苏科版八年级下学期期中考试压轴卷（范围：第7章-第9章）-【习题+答案】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

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一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票中奖B．射击一千次，命中靶心
C．太阳每天从西方升起D．任意画一个三角形，其内角和是
【答案】D
【分析】本题考查必然事件、随机事件的意义和判定方法，根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【详解】解：购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项A不正确；
射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能命不中靶心，因此选项B不正确；
太阳每天只从东方升起，不会从西方升起，因此选项C不正确；
任意三角形的内角和都是180°，因此选项D正确；
故选：D．
2．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；对于图A，分析可知，其绕着图形的圆心旋转后与原来的图形不能重合，故不是中心对称图形，同理再分析其他选项即可．
【详解】解：选项A、B、C都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
3．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用普查的方式
B．为了解某市市民每天丢弃塑料袋数量的情况，采用普查的方式
C．为了解乘客是否携带危险物品，高铁站工作人员对部分乘客进行抽查
D．为保证神舟十七号载人飞船顺利发射，对所有零件进行了全面检查
【答案】D
【分析】本题考查的是全面调查和抽样调查，掌握全面调查和抽样调查的概念是解题的关键．
【详解】解：A．为了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用抽样调查的方式，原说法不合理，不符合题意；
B．为了解某市市民每天丢弃塑料袋数量的情况，采用抽样调查的方式，原说法不合理，不符合题意；
C．铁路工作人员为了解乘坐高铁的乘客是否携带危险物品，对部分乘客进行了抽查，应全面调查，说法不合理，不符合题意；
D．为保证神州十七号载人飞船顺利发射，对所有零件进行了全面检查，说法合理，符合题意．
故选：D．
4．如图，平行四边形中，平分，,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，，，结合平分，解答即可，本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形中，平分，，
∴，，，
∴，
故选D．
5．如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出．
【详解】解：，点是的中点，，
，
，
，
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
6．如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点P处、分别是折痕，若点P沿从点B向点D移动，则阴影部分的周长（ ）
A．先变大，后变小
B．先变小，后变大
C．当占P在中点处时，阴影部分周长最大
D．保持不变
【答案】D
【分析】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题
【详解】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴
又
∴四边形是矩形，
∴
∴
∴阴影部分的周长
∵是定值，
∴阴影部分的周长不变，
故选：D
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．“a是实数，”这一事件是 （填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）．
【答案】不可能事件
【分析】
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】
解：∵a是实数，
∴ ，
∴“a是实数，”这一事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
8．直角坐标系中，点关于坐标原点成中心对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是，
故答案为：．
9．从1—9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性 抽到偶数的可能性．（“”、“”或“”）
【答案】
【分析】由题意知，1—9的数字卡片中，奇数为1，3，5，7，9；偶数为2，4，6，8；则抽到奇数的可能性为，抽到偶数的可能性为，比较大小，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，1—9的数字卡片中，奇数为1，3，5，7，9；偶数为2，4，6，8；
∴抽到奇数的可能性为，抽到偶数的可能性为，
∵，
∴抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单随机事件发生的可能性的大小，解题的关键在于对知识的熟练掌握．
10．去年我市有3万多名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是 ．
【答案】
【分析】
本题考查样本容量，根据抽查的数量是样本容量直接求解即可得到答案
【详解】解：∵抽取名考生的数学成绩进行统计分析，
∴样本容量是：，
故答案为：．
11．如图，在平行四边形中，点分别在上，．若不添加辅助线，添加一个条件即可证明四边形是菱形，则这个条件可以是 ．（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定，由平行四边形的性质得出，结合得出四边形是平行四边形，再结合，即可得出四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定、平行四边形的性质与判定是解此题的关键．
【详解】解：这个条件可以是，
理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
12．某校对部分学生每周课外阅读时间进行了相关调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，则被调查学生中每周课外阅读时间不超过2小时的频率为 ．
【答案】/0.34
【分析】
本题考查频率的求解，根据频率等于频数除以总数直接求解即可得到答案
【详解】解：由题意可得，
不超过2的频数为：，总数为：，
∴不超过2小时的频率为：，
故答案为：．
13．如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于F，则为 ．

【答案】
【分析】由正方形、等边三角形可得，，，，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．
14．如图，在中，，点D是斜边上的一个动点，于点N，于点M，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，根据，，可以判定四边形是矩形，得到，只需求的最小值即可，利用垂线段最短，利用直角三角形的面积公式计算高即可，本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
只需求得最小值即可，
利用垂线段最短，
当是三角形的高时最小，
∴，
故答案为：．
15．如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据菱形的性质求线段长，先作辅助线，根据题意可得到为三角形的中位线，根据等边三角形的特点得到边长，根据勾股定理得到的长，最后再根据勾股定理可得到结果，正确找到边长的关系是解题的关键．
【详解】解：过点F作的垂线交于点H，如图所示：
，
∵菱形的边长为2，
∴，，
∴平行于
∵F为中点，
∴H为的中点，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∵E为中点，
∴，
∵F为中点，H为的中点，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
16．中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，点与点对应，点与点对应，当点落在的边上时，则的长 ．
【答案】或1
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．分类讨论是解题的关键．
由勾股定理得，，由题意知，分点落在边上，点落在边上两种情况：当点落在边上，如图1，作于，由旋转的性质可知，，则是等腰三角形，，由，可求，由勾股定理求，根据计算求解即可；当点落在边上，如图2，根据计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
由题意知，分点落在边上，点落在边上两种情况：
当点落在边上，如图1，作于，
由旋转的性质可知，，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
解得，，
由勾股定理得，，
∴；
当点落在边上，如图2，
；
综上所述，的长为或1；
故答案为：或1．
三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．分别指出下列抽样调查中的总体和样本．
(1)为调查一批电风扇的使用寿命，从中抽取20台进行测试；
(2)为调查某校七年级学生每周用于做课外作业的时间，从该校七年级抽取50名学生进行调查．
【答案】(1)总体：这批电风扇的使用寿命； 样本：从中抽取的20台电风扇的使用寿命
(2)总体：该校七年级学生每周用于做课外作业的时间；样本：从中抽取的50名学生每周用于做课外作业的时间
【分析】本题主要考查了总体和样本的定义：
（1）总体是所要考察的对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体，据此求解即可；
（2）总体是所要考察的对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体，据此求解即可．
【详解】（1）解：总体：这批电风扇的使用寿命；
样本：从中抽取的20台电风扇的使用寿命；
（2）解：总体：该校七年级学生每周用于做课外作业的时间；
样本：从中抽取的50名学生每周用于做课外作业的时间．
18．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上．
(1)作，使与关于原点成中心对称．
(2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点
【分析】（1）先确定起始点的坐标，再利用原点对称特点确定变化后的坐标，即可求解，
（2）连接、，交点即为点，根据中点公式计算，即可求解，
本题考查了，中心对称，确定中心点，中点公式，解题的关键是：熟练掌握中心对称的性质．
【详解】（1）解：如图可得：，，，原点对称得：，，，
画图如下：
即为所求，
（2）解：连接、，交点即为点，画图如下：
点即为所求，
∵与关于点成中心对称，且，，
所以对称中心的坐标为，即：，
故答案为：．
19．为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，并绘制了如图所示的统计图．
(1)估计牡丹成活概率为______．（精确到0.01）
(2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？
【答案】(1)0.95
(2)估计购买200株
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）利用统计图可看出频率在0.95上下波动，根据频率估计概率得到牡丹移植成活的概率为0.95；
（2）设购买株，利用成活的概率得到，然后解方程即可．
【详解】（1）解：根据统计图，牡丹成活的频率稳定在0.95附近，
所以估计成活概率为0.95；
故答案为：0.95；
（2）解：设购买株，
根据题意得，
解得，
答：估计购买200株．
20．如图，是四边形的对角线，，，过点A作交C的延长于E．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点E作交的延长线于点F，连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查的是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
（1）根据平行四边形的判定方法可得四边形是平行四边形，然后根据全等三角形的判定与性质得，最后根据平行四边形的判定方法可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵．
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴是的中线，
∵，
∴．
21．如图，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点为的中点．

(1)连接，判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)，理由见解析；
(2).
【分析】（1）先证是等边三角形，得，进而得点在线段的垂直平分线上，再证点在线段的垂直平分线上，从而得垂直平分线段，于是即可得；
（2）证是等边三角形，得从而由（）得是等边三角形，进而证分别求出、的长即可得解．
【详解】（1）解：根据旋转角的定义，得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，点为的中点，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴；
（2）解：∵，点为的中点．，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，，
∴
∴
由（）得是等边三角形，
∴
∴
由（）得
∴
∴
∴四边形的面积为
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段的垂直平分线，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记旋转的性质等边三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图，在 中，点分别为的中点，连接并延长至点，使 ，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，四边形是何特殊平行四边形? 请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是矩形，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明得出，结合即可得证；
（2）由三角形中位线定理可得，从而得出，求出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
23．为了解某校全体学生在校午餐所用时间，调查了若干名学生在校午餐所用时间（用x表示，单位：分钟），将数据进行统计后得到如下不完整的频数分布表和如图1，图2所示两幅不完整的统计图，已知D，E两组人数相同．
(1)此次调查的样本容量为______；
(2)补全频数分布表和频数分布直方图；
(3)求“D”对应的扇形圆心角的度数；
(4)在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂尽量缩短供餐时间的情况下，你认为多少分钟作为午餐时间为宜？请说明理由．
【答案】(1)40
(2)见解析
(3)
(4)20分钟合适，见解析
【分析】本题考查了频数（率）分布图，扇形统计图，熟练掌握频数（率）分布表，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提．
（1）根据B组的人数和百分比即可求出调查的学生总人数；
（2）分别求出C、D、E组的频数，进而补全频数分布直方图；
（3）用乘以D组的百分比即可求出D组所对应扇形圆心角度数；
（4）分析每组数据的频数即可得出答案．
【详解】（1）样本容量为；
（2）C组的人数为（人）
∴D组和E组的人数和为（人）
∵D，E两组人数相同
∴D组和E组的人数都是2人
∴补全频数分布表如下：
补全频数分布直方图如下：
（3）“D”对应的扇形圆心角的度数为；
（4）20分钟合适；（答案和理由合理即可）
理由：样本中有36人能在20分钟内完成用餐，占比，可以鼓励20分钟没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂缩短供餐时间．
24．[模型建立]
（1）如图①，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由；
[模型应用]
（2）如图②，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，延长交于点，求证：；
[模型迁移]
（3）如图③，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，求线段的长．

【答案】（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得，，则四边形是矩形，即可得出结论；
（2）连接，由折叠的性质可知，，，再证，即可得出结论；
（3）由（2）得，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（2）证明：如图，连接，

由折叠的性质可知，，，
，
点是的中点，
，
，
又，
，
；
（3）解：四边形是正方形，
，，
由折叠可得，
由（2）得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识，运用方程思想是解决问题的关键．
25．（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，是的中点．求证：．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点F．求证：．
（3）用数学的语言表达
如图③，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；③是直角三角形，证明见解析
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.
（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状.
【详解】（1）证明：∵P是的中点，N是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴， ，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：是直角三角形，理由如下：
如图③，连接，取的中点，连接、，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
26．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．

初步感知：（1）如图1，当是线段的中点时，与的数量关系为______．
深入探究：（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展应用：（3）如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，当时，求点到的距离．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）
【分析】本题考查菱形，全等三角形的，等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可．
（1）连接，根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据菱形的性质，求出，；根据等边三角形三线合一，，求；再根据，求出，则，再根据等边三角形的判定，即可．
（2）连接，根据菱形的性质，得，根据等边三角形的判定，则
，都是等边三角形，求出，，根据全等三角形的判定，则，推出，再根据等边三角形的判定和性质，即可；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，当时，
，根据勾股定理，求出，；根据等腰直角三角形的性质，求出，根据全等三角形的判定和性质，则，得，根据，，即可．
【详解】（1），
证明如下：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，同理，是等边三角形，
∵是线段的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．

（2）成立．
理由：如图，连接．
∵四边形是菱形，
∴．，
∵，
∴，都是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴
∴
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴．

（3）如图，过点作于点，过点作于点，连接．
∵时，
∴，
∴
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为．

27．【教材呈现】
（1）如图1，在正方形中，E是上的一点，经过旋转后得到，①旋转中心是点 ；旋转角度最少是 度．
②爱动脑筋的小明，在边上取点G使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
【结论应用】
（2）①图1中，若正方形的边长为a，则的周长为 (用含有a的式子表示)
②如图2，在四边形中，E是 上一点，且，则的长＝ ．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，， 求的长．
【答案】（1）①A；90；②正确，理由见解析；（2）①②（3）
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；根据旋转的性质和正方形的性质可得，从而证明即可求解；
（2）根据旋转的性质和运用等量代换即可求解；时针旋转得到，连接，根据条件证明，设，根据勾股定理即可求解；
（3）逆时针旋转得到，连接，过点E作，根据旋转的性质和菱形的性质可证，从而用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）①由图可得：旋转中心是点A；边的对应边是边，因为是正方形，所以旋转角度最少是90度；
故答案为：A，90；
②结论正确，理由如下：
由旋转可得：，，
∵四边形是正方形，，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（2）解：①由旋转可得：，
由（1）可得：，
∴，
∴；
故答案为：；
②绕点C顺时针旋转得到，连接，如图，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在同一条直线上，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
故答案为：5；
（3）把绕点A逆时针旋转得到，连接，过点E作，如图，
∴，，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是关键．
每周课外阅读时间x/小时
人数
7
组别
A
B
C
D
E
午餐所用时间
人数（频数）
4
8
组别
A
B
C
D
E
午餐所用时间
人数（频数）
4
8
24
2
2