见解析
【分析】（1）根据题意写出第6个等式；
（2）根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则证明结论．
【详解】（1）第6个等式：；
（2）第个等式：．
证明：
，
∵左边=右边，
故该等式成立．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
4．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现
（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证：
，，
（2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________；
类比猜想
（3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，请你帮助他求出x，y的值：，．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，一定要认真观察，找对规律并利用二次根式的运算法则准确的开方是解题的关键．
（1）利用利用二次根式的运算法则计算即可证明；
（2）类比上述式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来；
（3）利用利用二次根式的运算法则计算，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）成立，
；
（2）；
；
．
所以以上都成立．
举例如下：，，
规律是： （）；
故答案为：；
（3），
，
，
，
经检验，是方程的解；
，
，
，
，
经检验，是方程的解．
5．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式：
①；②；③；…
解决下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子．
(2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律．
(3)利用上述结果计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键．
（1）利用题中等式的规律即可得到；
（2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式；
（3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可．
【详解】（1）解：∵①；②；③；…
∴第⑥个式子为．
（2）根据题干规律可得：第n个式子为．
（3）根据（2）中规律可得：
原式
．
6．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式：
；
；
；
……
(1)请根据上面式子的规律填空：________（n为正整数）；
(2)请证明（1）中你所发现的规律；
(3)请直接写出下面式子的结果：_______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了规律型-数字的变化类、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据已知三个等式寻找规律，运用规律．
（1）根据题目提供的结果，总结得到一般规律；
（2）作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；
（3）运用（2）中发现规律，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵；
；
；
……，
∴，
故答案为：；
（2）证明：左边
，
∵为正整数，
∴，
∴左边右边；
（3）解：
．
故答案为：．